Lineare Gleichungen und Ungleichungen - problemloesenlernen.de
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Aufgabe 1: Krusty der ClownIn der Show von Krusty dem Clown wollen alle Besucher aus Springfield in die ersteReihe. Auch Bart fragt einen Kameramann, ob noch Plätze frei sind. Dieserantwortet: „ Ein Drittel ist bereits von Schülern besetzt, 6 Plätze mehr sind durch dieAltersheimbewohner belegt und 5 Plätze müssen für Lehrer freigehalten werden.Insgesamt sind es 45 Plätze.“ Kann Bart die Show aus der ersten Reihe betrachten?Lösung:(1) mit informativer Figur:451/3 = 1515 + 6 5 ? = 15-5-6 = 4In der ersten Reihe sind noch vier Plätze frei!(2) mit Gleichungen:45 = 45 * 1/3 + (45 * 1/3 + 6) + 5 + x45 – 15 – 21 – 5 = x daraus folgt x = 4In der ersten Reihe sind noch vier Plätze frei.(3) mit Tabelle:Sitzplätze Gesamt 45Ohne Schüler 30Ohne Altersheim 9Ohne Lehrer (freie Plätze) 4Aufgabe 2: Die HundeschauMarlon besucht eine kleine Hundeschau und beim Betrachten der Wettbewerbesagt er:“ Ich zähle 22 Köpfe und 60 Beine.“ Wie viele Menschen und Hunde warenan der Veranstaltung beteiligt?Lösung:(1) mittels Extremalprinzip:Jedes Lebewesen hat mindestens zwei Beine. 22 Köpfe ergeben 44 Beine. 60 Beine – 44 Beine = 16Beine. Das sind die Restbeine der Hunde (von denen es also 8 Stück gibt). Und das macht 22 – 8 =14 Menschen.
- Seite 2 und 3: (2) mit Gleichungen:Sei y die Anzah
- Seite 4: (b) Ralf benötigt für die 6 km (2
Aufgabe 1: Krusty <strong>de</strong>r ClownIn <strong>de</strong>r Show von Krusty <strong>de</strong>m Clown wollen alle Besucher aus Springfield in die ersteReihe. Auch Bart fragt einen Kameramann, ob noch Plätze frei sind. Dieserantwortet: „ Ein Drittel ist bereits von Schülern besetzt, 6 Plätze mehr sind durch dieAltersheimbewohner belegt <strong>und</strong> 5 Plätze müssen für Lehrer freigehalten wer<strong>de</strong>n.Insgesamt sind es 45 Plätze.“ Kann Bart die Show aus <strong>de</strong>r ersten Reihe betrachten?Lösung:(1) mit informativer Figur:451/3 = 1515 + 6 5 ? = 15-5-6 = 4In <strong>de</strong>r ersten Reihe sind noch vier Plätze frei!(2) mit <strong>Gleichungen</strong>:45 = 45 * 1/3 + (45 * 1/3 + 6) + 5 + x45 – 15 – 21 – 5 = x daraus folgt x = 4In <strong>de</strong>r ersten Reihe sind noch vier Plätze frei.(3) mit Tabelle:Sitzplätze Gesamt 45Ohne Schüler 30Ohne Altersheim 9Ohne Lehrer (freie Plätze) 4Aufgabe 2: Die H<strong>und</strong>eschauMarlon besucht eine kleine H<strong>und</strong>eschau <strong>und</strong> beim Betrachten <strong>de</strong>r Wettbewerbesagt er:“ Ich zähle 22 Köpfe <strong>und</strong> 60 Beine.“ Wie viele Menschen <strong>und</strong> H<strong>und</strong>e warenan <strong>de</strong>r Veranstaltung beteiligt?Lösung:(1) mittels Extremalprinzip:Je<strong>de</strong>s Lebewesen hat min<strong>de</strong>stens zwei Beine. 22 Köpfe ergeben 44 Beine. 60 Beine – 44 Beine = 16Beine. Das sind die Restbeine <strong>de</strong>r H<strong>und</strong>e (von <strong>de</strong>nen es also 8 Stück gibt). Und das macht 22 – 8 =14 Menschen.
(2) mit <strong>Gleichungen</strong>:Sei y die Anzahl <strong>de</strong>r H<strong>und</strong>e <strong>und</strong> x die <strong>de</strong>r Menschen.Dann gilt x + y = 22 (I) (laut Aufgabenstellung)<strong>und</strong> 4y + 2x = 60 (II) (da je<strong>de</strong>r H<strong>und</strong> vier <strong>und</strong> je<strong>de</strong>r Mensch zwei Beine hat)aus (I) folgtx = 22 – yeingesetzt in (II) 4y + 2 * (22-y) = 60liefert dies 4y + 44 – 2y = 60bzw. 2y = 16 die Anzahl <strong>de</strong>r H<strong>und</strong>e beträgt y = 8Die Anzahl <strong>de</strong>r Menschen ergibt sich zu 22 – 8 = 14.Aufgabe 3: OsternMaren hat ihre fünf Fre<strong>und</strong>e Timo, Sandra, Kai, Julia <strong>und</strong> Lars an Ostern zusich nach Hause eingela<strong>de</strong>n.(a) Maren möchte ihren Fre<strong>und</strong>en die gleiche Anzahl von Geschenken machen <strong>und</strong> ihrem Bru<strong>de</strong>rStefan zwei Sachen schenken. Insgesamt hat sie nun 17 Päckchen. Wie viele Geschenke bekommenihre Fre<strong>und</strong>e jeweils?(b) Je<strong>de</strong>r <strong>de</strong>r fünf Gäste bringt 4 Eier zum Verstecken mit. Nach zwei St<strong>und</strong>en wur<strong>de</strong>n 25 Eiergef<strong>und</strong>en, drei Eier liegen noch in ihrem Versteck. Welcher Anteil <strong>de</strong>r Eier stammt von Maren?(c) Nach <strong>de</strong>r Eiersuche stellt Marens Mutter für die Jungs eine Schale mit Schokoeiern auf <strong>de</strong>n Tisch,die aber erst nach <strong>de</strong>m Hän<strong>de</strong>waschen gegessen wer<strong>de</strong>n sollen. Einer <strong>de</strong>r Jungs kann es nichtaushalten <strong>und</strong> isst heimlich ein Drittel <strong>de</strong>r Eier <strong>und</strong> verschwin<strong>de</strong>t dann auch im Bad. Kaum ist er dort,kommt <strong>de</strong>r zweite Junge <strong>und</strong> isst auch ein Drittel <strong>de</strong>r Eier, er weiß ja von seinem Vorgänger nichts.Auch <strong>de</strong>r dritte <strong>de</strong>r Jungs stürmt nach <strong>de</strong>m Hän<strong>de</strong>waschen sofort zu <strong>de</strong>n Eiern <strong>und</strong> isst ebenfalls einDrittel davon. Als alle Jungs da sind, meint Timo: „Das nenn ich aber eine kleine Schale, nicht mal dreiEier für je<strong>de</strong>n!“ Wie viele Eier waren anfangs in <strong>de</strong>r Schale?(d) Lars soll für seine Mutter nach <strong>de</strong>r Feier ein paar Einkäufe für <strong>de</strong>n nächsten Morgen machen.Lei<strong>de</strong>r hat er <strong>de</strong>n Einkaufszettel mit Schokola<strong>de</strong> <strong>de</strong>r Eier beschmiert. Wie könnten die Preise <strong>de</strong>soriginalen Zettels lauten?
Lösung:(a) Bezeichne x die Anzahl <strong>de</strong>r Geschenke, die je<strong>de</strong>r Fre<strong>und</strong> erhält. Dann gilt x = (17 – 2) / 5 = 3.Je<strong>de</strong>r ihrer Fre<strong>und</strong>e bekommt drei Geschenke.(b) Sei x die Anzahl <strong>de</strong>r von Maren zugesteuerten Eier. Dann ist 4 * 5 + x = 25 + 3 also x = 8.Maren hat 8 Eier zugesteuert, das ist ein Anteil von 8/28=2/7 <strong>und</strong> entspricht ungefähr 28,6 %.(c) Nicht mal drei Eier für je<strong>de</strong>n – also lagen weniger als neun <strong>und</strong> mehr als sechs Eier in <strong>de</strong>r Schale.Da dieser Rest zwei Drittel einer ganzen Zahl ist, kommt sieben nicht in Frage, son<strong>de</strong>rn nur acht. DerDritte aß also von zwölf Eiern vier, <strong>de</strong>r Zweite von 18 Eiern sechs <strong>und</strong> <strong>de</strong>r Erste gar neun von <strong>de</strong>n 27Eiern, die anfangs in <strong>de</strong>r Schale waren(d) Diese Aufgabe hat keine ein<strong>de</strong>utige Lösung. Deshalb hilft hier auch systematisches Probierenweiter. Eine Möglichkeit ist diese:Aufgabe 4: Die Go-Kart-BahnRalf, Sabine <strong>und</strong> Nick verbringen ihren Nachmittag auf <strong>de</strong>r Go-Kart-Bahn.(a) Sabine fährt konstant mit 40 km/h. Wie lange braucht sie für fünf 3kmlange R<strong>und</strong>en?(b) Ralf fährt mit 50 km/h drei <strong>de</strong>r 3 km langen R<strong>und</strong>en. Nick startet,nach<strong>de</strong>m Ralf eine R<strong>und</strong>e absolviert hat, fährt auch drei R<strong>und</strong>en, aber mit 60km/h. Wer ist schneller im Ziel?(c) Um für ein Rennen qualifiziert zu wer<strong>de</strong>n, muss Nick in 2 <strong>de</strong>r 3 km langen Trainingsr<strong>und</strong>en imSchnitt insgesamt 60km/h fahren. Im 1. Durchgang schafft er durchschnittlich nur 30 km/h. Wie schnellmuss Nick im 2. Durchgang fahren?Lösung:(a) Die Gesamtstrecke berechnet sich zu 5 * 3 km = 15 kmDie benötigte Zeit erhält man aus <strong>de</strong>m Dreisatz: 40 km – 60 Min1 km – 3/2 Min15 km – 45/2 Min = 22,5 MinSabine benötigt für die fünf R<strong>und</strong>en 22,5 Minuten.
(b) Ralf benötigt für die 6 km (2 R<strong>und</strong>en) lange Strecke: 6 km * 60 Min / 50 km = 7,2 MinNick benötigt für die 9 km (3 R<strong>und</strong>en) lange Strecke9 km * 60 Min / 60 km = 9 MinSomit kommt Nick Zweiter ins Ziel.(c) Nick hat keine Chance mehr sich zu qualifizieren. Um im Schnitt 60 km/h auf 6km zu fahren, darfNick nicht länger als 6 Minuten brauchen. Da er aber in <strong>de</strong>r ersten R<strong>und</strong>e nur 30 km/h fuhr, dauertedas bereits 6 Minuten.Aufgabe 5: Beweis einer BruchungleichungEs ist zu zeigen: Für positive a, b, c gilt:Lösung:Symmetrieprinzip: Rechts stehen drei Brüche, links steht ein Bruch mit einer 3 im Zähler. Eine I<strong>de</strong>e ist,<strong>de</strong>n Bruch rechts als Summe drei i<strong>de</strong>ntischer Brüche zu schreiben. Die Behauptung lautet dann:Aspektbeachtung/Zerlegungsprinzip:Es gilt:weil a + b ≤ a + b + c (folgt aus Voraussetzung)weil b + c ≤ a + b + c (folgt aus Voraussetzung)weil a + c ≤ a + b + c (folgt aus Voraussetzung).Daraus folgt die Behauptung.Zusatzaufgabe: BriefmarkenZu Weihnachten gibt die Post die Son<strong>de</strong>rbriefmarken „Christbaum“ für 2,25 €<strong>und</strong> „Kerze“ für 1,25 € heraus. Markus hat 25 € zur Verfügung <strong>und</strong> möchte dasGeld ganz o<strong>de</strong>r teilweise für diese Briefmarken ausgeben. Stelle seineEinkaufsmöglichkeiten graphisch dar. Gib dann alle Einkaufsmöglichkeiten an,bei <strong>de</strong>nen Markus <strong>de</strong>n kompletten Betrag für Briefmarken einsetzt.Lösung:Bezeichne x die Anzahl <strong>de</strong>r Marken „Christbaum“, <strong>und</strong> y die <strong>de</strong>r Marken „Kerze“. Dann lässt sich aus<strong>de</strong>n Angaben im Text folgen<strong>de</strong> Gleichung aufstellen: 2,25x + 1,25y ≤ 25