7.5. Knotenpotentialverfahren (Knotenanalyse)
7.5. Knotenpotentialverfahren (Knotenanalyse)
7.5. Knotenpotentialverfahren (Knotenanalyse)
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
110 7 Analyse linearer Netze<br />
Die Widerstandsmatrix ist korrekt, da alle Elemente symmetrisch gegenüber<br />
der Hauptdiagonalen angeordnet sind.<br />
• Die abhängigen Ströme ergeben sich als:<br />
I1 = I5 + I6 + I7<br />
I2 = −I7 + I8 + I9<br />
I3 = −I6 − I9 + I10<br />
I4 = −I5 − I8 − I10<br />
Bemerkung:<br />
Die Lösungsstrategie über ” vollständige Bäume“ ist die einzige, die bei komplizierten<br />
Netzwerken (wie das oben behandelte) die korrekte Auswahl der unabhängigen<br />
Maschen gewährleistet.<br />
<strong>7.5.</strong> <strong>Knotenpotentialverfahren</strong> (<strong>Knotenanalyse</strong>)<br />
<strong>7.5.</strong>1. Abhängige und unabhängige Spannungen<br />
Die Maschenanalyse hat als Ziel, die m = z − k +1 ” unabhängigen“ Ströme zu<br />
bestimmen. Die übrigen (k − 1) abhängigen Ströme, die in den Baumzweigen<br />
des vollständigen Baumes fließen, werden anschließend durch einfache Superposition<br />
4 ermittelt.<br />
Nun kann man davon ausgehen, dass man Spannungen in bestimmten Netzzweigen<br />
bestimmen möchte. Dann hat man das nur für die unabhängigen<br />
Spannungen zu tun, die übrigen lassen sich aus diesen mit Hilfe der 2. Kirchhoffschen<br />
Gleichung ausdrücken.<br />
Es soll die Schaltung der Wheatstone–Brücke (siehe Abbildung 7.16) betrachtet<br />
werden.<br />
Man wählt zunächst einen vollständigen Baum aus. Ein solcher Baum ist in<br />
der Abbildung 7.16, rechts dargestellt. Man kann leicht sehen, dass die drei<br />
Spannungen U1, U2 und U3 der drei Baumzweige unabhängig sind, d.h.: diese<br />
Spannungen könnte man beliebig vorschreiben. Würde man noch irgendeinen<br />
Zweig dazunehmen, so würde diese neue Spannung nicht mehr unabhängig<br />
sein, denn es würde eine geschlossene Masche entstehen, in der die Umlaufgleichung<br />
U = 0 gelten muss. Es wäre auch unmöglich, die drei Spannungen U4,<br />
U5 und U6 in den drei Verbindungszweigen vorzuschreiben, denn für sie gilt:<br />
U4 + U5 + U6 =0,<br />
also eine Spannung davon ist abhängig.<br />
4 durch Anwendung der 1. Kirchhoffschen Gleichung
7.5 <strong>Knotenpotentialverfahren</strong> (<strong>Knotenanalyse</strong>) 111<br />
A<br />
R4<br />
R1<br />
R6<br />
B<br />
D<br />
R2<br />
R5<br />
R3<br />
Uq6<br />
C<br />
U1<br />
4 5<br />
Abbildung 7.16.: Wheatstone–Brücke mit Spannungsquelle und vollständiger<br />
Baum<br />
Merksatz Die Spannungen an den Baumzweigen5 bezeichnet man als unabhängige<br />
Spannungen. Die übrigen Spannungen an den Verbindungszweigen<br />
erhält man aus den Maschengleichungen.<br />
Das <strong>Knotenpotentialverfahren</strong> bestimmt die (k−1) unabhängigen Spannungen.<br />
Die restlichen m Spannungen kann man aus Maschengleichungen ermitteln.<br />
<strong>7.5.</strong>2. Aufstellung der Knotengleichungen<br />
Um Spannungen leicht zu bestimmen, ist es sinnvoll, das Ohmsche Gesetz in<br />
der Form I = G · U anzuwenden, und dazu<br />
• alle Spannungsquellen in Stromquellen umzuwandeln<br />
• alle Widerstände R in Leitwerte G umzuwandeln.<br />
A<br />
U4<br />
IG6<br />
Iq6<br />
B<br />
D<br />
U5<br />
IG4 G4<br />
IG2 G5 IG5<br />
U2 G2<br />
U1<br />
U3<br />
IG1 IG3<br />
G1<br />
U6<br />
Abbildung 7.17.: Wheatstone–Brücke mit Leitwerten und Stromquelle<br />
5 Es gibt (k − 1)Baumzweige<br />
G6<br />
G3<br />
C<br />
U2<br />
6<br />
U3
112 7 Analyse linearer Netze<br />
Die zu untersuchende Schaltung ergibt sich dann so, wie in Abbildung 7.17<br />
gezeigt. Man kann das Ohmsche Gesetz für alle sechs Leitwerte schreiben:<br />
IG1 = U1 · G1<br />
IG2 = U2 · G2<br />
. =<br />
IG6 =U6 · G6 .<br />
Die 1. Kirchhoffsche Gleichung ergibt in den Knoten A, B und C:<br />
IG1 + IG4 − IG6 − Iq6 = 0 Knoten (A)<br />
IG2 + IG5 − IG4 = 0 Knoten (B)<br />
IG3 + IG6 − IG5 + Iq6 = 0 Knoten (C)<br />
Die drei unabhängigen Maschengleichungen sind:<br />
U4 = U1 − U2<br />
U5 = U2 − U3<br />
U6 = U3 − U1<br />
In den Knotengleichungen kann man die Ströme durch die zugehörigen Spannungen<br />
ausdrücken:<br />
⎧<br />
Knoten (A) ⎨ G1 · U1 + G4 · U4 − G6 · U6= Iq6<br />
Knoten (B) G2 · U2 − G4 · U4 + G5 · U5= 0<br />
⎩<br />
Knoten (C) G3 · U3 − G5 · U5 + G6 · U6=−Iq6<br />
Jetzt kann man die abhängigen Spannungen U4, U5 und U6 mit Hilfe der drei<br />
Maschengleichungen eliminieren:<br />
⎧<br />
Knoten (A) ⎨ G1 · U1 + G4 · (U1 − U2) − G6 · (U3 − U1)= Iq6<br />
Knoten (B) G2 · U2 − G4 · (U1 − U2)+G5 · (U2 − U3)= 0<br />
⎩<br />
Knoten (C) G3 · U3 − G5 · (U2 − U3)+G6 · (U3 − U1)=−Iq6<br />
Man kann dieses Gleichungssystem nach den drei unbekannten Spannungen U1,<br />
U2 und U3 ordnen:<br />
(A)<br />
(B)<br />
(C)<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
(G1 + G4 + G6) · U1 −G4 · U2 −G6 · U3 = Iq6<br />
−G4 · U1 +(G2 + G4 + G5) · U2 −G5 · U3 = 0<br />
−G6 · U1 −G5 · U2 +(G3 + G5 + G6) · U3 = −Iq6<br />
Dieses Gleichungssystem kann folgendermaßen gedeutet werden:<br />
• Jede Gleichung entsteht aus einer Knotengleichung.<br />
• Was jede Gleichung enthält, kann man z.B. im Knoten (A) betrachten:
7.5 <strong>Knotenpotentialverfahren</strong> (<strong>Knotenanalyse</strong>) 113<br />
U4<br />
U1<br />
U2<br />
B<br />
U5<br />
A D C<br />
0000 1111 U3<br />
U6<br />
Abbildung 7.18.: Vollständiger Baum mit dem Knoten D als Bezugsknoten<br />
– Der einzige Baumzweig ist hier der Baumzweig 1. Seine unabhängige<br />
Spannung U1 multipliziert die Summe aller drei im Knoten (A)<br />
zusammengeführten Leitwerte G1 + G4 + G6. Man bezeichnet G1 +<br />
G4 + G6 als Knotenleitwert.<br />
– Als Koeffizienten für die anderen zwei Spannungen U2 und U3 treten<br />
die Leitwerte G4 und G6 auf, die den Knoten (A) direkt mit<br />
dem Knoten (B) 6bzw. mit dem Knoten (C) 7verbinden: G4 ist der<br />
Kopplungsleitwert zwischen Knoten (A) und Knoten (B), G6 ist<br />
der Kopplungsleitwert zwischen Knoten (A) und Knoten (C).<br />
• Man bemerkt, dass alle Knotenleitwerte positiv, alle Kopplungsleitwerte<br />
negativ sind.<br />
• Auf der rechten Seite erscheint die Summe aller Quellenströme, die in<br />
den betreffenden Knoten hineinfließen 8 (siehe Abbildung 7.18).<br />
Eine kompakte Schreibform für das untersuchte Gleichungssystem sieht folgendermaßen<br />
aus:<br />
<br />
<br />
G11 G12 <br />
... G <br />
1(k−1) <br />
G21 G22 <br />
... G <br />
2(k−1) <br />
<br />
· = <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
.<br />
G (k−1) 1 G (k−1) 2 ... G (k−1) (k−1)<br />
mit: Gii > 0 = Knotenleitwerte,<br />
Gij < 0 = Kopplungsleitwerte,<br />
U ′ i<br />
I ′ qi<br />
= unabhängige Spannungen,<br />
U ′ 1<br />
U ′ 2<br />
.<br />
U ′ k−1<br />
= Summe aller Quellenströme in dem Knoten i<br />
(mit Pluszeichen, wenn sie hineinfließen).<br />
6 U2 ist die dem Knoten (B) zugeordnete unabhängige Spannung<br />
7 U3 ist die dem Knoten (C) zugeordnete unabhängige Spannung<br />
8 Fließen Ströme aus dem Knoten heraus, so erhalten sie ein Minuszeichen<br />
I ′ q1<br />
I ′ q2<br />
.<br />
I ′ qk−1
114 7 Analyse linearer Netze<br />
Diskussion über die Struktur der Leitwertmatrix für die <strong>Knotenanalyse</strong><br />
Man muss besonders betonen, dass das sehr einfache Bildungsgesetz für das<br />
Gleichungssystem (alle Knotenleitwerte positiv, alle Kopplungsleitwerte negativ)<br />
nur dann gilt, wenn<br />
• der Baum alle Knoten des Netzes strahlenförmig mit einem Bezugsknoten<br />
verbindet,<br />
• man den Bezugsknoten bei der Anwendung der Knotengleichungen<br />
nicht benutzt,<br />
• die Zählpfeile der unabhängigen Spannungen auf den Bezugsknoten<br />
zuweisen.<br />
Diese erhebliche Einschränkung bei der Auswahl des vollständigen Baumes wird<br />
praktisch immer hingenommen.<br />
Anmerkung : Man könnte auch mit einem anderen Baum zum Ziel kommen,<br />
doch dann wäre das Gleichungssystem nicht mehr so einfach.<br />
<strong>7.5.</strong>3. Regeln zur Anwendung der <strong>Knotenanalyse</strong><br />
1. Man formt die Schaltung um, indem man<br />
• alle Widerstände in Leitwerte umrechnet,<br />
• alle Spannungsquellen durch Stromquellen ersetzt,<br />
• die nötigen Vereinfachungen durchführt (vor allem Parallelschaltungen<br />
von Leitwerten).<br />
Die Ströme erhalten Zählpfeile.<br />
2. Man wählt einen beliebigen Bezugsknoten aus, dem man ein willkürlich<br />
gewähltes Potential 9 zuweist. Die Spannungen zwischen diesem Knoten<br />
und den übrigen Knoten, also die entsprechenden Potentialdifferenzen,<br />
sind die unabhängigen Spannungen.<br />
Das Ziel der <strong>Knotenanalyse</strong> ist, die unbekannten (k − 1) unabhängigen<br />
Knotenspannungen zu bestimmen. Diese Zahl ist in den meisten Fällen<br />
kleiner als m.<br />
3. Mit dem Bezugsknoten ist der vollständige Baum festgelegt: er verbindet<br />
sternförmig alle Knoten mit dem Bezugsknoten. Sind nicht alle<br />
Knoten direkt mit dem Bezugsknoten verbunden, so fügt man Zweige mit<br />
dem Leitwert G = 0 ein.<br />
9 Als Potential kann z.B. Null gewählt werden, d.h. der Knoten wird gedanklich ” geerdet“.
7.5 <strong>Knotenpotentialverfahren</strong> (<strong>Knotenanalyse</strong>) 115<br />
4. Alle unabhängigen Spannungen erhalten Zählpfeile, die auf den Bezugsknoten<br />
zeigen.<br />
5. Man schreibt das Gleichungssystem für die (k − 1) unbekannten unabhängigen<br />
Spannungen, indem man nacheinander alle Knoten betrachtet.<br />
Der Bezugsknoten erhält keine Gleichung !<br />
• Der Koeffizient der unabhängigen Spannung des betreffenden Knotens<br />
ist der immer positive Knotenleitwert. Er ist gleich der<br />
Summe aller Leitwerte, die in dem Knoten zusammengeführt sind.<br />
• Die Koeffizienten der anderen unabhängigen Spannungen sind die<br />
immer negativen Kopplungsleitwerte.<br />
• Auf der rechten Seite steht die Summe der Quellenströme in dem<br />
betrachteten Knoten, mit Pluszeichen, wenn sie hineinfließen.<br />
6. Man löst das Gleichungssystem für die (k − 1) unbekannten Spannungen.<br />
7. Die abhängigen Spannungen ergeben sich aus den Maschengleichungen.<br />
8. Die Ströme ergeben sich aus dem Ohmschen Gesetz<br />
I = G · U<br />
oder, in Zweigen mit Quellen, aus einer Kirchhoffschen Gleichung.<br />
<strong>7.5.</strong>4. Beispiele zur Anwendung der <strong>Knotenanalyse</strong><br />
Beispiel 7.9<br />
Für die Wheatstone–Brücke aus Abbildung 7.19 (links) sollen alle Ströme mit<br />
Hilfe der <strong>Knotenanalyse</strong> bestimmt werden. Für die Richtungen der Ströme siehe<br />
Abb. 7.13.<br />
R4<br />
R1 R6<br />
B<br />
I6<br />
R2<br />
R5<br />
Uq6<br />
G4<br />
A C A<br />
D D<br />
R3<br />
G1<br />
IG6<br />
Iq6<br />
B<br />
G2<br />
G6<br />
G5<br />
G3<br />
Abbildung 7.19.: Wheatstone–Brücke zu Beispiel 7.9<br />
Es gilt: Uq6 =10V , R1 =3Ω, R2 =1Ω, R3 =2Ω, R4 =1Ω, R5 =5Ω,<br />
R6 =1Ω.<br />
C
116 7 Analyse linearer Netze<br />
1. Man formt die Schaltung um:<br />
• Widerstände → Leitwerte:<br />
G1 = 1 R1 = 1 3 S ; G2 = 1 R2 =1S ; G3 = 1 R3 = 1 2 S<br />
G4 = 1 R4 =1S ; G5 = 1 R5 = 1 5 S ; G6 = 1 R1 =1S<br />
2. • Man wandelt die Spannungsquelle in eine Stromquelle um:<br />
A C A C<br />
R6<br />
Iq6<br />
Uq6<br />
= Uq6<br />
R6<br />
Iq6<br />
= 10 V<br />
1Ω =10A<br />
3. Als Bezugsknoten wird der Knoten (D) gewählt.<br />
4. Es ergibt sich der vollständige Baum aus der Abbildung 7.18.<br />
5. Die unabhängigen Spannungen sind U1, U2 und U3. Das Gleichungssystem<br />
lautet:<br />
U1 U2 U3<br />
G1 + G4 + G6<br />
−G4<br />
−G4<br />
G2 + G4 + G5<br />
−G6<br />
−G5<br />
Iq6<br />
0<br />
−G6 −G5 G3 + G5 + G6 −Iq6<br />
bzw. mit Zahlenwerten:<br />
U1 U2 U3<br />
1<br />
3<br />
S +1S +1S −1 S −1 S 10 A<br />
−1 S 1 S +1S + 1 5 S −1 5<br />
S 0<br />
−1 S −1 5 S 1<br />
2<br />
S + 1 5<br />
S +1S −10 A<br />
5. Es ergeben sich: U1 =3V U2 =1V U3 = −4 V<br />
6. Aus den Maschengleichungen (siehe Graph) ergeben sich die abhängigen<br />
Spannungen:<br />
U4 = U1 − U2 =3V − 1 V =2V<br />
U5 = U2 − U3 =1V − (−4 V )=5V<br />
U6 = U3 − U1 = −4 V − 3 V = −7 V<br />
R6
7.5 <strong>Knotenpotentialverfahren</strong> (<strong>Knotenanalyse</strong>) 117<br />
7. Die sechs gesuchten Ströme sind:<br />
I1 = U1 · G1 =3V · 1 3<br />
S =1A<br />
I2 = U2 · G2 =1V · 1 S =1A<br />
I3 = U3 · G3 = −4 V · 1 2<br />
S = −2 A<br />
I4 = U4 · G4 =2V · 1 S =2A<br />
I5 = U5 · G5 =5V · 1 5<br />
S =1A<br />
I6 = IG6 + Iq6 = U6 · G6 + Iq6<br />
= −7 V · 1 S +10A =3A<br />
Man ersieht, dass sich alle Ströme in den passiven Zweigen direkt aus dem<br />
Ohmschen Gesetz ergeben. In Zweigen mit Quellen muss man zusätzlich die<br />
Knotengleichung berücksichtigen.<br />
<br />
Beispiel 7.10<br />
In der folgenden Schaltung (siehe nächste Abbildung, oben) soll der Strom IAB<br />
mit der <strong>Knotenanalyse</strong> ermittelt werden. Es gilt: Uq1 =20V , Uq2 =10V ,<br />
R1 =5Ω, R2 =10Ω, R3 =2Ω, R4 =5Ω.<br />
Uq1<br />
4A<br />
I1<br />
1<br />
5 S<br />
R1<br />
A<br />
C<br />
1<br />
2 S<br />
A B<br />
I3<br />
R3<br />
1<br />
5 S<br />
C<br />
1<br />
10<br />
IAB<br />
R4<br />
R2<br />
Uq2<br />
A<br />
1A<br />
4A 1A<br />
S 1S<br />
C<br />
0000 1111<br />
Zuerst muss das Netzwerk umgewandelt werden (untere Abbildung, links). In<br />
diesem Netzwerk fasst man die Leitwerte zusammen. Wählt man den unteren<br />
Knoten C als Bezugsknoten, so muss man nur die Gleichung des oberen Knotens<br />
(A–B) schreiben. Die einzige Gleichung lautet:<br />
G · U =5A → U =<br />
5 A<br />
1 S =5V<br />
Jetzt muss man in die ursprüngliche Schaltung zurückgehen, um den gesuchten<br />
Strom zu ermitteln. Da die Spannung zwischen A und C bekannt ist, kann man