Erfolg im Mathe-Abi - Freiburger Verlag

Lösungen 1. Ganzrationale Funktion – Windeln
c) Für x > 0 erhält man im Intervall I = [xE; xN ] den Wert von a, für den die meisten Schichten
existieren, indem man das Maximum der Strecke xExN berechnet:
�
e−a Mit xE = a 3 und xN = a √ e−a ergibt sich die Streckenmaximumsfunktion D(a), die
von a abhängt:
D(a) = xN − xE = a √ e−a �
e−a − a 3
Um das Maximum von D(a) zu bestimmen, muss die erste Ableitung von D(a) gleich Null
gesetzt werden. Zum Ableiten wird D(a) zuerst umgeformt:
D(a) = a � 1 � � 1 �
−a
e−a� 2 e 2
1
− a 3 = a e− 2 a − 1 1
√ e− 2
3 a�
��
= a 1 − 1
�
1
√ e− 2
3
a�
�
= 1 − 1
�
1
√ a · e− 2
3
a
Mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel erhält man:
D ′ (a) =
�
1 − 1
√ 3
�
1 −
· e 2 a +
D ′′ �
(a) = 1 − 1
� ��
√ · −
3
1
2
�
= 1 − 1
� �
√ ·
3
− 1
2
�
1 − 1
√ 3
�
a ·
�
− 1
�
1 −
· e 2 a �
+ 1 − 1
1 1
+ a −
4 2
�
1 −
e 2 a =
�
1 −
· e 2 a =
2
2 a
��
− 1
2
�
1 − 1
√
3
�
1 − 1
� �
√ · 1 −
3
1
�
1 −
· e 2 a
�
� �
a
� 1 −
· − 1 e 2
4 a
2 a
�
1 −
e 2 a
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