Numerische Integration - Telle-Online.de

Teilflächen mit diesen Unstetigkeitsstellen nur sehr ungenau approximiert werden. Dies äußertsich in einer mehr oder weniger großen Abweichung vom exakten Integralwert.Als Beispiel soll folgende bei 0 unstetige Funktion im Intervall [−1, +1] mit dem Simpson-Verfahren integriert werden:f(x) :={ −1 x ≤ 01 x > 0Als exakter Wert müsste sich natürlich 0 ergeben. Für verschiedene Anzahlen von Teilintervallenergeben sich mehr oder minder große Abweichungen:n Simpson(n)2 −1.3333333310 0.26666667100 0.01333333Offensichtlich ist die Formel für die Fehlerabschätzung nicht anwendbar, da die Funktion nichtstetig differenzierbar ist.Falls die Funktion f(x) oder ihre erste Ableitung an den Stellen a ≤ x 1 < x 2 < · · · < x n ≤b endliche Unstetigkeiten besitzt, dann kann das Integral als Summe der Integrale über denjeweiligen Teilintervallen ausgedrückt werden:∫ baf(x)dx =∫ x 1af(x)dx +∑n−1i=1∫x i+1x if(x)dx +∫ bx nf(x)dxAuf die Teilintervalle können die üblichen numerischen Verfahren angewandt werden.Schwieriger ist in der Regel die numerische Berechnung von Integralen, bei denen der IntegrandUnendlichkeitsstellen besitzt. Eine Möglichkeit besteht in einem solchen Fall manchmaldarin, eine geeignete Variablensubstitution durchzuführen. Eine weitere Möglichkeit stellt dieEntwicklung des Integranden in eine Taylor-Reihe dar.4 ZusammenfassungDie numerische Integration ist eine der ältesten Disziplinen der numerischen Mathematik. Entsprechendumfangreich ist die Literatur auf diesem Gebiet. In dieser Ausarbeitung konnte dahernur ein Schlaglicht auf die vielfältigen Berechnungsmethoden geworfen und die grundlegendstenVerfahren ausführlicher dargestellt werden. Daneben existieren jedoch noch viele, vieleandere Methoden, die sich in der Bestimmung der Intervallzerlegung oder der Bildung undVerrechnung der Flächen unterscheiden.13