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ya b xAbbildung 3: Summierte Rechteck-RegelR [a,b] ≤ n · M 1 · h22 = M (b − a)21 ·2nDer Verfahrensfehler geht zwar für n → ∞ gegen 0, aber der Fehler nimmt nur proportionalzu n ab. Anders ausgedrückt: Um die Genauigkeit um eine Dezimalstelle zu verbessern muss nverzehnfacht werden.2.2 TrapezregelEine wesentliche Verbesserung des numerischen Integralwertes gegenüber des einfachen Rechteckverfahrenslässt sich erzielen, indem statt Rechteckflächen Trapezflächen für die Annäherungder Fläche unter der durch die Funktion f(x) gegebenen Kurve auf einem Interval [a, b]verwendet werden. Man nennt diese Approximation Trapezregel.y0 h xAbbildung 4: Trapez-RegelFür das Intervall [0, h] ergibt sich daraus für das Integral die Näherungsformel :∫ h0f(x)dx ≈ h ·f(h) + f(0)25
Es stellt sich nun wiederum die Frage, wie groß wohl der Fehler gegenüber dem exakten Integralwertist. Der Fehler wird durch die GleichungR(h) =∫ h0f(x)dx − h ·f(h) + f(0)2bestimmt. Unter der Voraussetzung, dass die Funktion f zweimal stetig differenzierbar ist, ergibtsich daraus durch zweimalige Differentiation:R ′ (h) = f(h) − 1 2 · (f(h) + f(0)) − h 2 · f ′ (h) = 1 2 · f(h) − 1 2 · f(0) − h 2 · f ′ (h)R ′′ (h) = 1 2 · f ′ (h) − 1 2 · f ′ (h) − h 2 · f ′′ (h) = − h 2 · f ′′ (h)R ′′ kann betragsmäßig abgeschätzt werden:|R ′′ (h)| = h 2 · |f ′′ (h)| ≤ M 2 · h2wobei M 2 = sup |f ′′ (t)|t∈[0,h]Integration ergibt die Fehlerabschätzung|R(h)| ≤ M 2 · h312Indem das Intervall, über dem die Funktion integriert werden soll, in kleinere, gleich großeTeilintervalle zerlegt wird und die Trapezflächen über diesen Teilintervallen summiert werden,gelangt man zum Trapezverfahren.ya b xAbbildung 5: Summierte Trapez-RegelAls Näherung für das Integral einer Funktion f über ein Intervall [a, b] erhält man bei einerZerlegung in n Teilintervalle der Länge h = b−an∫ ba(f(x)dx ≈ h n−1)∑2 · {f(a) + 2f(a + i · h) + f(b)}i=16
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