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Lösungen 1. Ganzrationale Funktion – Windeln
Lösungen
Analysis
1 Ganzrationale Funktion – Windeln
Es ist fa(x) = − 1
a 2 x 3 + e −a x; x ∈ IR, a > 0
a) Da es sich um eine ganzrationale Funktion handelt, die nur ungerade Potenzen von x und
keine Konstante enthält, ist der Graph der Funktion fa punktsymmetrisch zum Ursprung.
Alternativ kann man die Symmetrie wie folgt nachweisen:
fa (−x) = − 1
a 2 (−x)3 + e −a (−x) = 1
a 2 x3 − e −a x = −
�
− 1
a 2 x3 + e −a x
Wegen fa (−x) = − fa (x) ist der Graph von fa punktsymmetrisch zum Ursprung.
�
= − fa (x)
Um die Schnittpunkte mit der x-Achse zu bestimmen, setzt man den Funktionsterm von fa
gleich Null:
fa(x) = 0 führt zu − 1
a2 x3 + e−a �
x = 0 ⇔ x − 1
a2 x2 + e−a �
= 0 mit den Lösungen x1 = 0
und x2; 3 = ± √ a 2 e −a = ±a √ e −a .
Damit sind die Schnittpunkte mit der x-Achse:
�
Na,1 (0 | 0), Na,2 −a √ e−a � �
| 0 und Na,3 a √ e−a �
| 0 .
Zur Bestimmung der Extrem- und Wendepunkte benötigt man die ersten drei Ableitungen
von fa:
fa ′ (x) = − 3
a 2 x2 + e −a
fa ′′ (x) = − 6
x
a2 fa ′′′ (x) = − 6
a2 Für die Extrempunkte gilt als notwendige Bedingung fa ′ (x) = 0:
− 3
a2 x2 + e −a �
= 0 ⇔ x1;2 = ± a2 · e−a
�
e−a = ±a
3 3
Die zugehörigen y-Werte sind
� � �
e−a f a = −
3
1
a2 � � �3 e−a a + e
3
−a
� � � �� �3 e−a e−a a = −a ·
+ e
3
3
−a �
e−a · a
3
�
⎛
e−a = a ⎝e
3
−a �� � ⎞
2 � �
e−a − ⎠
e−a = a e
3
3
−a − e−a
� �
e−a 2
= a ·
3 3 3 e−a
= 2
3 ae−a
�
e−a 2
=
3 3 a
�
e−3a 3
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