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1. Ganzrationale Funktion – Windeln Lösungen 68 Die notwendige Bedingung D ′ (a) = 0 führt zu � 1 − 1 � � √ · 1 − 3 1 2 a � e − 1 2 a = 0 ⇒ 1 − 1 a = 0 ⇒ a = 2 2 Wegen D ′′ � (2) = 1 − 1 � √ · 3 � 2 4 − 1�e− 1 2 ·2 = − e−1 � 2 1 − 1 � √ ≈ −0,077 < 0 handelt es sich 3 um ein Maximum. Damit ist die Länge der Strecke xExN für a = 2 maximal, d.h. für a = 2 existieren die meisten Schichten. d) Um zu bestimmen, für welchen Wert von a die meiste Flüssigkeitsmenge pro Flächeneinheit aufgenommen werden kann, berechnet man zuerst den Flächeninhalt F(a) der Fläche zwischen dem Graphen von fa und der x-Achse im Intervall I, welcher der aufgenommenen Flüssigkeitsmenge pro Flächeneinheit entspricht: � xN F(a) = fa (x)dx = xE � xN xE = − 1 4a2 � a √ e−a �4 + 1 � e−a a 2 √ e−a �2 � − 1 a2 x3 + e −a � � x dx = − 1 4a2 x4 + 1 2 e−a x 2 − ⎛ ⎝− 1 4a 2 = − 1 4 a2 e −2a + 1 2 a2 e −2a + 1 36 a2 e −2a − 1 6 a2 e −2a = 1 9 a2 e −2a � a √ e −a � e−a a 3 � � �4 e−a a + 3 1 2 e−a � � � ⎞ 2 e−a a ⎠ 3 Zur Berechnung des Maximums von F(a) bestimmt man mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. und 2. Ableitung von F(a): F ′ (a) = 2 9 a · e−2a + 1 9 a2 · e −2a · (−2) = 2 9 a · e−2a − 2 9 a2 · e −2a � 2 2 = a − 9 9 a2 � · e −2a F ′′ � 2 4 (a) = − 9 9 a � · e −2a � 2 2 + a − 9 9 a2 � · e −2a · (−2) � 2 4 4 4 = − a − a + 9 9 9 9 a2 � e −2a � 4 = 9 a2 − 8 � 2 a + e 9 9 −2a
Lösungen 1. Ganzrationale Funktion – Windeln Die notwendige Bedingung F ′ (a) = 0 führt zu � 2 2 a − 9 9 a2 � e −2a = 0 ⇒ 2 2 a − 9 9 a2 = 0 ⇔ 2 a · (1 − a) = 0 9 mit den Lösungen a1 = 0 und a2 = 1. Wegen a > 0 und F ′′ (1) = � 4 9 · 12 − 8 9 · 1 + 2 � 9 e−2·1 2 = − 9e−2 ≈ −0,03 < 0 handelt es sich bei a2 = 1 um ein Maximum. Für a = 1 kann also von der Windel die meiste Flüssigkeitsmenge pro Flächeneinheit aufgenommen werden. 69
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