Numerische Integration - Telle-Online.de

FernUniversitätGesamthochschule in HagenFACHBEREICH MATHEMATIKLEHRGEBIET KOMPLEXE ANALYSISProf. Dr. Andrei DumaProseminar 1092 - AnalysisNumerische IntegrationUlrich TelleMatrikel-Nr. 1471341Köln, den 7. Dezember 2002

Inhaltsverzeichnis1 Einleitung 22 Quadraturformeln 32.1 Rechteckregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Trapezregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Simpsonregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.438 -Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Newton-Cotes-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6 Gauß-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Praktische Aspekte der numerischen Integration 113.1 Fehlerabschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Integrale mit Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Zusammenfassung 131

U(f, Z) :=O(f, Z) :=n∑(a i − a i−1 ) · inf{f(x); a i−1 ≤ x ≤ a i }i=1n∑(a i − a i−1 ) · sup{f(x); a i−1 ≤ x ≤ a i }i=1und es giltU(f, Z) ≤∫ baf(x)dx ≤ O(f, Z)Für die praktische Anwendung ist diese Vorgehensweise jedoch ungeeignet, da insbesonderedie Bestimmung des Infimums und des Supremums auf den Teilintervallen aufwendig ist. Inder Praxis häufig erwünscht ist allerdings eine Eingrenzung des tatsächlichen Integralwertesbzw. eine Abschätzung des Fehlers, der bei der numerischen Berechnung auftritt.2 QuadraturformelnAus der großen Vielfalt von Quadraturformeln sollen in den folgenden Abschnitten einige elementareMethoden vorgestellt werden.2.1 RechteckregelDie Definition des Riemannschen Integrals legt die Idee nahe, die Fläche unter der durch dieFunktion f(x) gegebenen Kurve auf einem Interval [a, b] durch Rechteckflächen anzunähern.Man nennt diese einfache Approximation Rechteckregel. Die Breite der Rechteckfläche istdurch das Interval bestimmt, für die Höhe gibt es zwei Möglichkeiten: der Funktionswert kannam linken oder auch am rechten Intervallende genommen werden.y0 h xAbbildung 2: Rechteck-Regel3

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird im folgenden das Intervall auf [0, h] festgelegt undder Funktionswert am linken Intervallende verwendet. Daraus ergibt sich für das Integral dieNäherungsformel :∫ h0f(x)dx ≈ h · f(0)Es stellt sich nun natürlich die Frage, wie groß wohl der Fehler gegenüber dem exakten Integralwertist. Der Fehler wird durch die GleichungR(h) =∫ h0f(x)dx − h · f(0)bestimmt. Unter der Voraussetzung, dass die Funktion f einmal stetig differenzierbar ist, ergibtsich daraus durch zweimalige Differentiation:R ′ (h) = f(h) − f(0)R ′′ (h) = f ′ (h)R ′′ kann betragsmäßig abgeschätzt werden:|R ′′ (h)| = |f ′ (h)| ≤ M 1 wobei M 1 = sup |f ′ (t)|t∈[0,h]Integration ergibt die Fehlerabschätzung|R(h)| ≤ M 1 · h22Indem das Intervall, über dem die Funktion integriert werden soll, in kleinere, gleich große Teilintervallezerlegt wird und die Rechteckflächen über diesen Teilintervallen summiert werden,gelangt man zum Rechteckverfahren, dem einfachsten numerischen Integrationverfahren. Danach Voraussetzung die Funktion integrierbar ist, spielt es bei einer genügend feinen Zerlegungkeine Rolle, ob der linke oder rechte Funktionswert für die Flächenberechnung benutzt wird. ImFalle der Existenz des Integrals, die ja vorausgesetzt wird, konvergieren beide Summen gegenden gleichen Grenzwert.Als Näherung für das Integral einer Funktion f über ein Intervall [a, b] erhält man bei einerZerlegung in n Teilintervalle der Länge h = b−an∫ ba∑n−1f(x)dx ≈ h · f(a + i · h)Entsprechend der obigen Fehlerabschätzung beträgt der Gesamtfehleri=04

ya b xAbbildung 3: Summierte Rechteck-RegelR [a,b] ≤ n · M 1 · h22 = M (b − a)21 ·2nDer Verfahrensfehler geht zwar für n → ∞ gegen 0, aber der Fehler nimmt nur proportionalzu n ab. Anders ausgedrückt: Um die Genauigkeit um eine Dezimalstelle zu verbessern muss nverzehnfacht werden.2.2 TrapezregelEine wesentliche Verbesserung des numerischen Integralwertes gegenüber des einfachen Rechteckverfahrenslässt sich erzielen, indem statt Rechteckflächen Trapezflächen für die Annäherungder Fläche unter der durch die Funktion f(x) gegebenen Kurve auf einem Interval [a, b]verwendet werden. Man nennt diese Approximation Trapezregel.y0 h xAbbildung 4: Trapez-RegelFür das Intervall [0, h] ergibt sich daraus für das Integral die Näherungsformel :∫ h0f(x)dx ≈ h ·f(h) + f(0)25

Es stellt sich nun wiederum die Frage, wie groß wohl der Fehler gegenüber dem exakten Integralwertist. Der Fehler wird durch die GleichungR(h) =∫ h0f(x)dx − h ·f(h) + f(0)2bestimmt. Unter der Voraussetzung, dass die Funktion f zweimal stetig differenzierbar ist, ergibtsich daraus durch zweimalige Differentiation:R ′ (h) = f(h) − 1 2 · (f(h) + f(0)) − h 2 · f ′ (h) = 1 2 · f(h) − 1 2 · f(0) − h 2 · f ′ (h)R ′′ (h) = 1 2 · f ′ (h) − 1 2 · f ′ (h) − h 2 · f ′′ (h) = − h 2 · f ′′ (h)R ′′ kann betragsmäßig abgeschätzt werden:|R ′′ (h)| = h 2 · |f ′′ (h)| ≤ M 2 · h2wobei M 2 = sup |f ′′ (t)|t∈[0,h]Integration ergibt die Fehlerabschätzung|R(h)| ≤ M 2 · h312Indem das Intervall, über dem die Funktion integriert werden soll, in kleinere, gleich großeTeilintervalle zerlegt wird und die Trapezflächen über diesen Teilintervallen summiert werden,gelangt man zum Trapezverfahren.ya b xAbbildung 5: Summierte Trapez-RegelAls Näherung für das Integral einer Funktion f über ein Intervall [a, b] erhält man bei einerZerlegung in n Teilintervalle der Länge h = b−an∫ ba(f(x)dx ≈ h n−1)∑2 · {f(a) + 2f(a + i · h) + f(b)}i=16

Estimation de la fatigueMéthodes subjectives (actives)Echelles perceptivesQuestionnaires (POMS…)Echelle de sensations1 - super forme, super sensations2 -3 - forme, sensations, récupacceptables4 -5 - sensations et récupérationvariables6 -7 -8 - mauvaises sensations9 -10 - épuisé, rien envie de faireEchelle d’humeurje me sens :1 - de très bonne humeur2 -3 - bien4 -5 - détendu6 -7 -8 - anxieux9 -10 - dépriméIndice de fatigue = (sensations + humeur) / 2

Hieraus ergibt sich die bemerkenswerte Tatsache, dass durch die Keplersche Fassregel sogarkubische Parabeln exakt integriert werden.Indem das Intervall, über dem die Funktion integriert werden soll, in eine gerade Anzahl kleinerer,gleich großer Teilintervalle zerlegt wird und die keplersche Fassregel jeweils auf Doppelteilintervallenangwendet wird, gelangt man zum Simpsonverfahren.Als Näherung für das Integral einer Funktion f über ein Intervall [a, b] erhält man bei einerZerlegung in n Teilintervalle der Länge h = b−an∫ ba⎛⎞f(x)dx ≈ h n/2n/2−13 · {f(a) + ∑∑⎝4 f(a + (2i − 1) · h) + 2 f(a + (2i) · h) ⎠ + f(b)}i=1Entsprechend der obigen Fehlerabschätzung beträgt der Gesamtfehleri=1bzw.R [a,b] ≤ n 2 · M 3 · h436 = M (b − a)43 ·72n 3R [a,b] ≤ n 2 · M 4 · h590 = M (b − a)54 ·180n 4Der Verfahrensfehler nimmt also proportional zu n 3 oder sogar n 4 ab.2.438 -RegelDa das Simpson-Verfahren nur anwendbar ist, wenn die Anzahl der Teilintervalle gerade ist,stellt sich die Frage, wie bei einer ungeraden Anzahl verfahren werden kann. Von Newtonstammt eine Formel für die Integration über drei gleichgroße Intervalle der Länge h (also mit 4Stützstellen). Wegen ihrer Koeffizienten wird diese Formel auch 3 -Regel genannt; Newton soll8ihr den Namen Pulcherima, die Schönste, gegeben haben:∫ 3hf(x)dx ≈ 3h 8{f(0) + 3f(h) + 3f(2h) + f(3h)}Für den Fehler gilt folgende Abschätzung:0|R(h)| ≤ M 4 · 3h580wobei M 4 =sup |f (4) (t)|t∈[−h,h]Die Genauigkeit ist also von der gleichen Ordnung wie die der keplerschen Fassregel. DieFormel ist daher in Verbindung mit dem Simpson-Verfahren nützlich, wenn die Anzahl derTeilintervalle ungerade ist.9

Teilflächen mit diesen Unstetigkeitsstellen nur sehr ungenau approximiert werden. Dies äußertsich in einer mehr oder weniger großen Abweichung vom exakten Integralwert.Als Beispiel soll folgende bei 0 unstetige Funktion im Intervall [−1, +1] mit dem Simpson-Verfahren integriert werden:f(x) :={ −1 x ≤ 01 x > 0Als exakter Wert müsste sich natürlich 0 ergeben. Für verschiedene Anzahlen von Teilintervallenergeben sich mehr oder minder große Abweichungen:n Simpson(n)2 −1.3333333310 0.26666667100 0.01333333Offensichtlich ist die Formel für die Fehlerabschätzung nicht anwendbar, da die Funktion nichtstetig differenzierbar ist.Falls die Funktion f(x) oder ihre erste Ableitung an den Stellen a ≤ x 1 < x 2 < · · · < x n ≤b endliche Unstetigkeiten besitzt, dann kann das Integral als Summe der Integrale über denjeweiligen Teilintervallen ausgedrückt werden:∫ baf(x)dx =∫ x 1af(x)dx +∑n−1i=1∫x i+1x if(x)dx +∫ bx nf(x)dxAuf die Teilintervalle können die üblichen numerischen Verfahren angewandt werden.Schwieriger ist in der Regel die numerische Berechnung von Integralen, bei denen der IntegrandUnendlichkeitsstellen besitzt. Eine Möglichkeit besteht in einem solchen Fall manchmaldarin, eine geeignete Variablensubstitution durchzuführen. Eine weitere Möglichkeit stellt dieEntwicklung des Integranden in eine Taylor-Reihe dar.4 ZusammenfassungDie numerische Integration ist eine der ältesten Disziplinen der numerischen Mathematik. Entsprechendumfangreich ist die Literatur auf diesem Gebiet. In dieser Ausarbeitung konnte dahernur ein Schlaglicht auf die vielfältigen Berechnungsmethoden geworfen und die grundlegendstenVerfahren ausführlicher dargestellt werden. Daneben existieren jedoch noch viele, vieleandere Methoden, die sich in der Bestimmung der Intervallzerlegung oder der Bildung undVerrechnung der Flächen unterscheiden.13