Simon Seroka

mathematische Beschreibung der Grundwasserströmung mittelseiner partiellen DifferentialgleichungSimon Seroka23. April 2009Das Grundwasser befindet sich im Fluss, es stellt ein dynamisches Gleichgewicht von Wassereintrag,Wasseraustrag und Wassertransport dar.Die Grundwasserströmung durch poröses Gestein soll nun beschrieben werden. Dabei wirdsie als Konsequenz daraus verstanden, dass das Wasser versucht die potentielle Energie zuminimieren. Wie auch Flüsse bergab fließen, so fließt das Grundwasser durch Gestein hin zurMinimierung der potentiellen Energie.Die potentielle Energie eines Wasserteilchens ist äquivalent zur Piezometerhöhe h:mgh = E pot = 1 2 mu2 + pV + mgz⇔ h = u22g + pρg + zHierbei handelt es sich bei den einzelnen Variablen um:E pot = potentielle Energie eines Wasserteilchensu = Geschwindigkeit eines Wasserteilchensp = DruckV = Volumen eines Wasserteilchensg = Erdbeschleunigungz = Höhe über dem Bezugspunkth = Energiehöheρ = Dichte des Wassers, welches sich aus m V ergibtDa in der Grundwasserströmung u klein ist kann der erste Summand vernachlässigt werdenund es ergibt sich die sogenannte Piezometerhöhe als vereinfachte Energiehöhe, die indirektem Zusammenhang zur Energie eines Teilchens steht:h = pρg + zDie räumliche Veränderung der Piezometerhöhe ist dem Bestreben der Wasserteilchen ihrePosition zu verändern äquivalent. Beschreibt man nun also die Fließgeschwindigkeit q desWassers durch poröses Gestein, so ergibt sich folgende Proportionalität:q ∼ I mit I = − △h , oder auch I(x) = −dhL dx (x)1

Hierbei ist q die Fließgeschwindigkeit, I der Piezometerhöhengradient, △h die Piezometerhöhendifferenzentlang einer Strecke L.Die Proportionalität ergibt nun das Darcy-Gesetz:q = −kIHierbei wird die Proportionalitätskonstante k als Durchlässigkeitsbeiwert bezeichnet.Dieses eindimensionale Darcy-Gesetz kann verallgemeinert werden auf die drei Raumdimensionen:⎛ ⎞q x⎝q y⎠ = Kgrad(h)q zPasst man das Koordinatensystem an die Anisotropie im Gestein an, so ergibt sich für Kfolgender Tensor:⎛⎞K xx 0 0K = ⎝ 0 K yy 0 ⎠0 0 K zzZur Modellierung der Strömungsgleichung wird noch die Kontinuumsgleichung verwandt, diedem Gaußschen Integralsatz ähnelt. Die Kontinuumsgleichung sagt aus, dass die Summe allerZu- und Abflüsse über die Grenzen eines Kontrollvolumens gleich der Wasserspeicherungund der externen Flüsse in diesem Kontrollvolumen sein müssen. Die Wasserspeicherkapazitätwird durch die nutzbare Porösität n e wiedergegeben. Die Porösität eines Gesteins selbstwird mit n = V hohl /V total beschrieben. Je mehr Hohlraum vorhanden ist, desto leichter kanndas Wasser fließen und umgekehrt wird der Widerstand größer. Das Wasser bewegt sich imGestein von Hohlraum zu Hohlraum und nur ein Teil aller Hohlräume kann effektiv zumWassertransport und zur Wasserspeicherung genutzt werden. Dieser Anteil am Volumen wirdmit n e beschrieben (n e < n):div q = − ∂n e∂t + wq beschreibt die Fließgeschwindigkeit in die drei Raumrichtungen, w den Zufluss bzw. Abflussund n e ist die nutzbare Porösität.Fügt man nun das mehrdimensionale Darcy-Gesetz und die Kontinuumsgleichung zusammen,so ergibt sich die Grundwasserströmungsgleichung als partielle Differentialgleichung zweiterOrdnung:div(Kgrad(h)) = − ∂n e∂t + wLegt man die Länge der Basisvektoren des zugrundeliegenden Koordinatensystems so fest,dass alle Diagonaleinträge der Matrix K gleich 1 werden, so ergibt sich folgende spezielleForm der Grundwasserströmungsgleichung:div(grad(h)) = − ∂n e∂t + w⇔ △h = − ∂n e∂t + w2

Diese Form der Grundwasserströmungungsgleichung ist eine spezielle Form der Wärmeleitungsgleichungfür u = −h, a = 1 und f = w:∂u∂t = a2 △u + f3