Erfolg im Mathe-Abi - Freiburger Verlag

1. Ganzrationale Funktion – Windeln Lösungen
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und wegen der Punktsymmetrie des Graphen von fa zum Ursprung:
f
�
−a
� �
e−a 3
= − 2
3 a
�
e−3a 3
Für die hinreichende Bedingung setzt man die beiden errechneten x-Werte in fa ′′ (x) ein:
und
fa ′′
fa ′′
�
�
−a
a
� �
e−a 3
� �
e−a 3
= − 6
a2 � �
e−a −a
3
= − 6
a2 � �
e−a a
3
Damit sind die beiden Extrempunkte:
Ta
�
−a
� e −a
3 | − 2 3 a
� e −3a
3
�
�
�
= 6
�
e−a > 0 ⇒ Tiefpunkt
a 3
= − 6
�
e−a < 0 ⇒ Hochpunkt
a 3
und Ha
� �
e−a a 3 | 2 3a � �
e−3a 3
Zur Bestimmung der Wendepunkte führt die notwendige Bedingung fa ′′ (x) = 0 zu
− 6
a 2 x = 0 ⇒ x = 0
Mit fa(0) = − 1
a 2 · 0 3 + e −a · 0 = 0 und fa ′′′ (0) = − 6
a 2 �= 0 hat der Graph von fa den
Wendepunkt W(0 | 0).
Beim Betrachen des Verhaltens für x → +∞ stellt man fest, dass der erste Summand − 1
a 2 x 3
wegen der dritten Potenz schneller gegen −∞ geht, als e −a x gegen ∞.
Daher gilt fa (x) → −∞ für x → ∞ und fa (x) → ∞ für x → −∞.
Alternativ schreibt man:
lim
x→±∞ fa
1
(x) = lim −
x→±∞ a2 x3 + e −a = ∓∞
Somit besitzt der Graph von fa keine Asymptoten. Da es keine Definitionlücken und Pole
gibt, liegen auch keine senkrechte Asymptoten vor.
b) Um den Graphen von f1 zeichnen zu können, überlegt man sich die Lage der Schnittpunkte
mit der x-Achse und die Lage der Extrem- und Wendepunkte des Graphen von fa für a = 1.
Dazu setzt man a = 1 in die bereits berechneten Punkte ein:
�
N1,1 (0 | 0), N1,2 − √ e−1 �
�√ �
| 0 ≈ (−0,61 | 0) und N1,3 e−1 | 0 ≈ (0,61 | 0)
Die Extrempunkte sind
T1
�
−
�
e−1 3
| − 2
3
� e −3
3
�
��
e−1 ≈ (−0,35 | −0,086) und H 3
Der Wendepunkt hat die Koordinaten W(0 | 0).
Mit Hilfe dieser Punkte kann man den Graphen von f1(x) skizzieren:
| 2
3
� �
e−3 3 ≈ (0,35 | 0,086)