Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
11.7. KARDINALZAHLEN 93Definitionα + := µξ (ξ ∈ Cn ∧ α < ξ )kardinaler NachfolgerMit Hilfe des Satzes von CANTOR (und des Auswahlaxioms) ergibt sich wiein obigem Beweis:α ≺ α + ≤ |P(α)|.Man kann stattdessen aber auch die HARTOGsche FunktionH(a) := {ξ | ξ ≼ a}verwenden und ohne Benutzung des Auswahlaxioms zeigen, daßH(α) = µξ (|α| < ξ ) = α +ist. Zur Aufzählung der unendlichen Kardinalzahlen benutzt man seit CANTORden hebräischen Buchstaben ℵ (aleph):ω = ℵ 0 < ℵ 1 < ...ℵ ω < ...Aleph-Funktionℵ 0 ist also die Kardinalzahl abzählbar-unendlicher Mengen, ℵ 1 die erste überabzählbareKardinalzahl, allgemeiner ℵ α+1 = ℵ + α und (nach (iii) des obigen Lemmas)ℵ λ = ⋃ ξ
11.8. OPERATIONEN AUF DEN KARDINALZAHLEN 9411.8 Operationen auf den KardinalzahlenDie arithmetischen Operationen auf den Kardinalzahlen definiert man analog zumendlichen Fall, wobei im Falle der Addition zu beachten ist, daß man als Summezweier Kardinalzahlen die Mächtigkeit der Vereinigung disjunkter Mengen derentsprechenden Kardinalzahl wählt:κ ⊕ λ = |(κ × {0}) ∪ (λ × {1})|κ ⊙ λ = |κ × λ|κ λ = | λ κ| = |{ f | f : λ → κ}|Endliche Ordinal- und Kardinalzahlen stimmen überein (es sind gerade dienatürlichen Zahlen), und für diese Fälle stimmen diese Operationen mit den entsprechendenOperationen auf den Ordinalzahlen ebenfalls überein. Für unendlicheKardinalzahlen ergeben sich aber wesentliche Unterschiede. So sind die Operationender Addition und Multiplikation auf den Kardinalzahlen (wie im Falleder natürlichen Zahlen, aber im Gegensatz zu den ordinalen Operationen) kommutativ,assoziativ und distributiv - wenngleich diese Gesetze trivial sind; es giltnämlich der11.9 Satz von HessenbergEs seien κ,λ unendliche Kardinalzahlen. Dann gilt:κ ⊕ λ = κ ⊙ λ = max{κ,λ}.(Tatsächlich braucht nur eine der beiden Zahlen unendlich zu sein, im Falle derMultiplikation darf aber natürlich keine = 0 sein.) Dieses Ergebnis läßt sich (miteinfachen Monotoniegesetzen) zurückführen auf denSatzFür unendliche Kardinalzahlen gilt:κ ⊙ κ = κ.Beweis: Wir werden eine bijektive Abbildung F : On × On ↔ On angeben, diedie Paare von Ordinalzahlen abzählt, und zwar so, daß für jede unendliche Kardinalzahlκ gilt:F ↾ κ × κ : κ × κ ←→ κ.
- Seite 49 und 50: 6.4. REKURSIONSSATZ FÜR WOHLORDNUN
- Seite 51 und 52: 6.6. REPRÄSENTATIONSSATZ FÜR WOHL
- Seite 53 und 54: 6.7. MINIMUMSPRINZIP, TRANSFINITE I
- Seite 55 und 56: 7.2. MONOTONIE-GESETZE 48Bevor wir
- Seite 57 und 58: 7.2. MONOTONIE-GESETZE 50Beweis: Ze
- Seite 59 und 60: 7.3. VERALLGEMEINERTE STETIGKEIT VO
- Seite 61 und 62: 7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN
- Seite 63 und 64: 7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN
- Seite 65 und 66: 8.1. MENGENINDUKTION 58V α sind ni
- Seite 67 und 68: 8.2. MENGEN VON RANG 60so ist N = {
- Seite 69 und 70: 8.3. ANWENDUNGEN DES RANGES 62Refle
- Seite 71 und 72: 64Kapitel 9Die Rolle des Unendlichk
- Seite 73 und 74: 9.1. DIE PEANO-THEORIE PA 66Modelle
- Seite 75 und 76: 9.3. ANWENDUNGEN DER NUMERISCHEN RE
- Seite 77 und 78: 70Teil IIIMengen auswählen
- Seite 79 und 80: 10.1. MENGENTHEORETISCH ÄQUIVALENT
- Seite 81 und 82: 10.3. MAXIMUMSPRINZIPIEN VON ZORN U
- Seite 83 und 84: 10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
- Seite 85 und 86: 10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
- Seite 87 und 88: 10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
- Seite 89 und 90: 82Teil IVDie Größe der Mengen
- Seite 91 und 92: 11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENG
- Seite 93 und 94: 11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENG
- Seite 95 und 96: 11.3. SATZ VON CANTOR-SCHRÖDER-BER
- Seite 97 und 98: 11.5. SATZ VON CANTOR 9011.5 Satz v
- Seite 99: 11.7. KARDINALZAHLEN 92BemerkungSet
- Seite 103 und 104: 11.9. SATZ VON HESSENBERG 96Für α
- Seite 105 und 106: 12.2. DIE CANTORSCHE KONTINUUMSHYPO
- Seite 107 und 108: 12.3. EINIGE TOPOLOGISCHE BEGRIFFE
- Seite 109 und 110: 12.4. SATZ ÜBER PERFEKTE MENGEN 10
- Seite 111 und 112: 12.5. DER SATZ VON CANTOR-BENDIXSON
- Seite 113 und 114: 12.6. DIE BORELSCHEN MENGEN 10612.6
- Seite 115 und 116: 12.7. VERSPIELTE MENGEN 10812.7 Ver
- Seite 117 und 118: 110Kapitel 13Potenzen von Kardinalz
- Seite 119 und 120: 13.1. UNENDLICHE SUMMEN UND PRODUKT
- Seite 121 und 122: 13.2. SATZ VON KÖNIG-JOURDAIN 1142
- Seite 123 und 124: 13.3. EINGESCHRÄNKTE POTENZMENGENO
- Seite 125 und 126: 13.5. EIGENSCHAFTEN REGULÄRER KARD
- Seite 127 und 128: 13.6. DIE WICHTIGSTEN EIGENSCHAFTEN
- Seite 129 und 130: 13.6. DIE WICHTIGSTEN EIGENSCHAFTEN
- Seite 131 und 132: 124Teil VReflexionen über Mengen
- Seite 133 und 134: 14.1. DIE LEVY-HIERARCHIE DER MENGE
- Seite 135 und 136: 14.3. DIE THEORIE KP VON KRIPKE-PLA
- Seite 137 und 138: 14.4. PARTIELLE REFLEXIONSPRINZIPIE
- Seite 139 und 140: 132Kapitel 15Vollständige Reflexio
- Seite 141 und 142: 15.2. REFLEXION ÜBER KLASSEN 134Be
- Seite 143 und 144: 15.3. HIERARCHIESÄTZE IN ZF 136Men
- Seite 145 und 146: 15.3. HIERARCHIESÄTZE IN ZF 138Ins
- Seite 147 und 148: 140Kapitel 16Innere Modelle16.1 Def
- Seite 149 und 150: 16.2. RELATIVE KONSISTENZBEWEISE 14
11.7. KARDINALZAHLEN 93Definitionα + := µξ (ξ ∈ Cn ∧ α < ξ )kardinaler NachfolgerMit Hilfe des Satzes von CANTOR (und des Auswahlaxioms) ergibt sich wiein obigem Beweis:α ≺ α + ≤ |P(α)|.Man kann stattdessen aber auch die HARTOGsche FunktionH(a) := {ξ | ξ ≼ a}verwenden und ohne Benutzung des Auswahlaxioms zeigen, daßH(α) = µξ (|α| < ξ ) = α +ist. Zur Aufzählung der unendlichen Kardinalzahlen benutzt man seit CANTORden hebräischen Buchstaben ℵ (aleph):ω = ℵ 0 < ℵ 1 < ...ℵ ω < ...Aleph-Funktionℵ 0 ist also die Kardinalzahl abzählbar-unendlicher Mengen, ℵ 1 die erste überabzählbareKardinalzahl, allgemeiner ℵ α+1 = ℵ + α und (nach (iii) des obigen Lemmas)ℵ λ = ⋃ ξ
Change language