ggT und kgV.pdf - Hans & Meta Walser

Hans Walser, [20100524a]Zwischen ggT und kgV1 MotivationIn der Schule lernte man den Satz, dass das Produkt zweier Zahlen gleich dem Produktihres größten gemeinsamen Teilers (ggT) mit ihrem kleinsten gemeinsamen Vielfachen(kgV) ist:a 1 a 2 = ggT( a 1 ,a 2 ) kgV( a 1 ,a 2 )Und dann kam der erhobene Zeigefinger: Gilt aber nicht für drei Zahlen. — Mich hatdas als Schüler irritiert.2 Beispiel mit drei ZahlenRechnen wir mal mit a 1 = 2 , a 2 = 18 und a 3 = 12 .2.1 ggT und kgVFür ggT und kgV erhalten wir:ggT( 2,18,12)= 2kgV( 2,18,12)= 36ggT( 2,18,12) kgV( 2,18,12)= 2 36 = 72Andererseits ist:2 18 12 = 432Nun haben wir:ggT( 2,18,12) kgV( 2,18,12)= 2 36 = 72 432 = 2 18 12Auf der linken Seite des Ungleichheitszeichens „fehlt“ ein Faktor 6. Was hat es damitauf sich?2.2 TurnübungenWir rechnen paarweise das kgV und anschließend den ggT der drei kgV:ggT( kgV( 2,18),kgV( 2,12),kgV( 18,12))= ggT( 18,12, 36)= 6Nun machen wir es umgekehrt:kgV( ggT( 2,18),ggT( 2,12),ggT( 18,12))= kgV( 2,2,6)= 6Wir kommen bei beiden Verfahren auf die „fehlende“ Zahl 6.2.3 PrimfaktorzerlegungenWir arbeiten mit der Primfaktorzerlegung:Es ist:ma i = p i, jjj=1

Hans Walser: Zwischen ggT und kgV 2/5a 1 = 2 = 2 1a 2 = 18 = 2 1 3 2a 3 = 12 = 2 2 3 1Wir tabellieren die Exponenten; falls eine Primzahl nicht als Primfaktor vorkommt,schreiben wir den Exponenten null.1 0 =1 2 2 1Nach dem in der Schule gelernten Verfahren ist:min 1,1,2ggT( 2,18,12)= 2 ( ) min 0,2,1 3 ( ) = 2 1 3 0 = 2 1 = 2max 1,1,2kgV( 2,18,12)= 2 ( ) max 0,2,1 3 ( ) = 2 2 3 2 = 4 9 = 36Bei drei Zahlen gibt es aber zwischen dem Minimum und dem Maximum noch die Zahlin der Mitte. Die Statistiker nennen dies den Median. Nun rechnen wir damit:median 1,1,22 ( ) median 0,2,1 3 ( ) = 2 1 3 1 = 2 3 = 6Dies ist offensichtlich die „fehlende“ Zahl dazwischen.Was soll dieses Bild?3 Beispiel mit vier ZahlenWir arbeiten mit a 1 = 702 , a 2 = 168 , a 3 = 36 und a 4 = 105 .3.1 kgV und ggTEs ist:ggT( 702,168,36,105)= 3kgV( 702,168,36,105)= 98280ggT( 702,168, 36,105) kgV( 702,168,36,105)= 3 98280 = 294840Andererseits ist:702 168 36 105 = 445798080Wir haben einen „fehlenden“ Faktor:

Hans Walser: Zwischen ggT und kgV 3/5445798080294840= 15123.2 TurnübungenBei vier Zahlen gibt es sechs mögliche Paare. Wir rechnen paarweise das kgV:kgV( 702,168)= 19656 kgV( 702, 36)= 1404 kgV( 702,105)= 24570kgV( 168, 36)= 504 kgV( 168,105)= 840kgV( 36,105)= 1260Anschließend berechnen wir den ggT der sechs kgV:ggT( 19656,1404,24570,504,840,1260)= 6Nun gehen wir umgekehrt vor. Wir berechnen zuerst paarweise den ggT:ggT( 702,168)= 6 ggT( 702,36)= 18 ggT( 702,105)= 3ggT( 168,36)= 12 ggT( 168,105)= 21ggT( 36,105)= 3Für das kgV der sechs ggT ergibt sich:kgV( 6,18,3,12,21,3)= 252Wir erhalten zwei verschiedene Zahlen. Das Produkt der beiden Zahlen ist aber geradeder fehlende Faktor.4 Hintergrund4.1 PrimfaktorzerlegungenWir gehen aus von n Zahlen a 1 , … , a n und nehmen deren Primfaktorzerlegung. Dabeisei m die Nummer der größten überhaupt vorkommenden Primzahl.ma i = p i, jjj=1Wir erhalten die Exponententablle : 1,1 1,m = i, j = n,1 n,mNun ordnen wir die Spalten der Exponententabelle der Größe nach, die kleinen oben.Die Elemente der so geordneten Tabelle nennen wir k, j . Es ist also:Damit definieren wir: 1, j n, j ,mj { 1,…,m}b k = p k, jj , k 1,…,nj=1{ }

Hans Walser: Zwischen ggT und kgV 4/5Die erste Zahl, also b 1 , enthält jeweils das Minimum der bei einer Primzahl vorkommendenExponenten. Somit ist b 1 = ggT( a 1 , … , a n ).Entsprechend ist b n = kgV( a 1 , … , a n ).Auf Grund des Anordnens der Exponenten der Primfaktoren erhalten wir die Teilerketteb 1 | b 2 | b 3 || b n .Da wir in den b k insgesamt dieselben Primfaktoren haben wie in den a i , gilt:nb ki=kn = a iDamit ist das zahlentheoretische Problem meiner Jugend gelöst.4.2 BeispielZur Illustration nochmals das Beispiel mit den vier Zahlen:a 1 = 702 = 2 1 3 3 5 0 7 0 11 0 13 1Exponententabelle:Spalten der Größe nach geordnet:Das ergibt die Zahlen b i :i=1a 2 = 168 = 2 3 3 1 5 0 7 1 11 0 13 0a 3 = 36 = 2 2 3 2 5 0 7 0 11 0 13 0a 4 = 105 = 2 0 3 1 5 1 7 1 11 0 13 01 3 0 0 0 13 1 0 1 0 0 = 2 2 0 0 0 00 1 1 1 0 00 1 0 0 0 01 1 0 0 0 0 = 2 2 0 1 0 03 3 1 1 0 1b 1 = 2 0 3 1 5 0 7 0 11 0 13 0 = 3 = ggT( 702,168,36,105)b 2 = 2 1 3 1 5 0 7 0 11 0 13 0 = 6b 3 = 2 2 3 2 5 0 7 1 11 0 13 0 = 252b 4 = 2 3 3 3 5 1 7 1 11 0 13 1 = 98280 = kgV( 702,168,36,105)Die Zahlen 6 und 252 erhielten wir oben auch bei den Turnübungen.

Hans Walser: Zwischen ggT und kgV 5/54.3 MinimaxUm von n Zahlen i, j unter ausschließlicher Verwendung der beiden Funktionen min(Minimum) und max (Maximum) zum Beispiel die drittkleinste zu finden, bestimmenwir zunächst von allen Teilmengen mit genau drei Zahlen (es gibt 3 n ( ) solcher Teilmengen)je das Maximum und anschließend das Minimum dieser Maxima. — Nun ja, dasist ja wohl nicht die effizienteste Methode des Anordnens, aber lustig ist die Überlegungallemal. — Allgemein gilt für die k-t-kleinste Zahl k, j :( ) k, j = min max i0