Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

11.8. OPERATIONEN AUF DEN KARDINALZAHLEN 9411.8 Operationen auf den KardinalzahlenDie arithmetischen Operationen auf den Kardinalzahlen definiert man analog zumendlichen Fall, wobei im Falle der Addition zu beachten ist, daß man als Summezweier Kardinalzahlen die Mächtigkeit der Vereinigung disjunkter Mengen derentsprechenden Kardinalzahl wählt:κ ⊕ λ = |(κ × {0}) ∪ (λ × {1})|κ ⊙ λ = |κ × λ|κ λ = | λ κ| = |{ f | f : λ → κ}|Endliche Ordinal- und Kardinalzahlen stimmen überein (es sind gerade dienatürlichen Zahlen), und für diese Fälle stimmen diese Operationen mit den entsprechendenOperationen auf den Ordinalzahlen ebenfalls überein. Für unendlicheKardinalzahlen ergeben sich aber wesentliche Unterschiede. So sind die Operationender Addition und Multiplikation auf den Kardinalzahlen (wie im Falleder natürlichen Zahlen, aber im Gegensatz zu den ordinalen Operationen) kommutativ,assoziativ und distributiv - wenngleich diese Gesetze trivial sind; es giltnämlich der11.9 Satz von HessenbergEs seien κ,λ unendliche Kardinalzahlen. Dann gilt:κ ⊕ λ = κ ⊙ λ = max{κ,λ}.(Tatsächlich braucht nur eine der beiden Zahlen unendlich zu sein, im Falle derMultiplikation darf aber natürlich keine = 0 sein.) Dieses Ergebnis läßt sich (miteinfachen Monotoniegesetzen) zurückführen auf denSatzFür unendliche Kardinalzahlen gilt:κ ⊙ κ = κ.Beweis: Wir werden eine bijektive Abbildung F : On × On ↔ On angeben, diedie Paare von Ordinalzahlen abzählt, und zwar so, daß für jede unendliche Kardinalzahlκ gilt:F ↾ κ × κ : κ × κ ←→ κ.