Erfolg im Mathe-Abi - Freiburger Verlag

Tipps 2. Gebrochenrationale Funktion – Mineraldünger
Tipps
Analysis
1 Ganzrationale Funktion – Windeln
a) Bei der Untersuchung des Graphen von fa auf Symmetrie beachten Sie, dass es sich um
eine ganzrationale Funktion handelt, die nur ungerade Exponenten besitzt; setzen Sie (−x)
in fa(x) ein. Gilt fa(−x) = − fa(x), ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Um die
Schnittpunkte mit der x-Achse zu bestimmen, berechnen Sie die Lösungen von fa(x) = 0.
Zur Bestimmung der Extrem- und Wendepunkte leiten Sie die Funktion fa dreimal ab und
setzen die erste bzw. zweite Ableitung gleich Null. Prüfen Sie jeweils auch die hinreichende
Bedingung. Bestimmen Sie die Grenzwerte, falls möglich, von fa(x) für x → ±∞.
b) Benutzen Sie die charakteristischen Punkte aus Aufgabenteil a), um den Graphen zu skizzieren.
Insbesondere die Symmetrie kann bei der Zeichnung hilfreich sein.
c) Bestimmen Sie die Grenzen des Intervalls I; beachten Sie, dass x > 0 ist. Damit die Anzahl
der Schichten im Intervall I möglichst groß ist, muss der Abstand zwischen der positiven
Extremstelle und der positiven Nullstelle möglichst groß sein. Stellen Sie eine Funktion
D(a), die von a abhängt, auf und bestimmen Sie deren Maximum mit Hilfe der 1. und 2.
Ableitung von D(a).
d) Die meiste Flüssigkeit kann aufgenommen werden, wenn der Flächeninhalt F(a) der Fläche
zwischen dem Graphen von fa und der x-Achse im Intervall I möglichst groß ist. Berechnen
Sie F(a) mit Hilfe eines Integrals in Abhängigkeit von a und bestimmen Sie das Maximum
von F(a) mit Hilfe der 1. und 2. Ableitung vo F(a).
2 Gebrochenrationale Funktion – Mineraldünger
a) Stellen Sie mit Hilfe der gegebenen Daten drei Gleichungen mit drei Unbekannten auf und
lösen Sie das Gleichungssystem.
b) Skizzieren Sie das Schaubild von f und überlegen Sie, ob f monoton ist (Nachweis mit f ′ ).
Wo liegt dann das «Maximum»?
Berechnen Sie den 1,5-fachen Ertrag und setzen sie ihn mit f (x) gleich.
Berechnen Sie die Differenz zwischen f (60) und 980, sowie den Prozentsatz bezüglich
980.
c) Eine ganzrationale Funktion 2. Grades hat den Ansatz: g(x) = rx 2 + sx +t. (Die Parameter
a, b und c wurden schon für die Funktion f verwendet.) Stellen Sie drei Gleichungen auf
und lösen Sie das Gleichungssystem.
Das Maximum von g(x) erhalten Sie mit Hilfe der 1. und 2. Ableitung von g(x).
d) Überlegen Sie sich, wie sich der Gewinn zusammensetzt, stellen Sie eine Gewinnfunktion
G(x) auf und bestimmen Sie das Maximum von G(x) mit Hilfe der 1. und 2. Ableitung von
G(x).
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