Numerische Integration - Telle-Online.de
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U(f, Z) :=O(f, Z) :=n∑(a i − a i−1 ) · inf{f(x); a i−1 ≤ x ≤ a i }i=1n∑(a i − a i−1 ) · sup{f(x); a i−1 ≤ x ≤ a i }i=1und es giltU(f, Z) ≤∫ baf(x)dx ≤ O(f, Z)Für die praktische Anwendung ist diese Vorgehensweise jedoch ungeeignet, da insbeson<strong>de</strong>redie Bestimmung <strong>de</strong>s Infimums und <strong>de</strong>s Supremums auf <strong>de</strong>n Teilintervallen aufwendig ist. In<strong>de</strong>r Praxis häufig erwünscht ist allerdings eine Eingrenzung <strong>de</strong>s tatsächlichen Integralwertesbzw. eine Abschätzung <strong>de</strong>s Fehlers, <strong>de</strong>r bei <strong>de</strong>r numerischen Berechnung auftritt.2 QuadraturformelnAus <strong>de</strong>r großen Vielfalt von Quadraturformeln sollen in <strong>de</strong>n folgen<strong>de</strong>n Abschnitten einige elementareMetho<strong>de</strong>n vorgestellt wer<strong>de</strong>n.2.1 RechteckregelDie Definition <strong>de</strong>s Riemannschen Integrals legt die I<strong>de</strong>e nahe, die Fläche unter <strong>de</strong>r durch dieFunktion f(x) gegebenen Kurve auf einem Interval [a, b] durch Rechteckflächen anzunähern.Man nennt diese einfache Approximation Rechteckregel. Die Breite <strong>de</strong>r Rechteckfläche istdurch das Interval bestimmt, für die Höhe gibt es zwei Möglichkeiten: <strong>de</strong>r Funktionswert kannam linken o<strong>de</strong>r auch am rechten Intervallen<strong>de</strong> genommen wer<strong>de</strong>n.y0 h xAbbildung 2: Rechteck-Regel3