Erfolg im Mathe-Abi - Freiburger Verlag
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Lösungen 1. Ganzrationale Funktion – Windeln<br />
c) Für x > 0 erhält man <strong>im</strong> Intervall I = [xE; xN ] den Wert von a, für den die meisten Schichten<br />
existieren, indem man das Max<strong>im</strong>um der Strecke xExN berechnet:<br />
�<br />
e−a Mit xE = a 3 und xN = a √ e−a ergibt sich die Streckenmax<strong>im</strong>umsfunktion D(a), die<br />
von a abhängt:<br />
D(a) = xN − xE = a √ e−a �<br />
e−a − a 3<br />
Um das Max<strong>im</strong>um von D(a) zu best<strong>im</strong>men, muss die erste Ableitung von D(a) gleich Null<br />
gesetzt werden. Zum Ableiten wird D(a) zuerst umgeformt:<br />
D(a) = a � 1 � � 1 �<br />
−a<br />
e−a� 2 e 2<br />
1<br />
− a 3 = a e− 2 a − 1 1<br />
√ e− 2<br />
3 a�<br />
��<br />
= a 1 − 1<br />
�<br />
1<br />
√ e− 2<br />
3<br />
a�<br />
�<br />
= 1 − 1<br />
�<br />
1<br />
√ a · e− 2<br />
3<br />
a<br />
Mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel erhält man:<br />
D ′ (a) =<br />
�<br />
1 − 1<br />
√ 3<br />
�<br />
1 −<br />
· e 2 a +<br />
D ′′ �<br />
(a) = 1 − 1<br />
� ��<br />
√ · −<br />
3<br />
1<br />
2<br />
�<br />
= 1 − 1<br />
� �<br />
√ ·<br />
3<br />
− 1<br />
2<br />
�<br />
1 − 1<br />
√ 3<br />
�<br />
a ·<br />
�<br />
− 1<br />
�<br />
1 −<br />
· e 2 a �<br />
+ 1 − 1<br />
1 1<br />
+ a −<br />
4 2<br />
�<br />
1 −<br />
e 2 a =<br />
�<br />
1 −<br />
· e 2 a =<br />
2<br />
2 a<br />
��<br />
− 1<br />
2<br />
�<br />
1 − 1<br />
√<br />
3<br />
�<br />
1 − 1<br />
� �<br />
√ · 1 −<br />
3<br />
1<br />
�<br />
1 −<br />
· e 2 a<br />
�<br />
� �<br />
a<br />
� 1 −<br />
· − 1 e 2<br />
4 a<br />
2 a<br />
�<br />
1 −<br />
e 2 a<br />
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