Erfolg im Mathe-Abi - Freiburger Verlag

Analysis
1 Ganzrationale Funktion – Windeln
Tipps ab Seite 41, Lösungen ab Seite 65
Gegeben ist die Funktionenschar fa durch
fa(x) = − 1
a 2 x3 + e −a x; x ∈ IR, a > 0
1. Ganzrationale Funktion – Windeln
a) Untersuchen Sie die Graphen der Funktionenschar auf Symmetrie, Schnittpunkte mit der
x-Achse, Extrem- und Wendepunkte, Asymptoten sowie das Verhalten für x → ±∞.
b) Skizzieren Sie für a = 1 den Graphen von fa.
Eine Firma stellt Babywindeln her. Diese bestehen aus übereinandergelegten Schichten, deren
Materialdichte alle 0,1mm linear zunimmt. Durch die Funktion fa wird der Vorgang der Flüssig-
keitsaufnahme in Abhängigkeit von der Materialkonstanten a im Intervall I = [xE; xN ], x > 0 in
guter Näherung beschrieben (dabei ist xE Extremstelle und xN Nullstelle von fa) .
Es gilt für die Längeneinheiten auf den Koordinatenachsen:
x-Achse: Anzahl der Schichten
y-Achse: Saugfähigkeit innerhalb einer Schicht in ml pro Flächeneinheit.
c) Für welchen Wert der Materialkonstanten a existieren die meisten Schichten?
d) Für welchen Wert der Materialkonstanten a kann im Intervall I die meiste Flüssigkeitsmen-
ge pro Flächeneinheit aufgenommen werden?
11