Optimierung der elektrischen Eigenschaften von lateralen ...

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Kapitel 2 Grundlagen der numerischen Modellierung
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⎡ E − E ⎤
⎛ E ⎞
np = N N exp ⎢− = N N exp⎜−
⎟=
n
kT ⎥
⎣ ⎦ ⎝ kT ⎠
C V
g 2
C V C V i
(2.8)
Die Differenz EC − EV
entspricht der Bandlücke E g . Das Massenwirkungsgesetz gilt
auch für den extrinsischen Halbleiter im thermodynamischen Gleichgewicht, weil in
diesem Fall die Quasi‐Fermienergie der Elektronen E F mit der Quasi‐Fermienergie
n
der Löcher E F zusammenfällt. Dennoch liegt das gemeinsame Ferminiveau E p
F im
thermodynamischen Gleichgewicht wegen der Dotierung nicht mehr in der Mitte der
Bandlücke, d.h. F E = E F = E n F ≠ E p F . Nach Umformung von Gl. (2.8) kann man die
i
intrinsische Ladungsdichte des Eigenhalbleiters n i berechnen:
⎛ Eg
⎞
ni = NCNV exp⎜−
2kT
⎟
⎝ ⎠ (2.9)
Bei hohen Dotierkonzentrationen (10 16 bis 10 17 cm ‐3 ) bewirkt die Wechselwirkung
zwischen den Dotieratomen eine Überlappung des Störstellenspektrums mit der
Bandkante des Leitungs‐ bzw. Valenzbandes und damit eine augenscheinliche Ver‐
schmälerung der Bandlücke. Slotboom, de Graaff und Klassen [KSG92] schlugen empi‐
rische Formeln für die Verschmälerung der Bandlücke in Silizium vor:
⎡
2 ⎤
−3
( ) ⎢ ⎛ N i ⎞ ⎡ ⎛ N i ⎞⎤
E + ⎥
g N i = 6,
92 ⋅10
ln⎜
⎟ + −
⎢
⎢ln⎜
⎟⎥
0,
5 eV (2.10)
17 3
17 3
⎝1,
3⋅
10 cm ⎠
⎥
⎣
⎣ ⎝1,
3⋅
10 cm ⎠⎦
⎦
∆ −
wobei N i die jeweilige Störstellenkonzentration (Donator bzw. Akzeptor) bezeich‐
net. Unter Berücksichtigung der Verschmälerung der Bandlücke definiert man die
sogenannte „effektive intrinsische Ladungsdichte“ als
⎛ ∆Eg
⎞
nieff , = niexp⎜−
⎟
⎝ 2kT
⎠
(2.11)
Im stationären Ungleichgewicht lassen sich die Ladungsträgerdichten nicht mehr
durch ein gemeinsames Ferminiveau E F beschreiben. Für beide Ladungsträgertypen
gibt es ein eigenes Quasi‐Ferminiveau, d.h. E F für die Elektronen und E n
F für die
p
Löcher. Das elektrische Feld im Inneren eines Halbleiterbauelements wird in quasi‐
stationärer Näherung durch ein elektrisches Potential ψ gemäß
E = −∇ψ
�
(2.12)