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52
3 Spannungszustand
3.1 Formelsammlung zum Spannungszustand
Einachsiger Spannungszustand
σ ϕ
τ ϕ
σ
= ⋅
2
( 1+
cos 2ϕ
)
σ
sin 2ϕ
2 ⋅ =
2
2
⎛ σ ⎞ 2 ⎛ σ ⎞
⎜σϕ
− ⎟ + τ ϕ = ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Zweiachsiger Spannungszustand
Normalspannungskomponente senkrecht zur Schnittebene
E
σ ϕ
τ ϕ
σ x + σ y σ x −σ
y
= + ⋅ cos 2ϕ
−τ
xy ⋅sin
2ϕ
2 2
σ x −σ
y
= ⋅ sin 2ϕ
+ τ xy⋅
cos 2ϕ
2
2
σ x σ y ⎞ 2
σϕ − ⎟ + τϕ
⎛ +
⎜
⎝ 2
⎟
⎠
⎛ σ x −σ
y ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
2
+ τ
2
xy
Hinweis:
Eine Schubspannung ist positiv (negativ) anzusetzen,
falls bei Blick in Richtung der Schubspannung
die zugehörige Schnittebene rechts (links)
von der Schubspannung liegt.
σ x + σ y ⎛ σ x −σ
y ⎞
σ H1 = + ⎜ ⎟ + τ
2 ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
σ x + σ y ⎛ σ x −σ
y ⎞
σ H2 = − ⎜ ⎟ + τ
2 ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
Normalspannungskomponente
senkrecht zur Schnittebene E
Schubspannungskomponente
in der Schnittebene E
Gleichung Mohr’scher
Spannungskreis
Schubspannungskomponente in der Schnittebene E
Gleichung des Mohr’schen Spannungskreises
2
2
2
xy
2
xy
Berechnung der Hauptnormalspannung
Berechnung der Hauptnormalspannung

3 Spannungszustand 53
Berechnung der maximalen Schubspannung
τ
ϕ
max
1;2
= ±
⎛ σ x −σ
y ⎞
⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
2
+ τ
2
xy
1 ⎛ − 2⋅τ
xy ⎞
= ⋅arctan⎜
⎟
2 ⎜ ⎟
⎝
σ x −σ
y ⎠
π
ϕ 2;1 = ϕ1;2
+
2
Dreiachsiger Spannungszustand
⎛ σ
⎜ x
S = ⎜τ
xy
⎜
⎝
τ xz
(
+ 2 ⋅ τ
τ
σ
τ
xy
y
yz
τ xz ⎞
⎟
τ yz ⎟
⎟
σ z ⎠
⋅ cosα
⋅ cos β
= ±
σ
H1
−σ
2
Richtungswinkel zwischen der x-Achse und der
ersten oder der zweiten Hauptspannungsrichtung
Betrag der Normalspannungskomponente in beliebiger
(räumlicher) Schnittrichtung
σ = σ ⋅ cos α + σ ⋅ cos β + σ ⋅ cos γ
x
+ τ ⋅ cos β ⋅ cosγ
+ τ ⋅ cosγ
⋅ cosα
yz
xy
2
2 2
= s σ
τ −
mit
und
y
Betrag der Schubspannungskomponente in beliebiger
(räumlicher) Schnittrichtung
r r
s =
S ⋅ n
⎛cosα
⎞
⎜ ⎟
n = ⎜cos
β ⎟
⎜ ⎟
⎝ cosγ
⎠
r
2
Spannungstensor
xz
z
2
)
H2

54 3 Spannungszustand
3.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben
Lösung zu Aufgabe 3.1
a) Eintragen des Bildpunktes Px (σx | τxy)
und des Bildpunktes Py (σy | τyx) in das
σ-τ-Koordinatensystem unter Beachtung
der speziellen Vorzeichenregelung
für Schubspannungen.
Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungskomponenten
in der Schnittebene
mit der x-Achse als Normalenvektor.
Bildpunkt Py repräsentiert die Spannungskomponenten
in der Schnittebene
mit der y-Achse als Normalenvektor.
Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die
Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die
σ-Achse im Kreismittelpunkt σM. Kreis um σM durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte
Mohr’sche Spannungskreis (siehe Abbildung).
Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr‘schen Spannungskreises
σ
M
σ x + σ y
= =
2
⎛ σ x − σ y ⎞
R = ⎜ ⎟
⎜
+
2 ⎟
τ
⎝ ⎠
2
200 N/mm
2
t
=
2
+ 100 N/mm
2
2
⎛ 200 −100
⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
2
= 150 N/mm
+ 75
2
N/mm
b) Berechnung der Hauptnormalspannungen σH1 und σH2
σ
σ
H1
H2
= σ
= σ
M
M
+ R = 150 N/mm
− R = 150 N/mm
2
2
+ 90,
1N/mm
− 90,
1N/mm
2
2
=
2
240,1 N/mm
= 59,9 N/mm
2
= 90,
1N/mm
Berechnung der Richtungswinkel ϕ1 und ϕ2 zwischen der x-Achse und den Hauptrichtungen
1 ⎛ − 2 ⋅τ
⎞ ⎛
2 ⎞
⎜ xy ⎟ 1
⎜
− 2 ⋅ 75 N/mm
ϕ
= ⋅
⎟
1;2 = ⋅ arctan
arctan
= −28,
2°
2 ⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎝
σ −
⎠
2
2
2
x σ y
⎝ 200 N/mm −100
N/mm ⎠
Der errechnete Winkel ϕ kann der Richtungswinkel zwischen der ersten oder der zweiten
Hauptrichtung sein. Eine Entscheidung ist mit Hilfe von Tabelle 3.1 (siehe Lehrbuch)
möglich. Da es sich um Fall 1 (σx > σy und τxy > 0) handelt, ist ϕ der Richtungswinkel zwischen
der x-Richtung und der ersten Hauptspannungsrichtung (dies geht entsprechend auch
aus dem Mohr'schen Spannungskreis hervor). Es gilt also:
ϕ
= −28,15°
1
2
2
2

3 Spannungszustand 55
Für den Richtungswinkel ϕ2 folgt dann:
ϕ = ϕ + 90°
= −28,2°
+ 90°
= 61,85°
2
1
c) Berechnung der Spannungskomponenten σϕ und τϕ in der Schnittebene E, deren
Normalenvektor zur x-Richtung den Winkel ϕ = 30° einschließt
Die gesuchten Spannungskomponenten in der Schnittebene E erhält man aus dem
Mohr‘schen Spannungskreis, indem man ausgehend vom Bildpunkt Px den doppelten
Richtungswinkel (2⋅30°) mit dem Lageplan entsprechendem Drehsinn anträgt (Bildpunkt
PE). Die Koordinaten des Bildpunktes PE sind die gesuchten Spannungen σϕ und τϕ in der
Schnittebene E.
Berechnung des Winkels β :
β = ° − 2 ⋅ ϕ − 2 ⋅ 30°
= 180°
− 2 ⋅ 28,15°
− 2 ⋅ 30°
= 63,7°
180 1
Berechnung der Spannungskomponenten σϕ und τϕ:
2
2
2
σϕ
= σ M − R
⋅cos
β = 150 N/mm − 90,
1 N/mm ⋅cos
63,
7°
= 110,0 N/mm
2
2
τϕ
= R ⋅sin
β = 90,
1 N/mm ⋅sin
63,
7°
= 80,8 N/mm

60 3 Spannungszustand
Lösung zu Aufgabe 3.4
a) Beanspruchung: Zug und Biegung
b) Konstruktion des Mohr‘schen Spannungskreises
Zur Konstruktion des Mohr’schen Spannungskreises benötigt man die Spannungen in zwei
zueinander senkrechten Schnittflächen. Bekannt sind die Spannungen in den Schnittflächen
mit der x- und der y-Richtung als Normale.
Eintragen der Bildpunkte Px
(0 | 0) und Py (σl | 0) in das
σ-τ-Koordinatensystem. Px
und Py repräsentieren die
Spannungen in den Schnittflächen
mit der x- und der
y-Richtung als Normale. Da
die beiden Schnittebenen
einen Winkel von 90° zueinander
einschließen, liegen
die Bildpunkte Px und
Py auf einem Kreisdurchmesser,
damit ist der Mohr'
sche Spannungskreis festgelegt
(siehe Abbildung).
Die Bildpunkte Px‘ und Py‘, welche die Spannungen in den Schnittflächen mit der x‘- bzw.
y‘-Richtung als Normale repräsentieren, erhält man durch Abtragen der Richtungswinkel
2⋅α bzw. 2⋅α + 180°, ausgehend vom Bildpunkt Py (gleicher Drehsinn zum Lageplan).
Aus dem Mohr‘schen Spannungskreis folgt für die Normalspannungen σx‘ und σy’:
σl
σl
σl
σ y' = + ⋅ cos2α
= ⋅ 2
2 2 2
( 1+
cos α )
σ l σ l σ l
σ x' = − ⋅ cos2α
= ⋅ 2
2 2 2
( 1−
cos α )
Berechnung der Dehnung in y‘-Richtung (Messrichtung des DMS) durch Anwendung
des Hooke’schen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand
1 σ l
ε y' ≡ ε DMS = ⋅ ( σ y' − µ ⋅σ
x')
= ⋅ ( ( 1+
cos2α
) − µ ⋅ ( 1−
cos2α
) )
(1)
E
2 ⋅ E
Zusammenhang zwischen äußerer Beanspruchung F und Längsspannung σl
(kein Biegeanteil, da DMS in neutraler Faser liegt)
F F
σ l = =
(2)
A b ⋅ c
(2) in (1) eingesetzt und nach F umgeformt:
F
=
⋅ E ⋅ε
⋅ b ⋅ c
2 y'
( 1+
cos 2α
) − µ ⋅ ( 1−
cos 2α
)

3 Spannungszustand 61
2
2 ⋅108000
N/mm ⋅ 0,
0001485⋅
300 mm ⋅ 200 mm
F = = 999971
N
( 1+
cos 20°
) − 0,
25⋅
( 1−
cos 20°
)
≈ 1000 kN
Alternative Lösung mit Hilfe des Mohr’schen Verformungskreises
Dehnungen in Längs- und Querrichtung
ε ≡ ε
l
q
y
ε ≡ −µ
⋅ε
= −µ
⋅ε
l
y
Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises
Zur Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises
benötigt man die Verformungen in zwei zueinander
senkrechten Schnittrichtungen. Bekannt sind die Verformungen
mit der x- bzw. der y-Richtung als Bezugsrichtung.
Einzeichnen der Bildpunkte Px (εq | 0) und Py (εl | 0) in
das ε-γ/2-Koordinatensystem ergibt den Mohr’schen
Verformungskreis (εq = -µ ⋅ εl). Da die beiden Schnittebenen
einen Winkel von 90° zueinander einschließen,
liegen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser.
Damit ist der Mohr'sche Verformungskreis festgelegt
(siehe Abbildung).
Bildpunkt Py‘, welcher die Verformungen in y‘-Richtung (Messrichtung des DMS) als Bezugsrichtung
repräsentiert, erhält man durch Abtragen des Richtungswinkels 2⋅α , ausgehend vom
Bildpunkt Py (gleicher Drehsinn zum Lageplan).
Für den Mittelpunkt und den Radius des Mohr’schen Verformungskreises erhält man:
εl
+ εq
εl
ε M = = ⋅ 1−
2 2
εl
− εq
εl
R = = ⋅ 1
2 2
( µ )
( + µ )
Damit folgt für die Dehnung in y'-Richtung (Messrichtung des DMS)
ε l
ε y ≡ ε DMS = ε R + R
⋅ cos 2α
= ⋅
2
ε =
2 ⋅ε
DMS =
l
( ( 1−
µ ) + ( 1+
µ ) ⋅ cos 2α
)
2 ⋅ 0,
0001485
( 1−
µ ) + ( 1+
µ ) ⋅ cos 2α
( 1−
0,
25)
+ ( 1+
0,
25)
⋅ cos 20°

62 3 Spannungszustand
Berechnung der Spannung in Längsrichtung
σ = E ⋅ε
= 1 08 000 N/mm ⋅0,
0001543 = 16,
66 N/mm
l
l
Berechnung der Zugkraft F
2
F = σ ⋅ A = σ ⋅b
⋅ c = 16,
66 N/mm ⋅300
mm ⋅ 200 mm = 999971
N
l
l
2
2
≈ 1000 kN
c) Höchst beanspruchte Stelle: Innenseite der Säule, da Überlagerung von Zug- und Biegebeanspruchung
Berechnung der Lastspannungen
F 1000000
N
2
σ z = =
= 16,
67 N/mm
A 300 mm ⋅ 200 mm
⎛ b ⎞
F ⋅ ⎜a
− ⎟
M b 2 1000000
N ⋅ 300 mm
2
σ b = =
⎝ ⎠
=
= 166,
67 N/mm
W
2
2
b c ⋅ b 300 mm ⋅ ( 200 mm)
6
6
Berechnung der Sicherheit gegen Fließen
Festigkeitsbedingung (Innenseite Querschnittfläche A-B)
σ
≤ σ
B
zul
R
σ z + σ b =
S
S
Rm
=
σ + σ
z
m
B
b
=
16,
67
350 N/mm
N/mm
2
2
+ 166,
67 N/mm
2
= 1,91
(nicht ausreichend,
da
S
B
< 4,
0)

66 3 Spannungszustand
u
3
=
− 255 833,
3
2 ⋅ −
⋅ cos( 10,
482°
+ 240°
) = −195,
13
3
N/mm
Zwischen den Hauptnormalspannungen σi und der Koordinate ui besteht die Beziehung:
A
σ Hi = ui −
3
Damit folgt für die Hauptnormalspannungen σi:
σ
σ
σ
2
A
2 −1000
N/mm
2
H1 = u1
− = 574,
29 N/mm −
= 907,
63 N/mm
3
3
2
A
2 −1000
N/mm
2
H2 = u2
− = −379,
17 N/mm −
= −45,
84 N/mm
3
3
2
A
2 −1000
N/mm
2
H3 = u3
− = −195,
13 N/mm −
= 138,
21N/mm
3
3
Kontrolle:
σ
H1
+ σ + σ
H2
H3
= I
907 , 63 − 45,
84 + 138,
21 = 1000
1
Ordnen der Hauptnormalspannungen entsprechend ihrer algebraischen Größe liefert
schließlich:
2
σ1
= 907,63 N/mm
2
σ 2 = 138,21 N/mm
2
σ 3 = −45,84
N/mm
d) Die Hauptspannungsrichtungen (αi , βi und γi mit i = 1,2,3) erhält man durch Lösen des
Gleichungssystems:
( σ −σ
)
xy
xz
x
τ ⋅cosα
+
i
⋅cosα
+ τ ⋅cos
β + τ ⋅cosγ
= 0
i
i
( σ −σ
)
yz
i
y
xy
τ ⋅cosα
+ τ ⋅cos
β +
i
⋅cos
β + τ ⋅cosγ
= 0
i
i
( σ −σ
) ⋅cosγ
= 0
z
i
xz
yz
i
i
i
i
Für die erste Hauptspannungsrichtung (i = 1; σ1 = 907,6 N/mm 2 ) erhält man das homogene,
lineare Gleichungssystem (die Einheit N/mm 2 wird der Übersichtlichkeit halber weggelassen):
( 500 − 907,
63)
⋅ cosα1
+ 250 ⋅ cos β1
+ 400 ⋅ cosγ
1 = 0
250 ⋅ cosα1
+ ( 200 − 907,
63)
⋅ cos β1
+ 100 ⋅ cosγ
1 = 0
⋅ cosα
+ 100 ⋅ cos β + ( 300 − 907,
63)
⋅ cosγ
= 0
400 1
1
1
2

3 Spannungszustand 67
und umgeformt:
−407, 63⋅
cosα
1 + 250 ⋅ cos β1
+ 400 ⋅ cosγ
1 = 0
(1)
250 ⋅ cosα
1 − 707,
63 ⋅ cos β1
+ 100 ⋅ cosγ
1 = 0
(2)
400 ⋅ cosα
1 + 100 ⋅ cos β1
− 607,
63 ⋅ cosγ
1 = 0
(3)
Die Gleichungen 1 bis 3 sind nicht unabhängig voneinander, so dass zur Bestimmung der
Richtungswinkel α1, β1 und γ1 eine weitere, unabhängige Gleichung herangezogen werden
muss. Die dritte Gleichung kann dann zur Kontrolle verwendet werden.
Für die Richtungswinkel des (normierten) Normalenvektors ( n = 1)
r
gilt:
2
2
2
cos 1
1
1
α + cos β + cos γ = 1
(4)
Aus Gleichung 2 folgt:
cos β = 0,
3533 ⋅cosα
+ 0,
1413⋅
cos γ
(5)
1
Gleichung 5 in Gleichung 1 eingesetzt ergibt:
1
1
( 0,
3533 ⋅ cosα
+ 0,
1413⋅
cosγ
)
− 407,
63⋅
cosα1
+ 250 ⋅
− 319,
31⋅
cosα1
+ 435,
33⋅
cosγ
1 = 0
1
1 + 400 ⋅ cosγ
1 = 0
cosγ 1 = 0,
7335⋅
cosα1
(6)
Gleichung 6 in Gleichung 5 eingesetzt ergibt:
cos β1
= 0,
3533 ⋅ cosα1
+ 0,
1413⋅
0,
7335⋅
cosα1
cos β1
= 0,
3533 ⋅ cosα1
+ 0,
1037 ⋅ cosα1
cos β1 = 0,
4567 ⋅ cosα1
(7)
Gleichung 6 und 7 in Gleichung 4 eingesetzt:
cos
2
α +
1
2
( 0,
4567 ⋅ cosα
) + ( 0,
7335⋅
cosα
)
1,
7465 ⋅ cos α = 1
cosα1
= 0,
7567
α1
= 40,83°
Damit folgt aus Gleichung 7:
2
cos β1
= 0,
4567 ⋅ cosα1
=
β1
= 69,79°
Aus Gleichung 6 folgt:
1
1
0,
3455
cosγ 1 = 0,
7335⋅
cosα1
= 0,
5550
γ1
= 56,29°
2
1
= 1
Kontrolle der Ergebnisse mit Hilfe von Gleichung 3:
400 ⋅ cosα1
+ 100 ⋅ cos β1
− 607,
63⋅
cosγ
1 = 0
400 ⋅ 0,
7567 + 100 ⋅ 0,
3455 − 607,
63⋅
0,
5550 = 0
0 = 0

68 3 Spannungszustand
Die Richtungswinkel der Hauptnormalspannungen σ2 = 138,21 N/mm 2 (α2 , β2 und γ2) und
σ3 = -45,84 N/mm 2 (α3, β3 und γ3) erhält man auf analoge Weise:
und
α2
= 89,78°
β2
= 32,17°
γ 2 = 122,16°
α3
= 49,17°
β3
= 113,89°
γ 3 = 50,27°
e) Rechnerische Lösung
Normalenvektor der Ebene E1 (die Einheit N/mm 2 wird der Übersichtlichkeit halber
nachfolgend weggelassen):
⎛ cosα
⎞ ⎛0,
6428⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
nE3 = ⎜cos
β ⎟ = ⎜0,
6428⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ cosγ
⎠ ⎝0,
4163⎠
r
Ermittlung des Spannungsvektors s r zur Schnittebene E3
⎛σ1
r r ⎜
s = SH
⋅ nE2
= ⎜ 0
⎜
⎝ 0
0
σ 2
0
0 ⎞ ⎛cosα
⎞
⎟ ⎜ ⎟
0 ⎟ ⋅⎜
cos β ⎟
σ ⎟ ⎜ ⎟
3 ⎠ ⎝ cosγ
⎠
⎛907,
63
⎜
= ⎜ 0
⎜
⎝ 0
0
138,
21
0
0 ⎞ ⎛0,
6428⎞
⎛ 583,
42 ⎞
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 ⎟ ⋅⎜
0,
6428⎟
= ⎜ 88,
84 ⎟
− 45,
84
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝0,
4163⎠
⎝−
19,
08⎠
Berechnung des Betrags der Normalspannungskomponente σ des Spannungsvektors
s r zur Schnittebene E3
⎛ 583,
42 ⎞ ⎛0,
6428⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2
= s ⋅ nE3
= ⎜ 88,
84 ⎟ ⋅⎜
0,
6428⎟
= 424,17 N/mm
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝−
19,
08⎠
⎝0,
4163⎠
r r
σ

3 Spannungszustand 69
Berechnung des Betrags der Schubspannungskomponente τ des Spannungsvektors s r zur
Schnittebene E3
2 2
τ = s −σ
=
Graphische Lösung
⎛ 583,
42 ⎞ ⎛ 583,
42 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2
⎜ 88,
84 ⎟ ⋅⎜
88,
84 ⎟ − 424,
17
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝−
19,
08⎠
⎝−
19,
08⎠
2
= 410,74 N/mm
abgelesen: σϕ = 425 N/mm 2
τϕ = 410 N/mm 2