Geometrische Fibonacci-Folge.pdf - Hans & Meta Walser

Hans Walser: Geometrische Fibonacci-Folge 2/5y5432100 1 2 3xVektorenDie Vektoren werden zwar immer länger, konvergieren aber gegen eine Grenzrichtung.Da die Matrix Q regulär ist, funktioniert die Folge auch für negative Indizes. Als Beispielef !8 ,…, f 0 :Negative IndizesDie folgende Figur zeigt die Vektoren f !5 ,…, f 4 :

Hans Walser: Geometrische Fibonacci-Folge 3/5y54321!3 !2 !1 1 2 3 4 5!1x!2!3Vektoren auch mit negativen IndizesDie beiden Vektoren f n und f !( n+1)sind gleich lang und orthogonal. Der Zwischenwinkelist alternieren ± ! 2 .Die Matrix q hat folgende Eigenwerte und Eigenvektoren:! 1 = 1+ 52= " ! 2 = 1# 52% 1 (&' #$)*%u 1 = 1 (&'")* u 2 == #$Hier erscheint der goldene Schnitt.Wir normieren die Vektoren f n so, dass der obere Eintrag eine 1 wird. Beispiel:Dann gilt:!f 5 = 5 $! 1$"# 8%& ! g 5 = # 8&" %$lim g n = u 1 = 1 'n!" %&#() limn!*"5$ 1 'g n = u 2 =%& *+()Die Vektoren f n nähern sich also steigungsmäßig den Eigenvektoren, werden aber beliebiglang.1.2 BeispielWir verwenden die gleiche Matrix Q, aber den Startvektor:

Hans Walser: Geometrische Fibonacci-Folge 4/5Damit erhalten wir:!f 0 = 2 $"# 1%&Anderer StartvektorEs handelt sich hier um die Lucas-Zahlen, welche dieselbe Rekursion haben wie dieFibonacci-Zahlen. Die Rekursionsformel steckt offenbar in der Matrix Q. Die beidenStartwerte packen wir in den Startvektor.2 AllgemeinWir verwenden die Matrix (der Faktor 2 im Element rechts unten hat nur ästhetischeBedeutung, die Formeln werden dann einfacher)und den Startvektor:!Q = 0 1 $"# q 2 p%&!f 0 = a 0$"#%&Damit bilden wir die geometrische Vektorfolge:f n = Q n f 0Zum Vergleich verwenden wir die Rekursionsformela n+2 = 2 pa n+1 + qa nund die Startwerte a 0 und a 1 .Dann gilt:Beweis induktiv: Zunächst ist:Induktionsschritt:!f n ="#!f 1 = Q f 0 = 0 1 $ !"# q 2 p%&"#a 0a 1a 1a na n+1f n+1 = Q n+1 f 0 = QQ n !f 0 = Q f n = 0 1 $ !"# q 2 p%&"#$%&$%& = ! a 1 $"# 2 pa 1 + qa 0 %& = ! a 1$"# a 2 %&a na n+1$%& = ! a n+1 $"# 2 pa n+1 + qa n %& = ! a n+1 $"# a n+2 %&3 Link mit der Formel von BinetEine Folge mit der Rekursion a n+2 = 2 pa n+1 + qa n und den Startwerten a 0 und a 1kann explizit dargestellt werden durch:

Hans Walser: Geometrische Fibonacci-Folge 5/5Dabei ist:" #a n !1na! 1 "! 1 " a 0 ! 22" #! 1 $n" a0 ! 1 " a 1 #! 2! 1 = ! + ( ! 2 + ") 1 2#$% ! 2 = ! " ( ! 2 + ") 1 2Beweis induktiv mit einiger Rechnung.Wir haben also, ohne die Verwendung der Matrix Q, eine Linearkombination von zweigeometrischen Folgen mit den Basen ! 1 und ! 2 . Diese Basen sind aber genau die Eigenwerteder Matrix Q.