Erfolg im Mathe-Abi - Freiburger Verlag

1. Ganzrationale Funktion – Windeln Lösungen
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Die notwendige Bedingung D ′ (a) = 0 führt zu
�
1 − 1 � �
√ · 1 −
3
1
2 a
�
e − 1 2 a = 0 ⇒ 1 − 1
a = 0 ⇒ a = 2
2
Wegen D ′′ �
(2) = 1 − 1 �
√ ·
3
� 2
4 − 1�e− 1 2 ·2 = − e−1
�
2 1 − 1
�
√ ≈ −0,077 < 0 handelt es sich
3
um ein Maximum.
Damit ist die Länge der Strecke xExN für a = 2 maximal, d.h. für a = 2 existieren die
meisten Schichten.
d) Um zu bestimmen, für welchen Wert von a die meiste Flüssigkeitsmenge pro Flächeneinheit
aufgenommen werden kann, berechnet man zuerst den Flächeninhalt F(a) der Fläche
zwischen dem Graphen von fa und der x-Achse im Intervall I, welcher der aufgenommenen
Flüssigkeitsmenge pro Flächeneinheit entspricht:
� xN
F(a) = fa (x)dx =
xE
� xN
xE
= − 1
4a2 �
a √ e−a �4 + 1
�
e−a a
2 √ e−a �2 �
− 1
a2 x3 + e −a � �
x dx = − 1
4a2 x4 + 1
2 e−a x 2
−
⎛
⎝− 1
4a 2
= − 1
4 a2 e −2a + 1
2 a2 e −2a + 1
36 a2 e −2a − 1
6 a2 e −2a = 1
9 a2 e −2a
� a √ e −a
�
e−a a 3
� � �4 e−a a +
3
1
2 e−a
� � � ⎞
2
e−a a ⎠
3
Zur Berechnung des Maximums von F(a) bestimmt man mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel
die 1. und 2. Ableitung von F(a):
F ′ (a) = 2
9 a · e−2a + 1
9 a2 · e −2a · (−2) = 2
9 a · e−2a − 2
9 a2 · e −2a �
2 2
= a −
9 9 a2
�
· e −2a
F ′′ �
2 4
(a) = −
9 9 a
�
· e −2a �
2 2
+ a −
9 9 a2
�
· e −2a · (−2)
�
2 4 4 4
= − a − a +
9 9 9 9 a2
�
e −2a
�
4
=
9 a2 − 8
�
2
a + e
9 9
−2a