Numerische Integration - Telle-Online.de
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Teilflächen mit diesen Unstetigkeitsstellen nur sehr ungenau approximiert wer<strong>de</strong>n. Dies äußertsich in einer mehr o<strong>de</strong>r weniger großen Abweichung vom exakten Integralwert.Als Beispiel soll folgen<strong>de</strong> bei 0 unstetige Funktion im Intervall [−1, +1] mit <strong>de</strong>m Simpson-Verfahren integriert wer<strong>de</strong>n:f(x) :={ −1 x ≤ 01 x > 0Als exakter Wert müsste sich natürlich 0 ergeben. Für verschie<strong>de</strong>ne Anzahlen von Teilintervallenergeben sich mehr o<strong>de</strong>r min<strong>de</strong>r große Abweichungen:n Simpson(n)2 −1.3333333310 0.26666667100 0.01333333Offensichtlich ist die Formel für die Fehlerabschätzung nicht anwendbar, da die Funktion nichtstetig differenzierbar ist.Falls die Funktion f(x) o<strong>de</strong>r ihre erste Ableitung an <strong>de</strong>n Stellen a ≤ x 1 < x 2 < · · · < x n ≤b endliche Unstetigkeiten besitzt, dann kann das Integral als Summe <strong>de</strong>r Integrale über <strong>de</strong>njeweiligen Teilintervallen ausgedrückt wer<strong>de</strong>n:∫ baf(x)dx =∫ x 1af(x)dx +∑n−1i=1∫x i+1x if(x)dx +∫ bx nf(x)dxAuf die Teilintervalle können die üblichen numerischen Verfahren angewandt wer<strong>de</strong>n.Schwieriger ist in <strong>de</strong>r Regel die numerische Berechnung von Integralen, bei <strong>de</strong>nen <strong>de</strong>r IntegrandUnendlichkeitsstellen besitzt. Eine Möglichkeit besteht in einem solchen Fall manchmaldarin, eine geeignete Variablensubstitution durchzuführen. Eine weitere Möglichkeit stellt dieEntwicklung <strong>de</strong>s Integran<strong>de</strong>n in eine Taylor-Reihe dar.4 ZusammenfassungDie numerische <strong>Integration</strong> ist eine <strong>de</strong>r ältesten Disziplinen <strong>de</strong>r numerischen Mathematik. Entsprechendumfangreich ist die Literatur auf diesem Gebiet. In dieser Ausarbeitung konnte dahernur ein Schlaglicht auf die vielfältigen Berechnungsmetho<strong>de</strong>n geworfen und die grundlegendstenVerfahren ausführlicher dargestellt wer<strong>de</strong>n. Daneben existieren jedoch noch viele, vielean<strong>de</strong>re Metho<strong>de</strong>n, die sich in <strong>de</strong>r Bestimmung <strong>de</strong>r Intervallzerlegung o<strong>de</strong>r <strong>de</strong>r Bildung undVerrechnung <strong>de</strong>r Flächen unterschei<strong>de</strong>n.13