Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

3¬ nicht∨ oder∧ und−→ wenn . . . dann←→ genau dann . . . wenn (im Englischen: iff)∃ existiert∃! es existiert genau ein∀ für alleAuch die einfachsten mengentheoretischen Bezeichnungen, die wir später formaleinführen werden, dürften bereits bekannt sein:a ∈ A a ist Element von A/0 leere Menge{a} Einermenge von a{a,b} (ungeordnetes) Paar von a und ba ∪ b Vereinigung von a und ba ∩ b Durchschnitt von a und b⊆ Teilmenge
4Kapitel 1Ordnungen und WohlordnungenIn seinen Untersuchungen über die Konvergenz von Fourierreihen führte CANTORden Begriff der Ableitung A ′ einer Menge A von reellen Zahlen ein: A ′ besteht ausden Elementen von A, welche Häufungspunkte von Elementen von A sind. Mankann nun nach der Menge der Häufungspunkte dieser neuen Menge fragen unddamit eine Menge A ′′ bilden, die Menge der Häufungspunkte der Häufungspunktevon A. Iteriert man diese Operation, so erhält man eine eine unendlich-absteigendeFolgeA ⊇ A ′ ⊇ A ′′ ⊇ A ′′′ ...deren “Limes” A ∞ , d. h. in diesem Fall der Durchschnitt, möglicherweise wiederisolierte Punkte enthält, so daß man wieder die Menge ihrer Häufungspunkte bildenkann. Auf diese Weise fortgesetzt, führt der Zählprozeß über die natürlichenZahlen hinaus ins Transfinite, und zwar mit ω statt ∞ als neuer “Zahl”:0,1,2,3,...ω,ω + 1,ω + 2,ω + 3,...ω + ω,ω + ω + 1,ω + ω + 2,...ω + ω + ω,...ω · ω,...Einen derartigen Zählprozeß erhalten wir auch, wenn wir die natürlichen Zahlenumordnen und neu aufzählen, etwa erst die Potenzen von 2, dann die Potenzenvon 3, dann die Potenzen von 5 . . . :1,2,4,8,...3,9,27,...5,25,125,...und dann bleibt immer noch ein unendlicher Rest von Zahlen wie 0, 6, 10, . . .Offenbar gibt es verschiedene Möglichkeiten, ins Unendliche aufzuzählen, wieunterscheiden sich diese Möglichkeiten? Führen unterschiedliche Aufzählungenvielleicht zu Widersprüchen? Lassen sich überhaupt alle Mengen in irgendeiner
Seite 1 und 2: Skriptum zur VorlesungMengenlehreKl
Seite 3 und 4: INHALTSVERZEICHNISiiInhaltsverzeich
Seite 5 und 6: INHALTSVERZEICHNISivIV Die Größe
Seite 7 und 8: INHALTSVERZEICHNISvi18.3 Ideale und
Seite 9: 2VorbemerkungDie Mengenlehre hat f
Seite 13 und 14: 1.1. ORDNUNGEN 6aus einer irreflexi
Seite 15 und 16: 1.2. DEFINITION DER ORDINALZAHLEN 8
Seite 17 und 18: 1.4. DIE ORDNUNG DER ORDINALZAHLEN
Seite 19 und 20: 12Kapitel 2Mengen und Klassen2.1 Di
Seite 21 und 22: 2.2. AUSWEGE AUS DEN ANTINOMIEN 14o
Seite 23 und 24: 2.3. DIE MENGENTHEORETISCHE SPRACHE
Seite 25 und 26: 2.5. ÜBERBLICK ÜBER VERSCHIEDENE
Seite 27 und 28: 20Kapitel 3Extensionalität und Aus
Seite 29 und 30: 3.2. EIGENSCHAFTEN DER INKLUSION 22
Seite 31 und 32: 24Kapitel 4Relationen und Funktione
Seite 33 und 34: 4.2. RELATIONEN 264.2 RelationenMit
Seite 35 und 36: 4.3. FUNKTIONEN 28In diesem Fall gi
Seite 37 und 38: 5.1. VEREINIGUNG, DURCHSCHNITT UND
Seite 39 und 40: 5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PR
Seite 41 und 42: 5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PR
Seite 43 und 44: 5.3. ÜBERBLICK ÜBER DIE ZF-AXIOME
Seite 45 und 46: 38Kapitel 6Induktion und RekursionW
Seite 47 und 48: 6.2. MINIMUMSPRINZIP 406.2 Minimums
Seite 49 und 50: 6.4. REKURSIONSSATZ FÜR WOHLORDNUN
Seite 51 und 52: 6.6. REPRÄSENTATIONSSATZ FÜR WOHL
Seite 53 und 54: 6.7. MINIMUMSPRINZIP, TRANSFINITE I
Seite 55 und 56: 7.2. MONOTONIE-GESETZE 48Bevor wir
Seite 57 und 58: 7.2. MONOTONIE-GESETZE 50Beweis: Ze
Seite 59 und 60: 7.3. VERALLGEMEINERTE STETIGKEIT VO
Seite 61 und 62:
7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN
Seite 63 und 64:
7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN
Seite 65 und 66:
8.1. MENGENINDUKTION 58V α sind ni
Seite 67 und 68:
8.2. MENGEN VON RANG 60so ist N = {
Seite 69 und 70:
8.3. ANWENDUNGEN DES RANGES 62Refle
Seite 71 und 72:
64Kapitel 9Die Rolle des Unendlichk
Seite 73 und 74:
9.1. DIE PEANO-THEORIE PA 66Modelle
Seite 75 und 76:
9.3. ANWENDUNGEN DER NUMERISCHEN RE
Seite 77 und 78:
70Teil IIIMengen auswählen
Seite 79 und 80:
10.1. MENGENTHEORETISCH ÄQUIVALENT
Seite 81 und 82:
10.3. MAXIMUMSPRINZIPIEN VON ZORN U
Seite 83 und 84:
10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
Seite 85 und 86:
Seite 87 und 88:
Seite 89 und 90:
82Teil IVDie Größe der Mengen
Seite 91 und 92:
11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENG
Seite 93 und 94:
11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENG
Seite 95 und 96:
11.3. SATZ VON CANTOR-SCHRÖDER-BER
Seite 97 und 98:
11.5. SATZ VON CANTOR 9011.5 Satz v
Seite 99 und 100:
11.7. KARDINALZAHLEN 92BemerkungSet
Seite 101 und 102:
11.8. OPERATIONEN AUF DEN KARDINALZ
Seite 103 und 104:
11.9. SATZ VON HESSENBERG 96Für α
Seite 105 und 106:
12.2. DIE CANTORSCHE KONTINUUMSHYPO
Seite 107 und 108:
12.3. EINIGE TOPOLOGISCHE BEGRIFFE
Seite 109 und 110:
12.4. SATZ ÜBER PERFEKTE MENGEN 10
Seite 111 und 112:
12.5. DER SATZ VON CANTOR-BENDIXSON
Seite 113 und 114:
12.6. DIE BORELSCHEN MENGEN 10612.6
Seite 115 und 116:
12.7. VERSPIELTE MENGEN 10812.7 Ver
Seite 117 und 118:
110Kapitel 13Potenzen von Kardinalz
Seite 119 und 120:
13.1. UNENDLICHE SUMMEN UND PRODUKT
Seite 121 und 122:
13.2. SATZ VON KÖNIG-JOURDAIN 1142
Seite 123 und 124:
13.3. EINGESCHRÄNKTE POTENZMENGENO
Seite 125 und 126:
13.5. EIGENSCHAFTEN REGULÄRER KARD
Seite 127 und 128:
13.6. DIE WICHTIGSTEN EIGENSCHAFTEN
Seite 129 und 130:
13.6. DIE WICHTIGSTEN EIGENSCHAFTEN
Seite 131 und 132:
124Teil VReflexionen über Mengen
Seite 133 und 134:
14.1. DIE LEVY-HIERARCHIE DER MENGE
Seite 135 und 136:
14.3. DIE THEORIE KP VON KRIPKE-PLA
Seite 137 und 138:
14.4. PARTIELLE REFLEXIONSPRINZIPIE
Seite 139 und 140:
132Kapitel 15Vollständige Reflexio
Seite 141 und 142:
15.2. REFLEXION ÜBER KLASSEN 134Be
Seite 143 und 144:
15.3. HIERARCHIESÄTZE IN ZF 136Men
Seite 145 und 146:
15.3. HIERARCHIESÄTZE IN ZF 138Ins
Seite 147 und 148:
140Kapitel 16Innere Modelle16.1 Def
Seite 149 und 150:
16.2. RELATIVE KONSISTENZBEWEISE 14
Seite 151 und 152:
16.3. GÖDELISIERUNG 144Beispiele1.
Seite 153 und 154:
16.3. GÖDELISIERUNG 146wobei man a
Seite 155 und 156:
16.4. CHARAKTERISIERUNG INNERER ZF-
Seite 157 und 158:
16.4. CHARAKTERISIERUNG INNERER ZF-
Seite 159 und 160:
152Kapitel 17Konstruktible Mengen17
Seite 161 und 162:
17.3. EINE DEFINIERBARE WOHLORDNUNG
Seite 163 und 164:
17.4. DAS KONDENSATIONSLEMMA 156Sat
Seite 165 und 166:
17.5. DAS COHENSCHE MINIMALMODELL 1
Seite 167 und 168:
17.7. RELATIVE KONSTRUKTIBILITÄT 1
Seite 169 und 170:
162Kapitel 18Große KardinalzahlenW
Seite 171 und 172:
18.2. GROSSE UNENDLICHE ZAHLEN 164
Seite 173 und 174:
18.3. IDEALE UND FILTER 166was wege
Seite 175 und 176:
18.3. IDEALE UND FILTER 1687. Für
Seite 177 und 178:
18.4. MAHLOSCHE ZAHLEN 170MAHLOsche
Seite 179 und 180:
18.5. MESSBARE ZAHLEN 172das Einhei
Seite 181 und 182:
18.5. MESSBARE ZAHLEN 174• ist κ
Seite 183 und 184:
19.1. DAS SCHUBFACHPRINZIP 176Eine
Seite 185 und 186:
19.2. L KANN SEHR KLEIN SEIN 178Sat
Seite 187 und 188:
180Monographien mit besonderen Schw
Alle anzeigen

Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?