unendliche Folgen und Reihen (Vermittlung) - Bkonzepte.de

Aufgabenblätter zur Wissensvermittlung: unendliche Folgen und Reihen13. Geben Sie den Grenzwert g= limn ∞ n4. Gegeben ist die Zahlenfolge f n= nn1 ; n∈Na) Stellen Sie eine Vermutung über den Grenzwert auf!;n∈N an und beweisen Sie diesen!b) Überprüfen Sie Ihre Vermutung durch Nachweisführung!c) Geben Sie den Grenzwert in der Limesschreibweise an!d) Ermitteln Sie, ab welchem Folgenglied alle weiteren Folgenglieder in derEpsilonumgebung von ε = 0,000001 liegen!e) Weisen Sie nach, dass 2 kein Grenzwert der Folge ist!Anwendung von Grenzwertsätzen Mit der Epsilontik können keine Grenzwerte ermittelt werden. Die Epsilontik dient nur zurBeweisführung. Mit Hilfe der Grenzwertsätze nutzt man bereits bekannte Grenzwerte, um damit aufweitere Grenzwerte zu schließen.Beispiel:Gesucht ist der Grenzwert der Folge:f n=5− 1 nGrenzwertbestimmung:lim 5− 1n∞ n =lim 15−limn∞ n ∞ n =5−0=5Hier wird ein Grenzwertsatz verwendet, der logisch und plausibel ist. Auf einen Beweis wieauch auf den Beweis anderer Grenzwertsätze soll hier verzichtet werden.GrenzwertsätzeMan kann einzelneGrenzwerte addieren oderauch multiplizieren:Man kann einzelneGrenzwerte dividieren:Grenzwerte kann man miteiner Konstantemultiplizieren:Wenn lim f 1n =g 1und lim f 2 n=g 2n∞n ∞dann gilt : lim [ f 1n f 2n ]= limn∞ n∞und auch:lim [ f 1 n· f 2 n]= limn ∞ n∞existieren,f 1n lim f 2 n=g 1g 2n ∞f 2 n=g 1 ·g 2f 1 n · limn ∞Wenn lim f 1n =g 1und lim f 2n=g 2mit g 2≠0 existieren,n∞n ∞fdann gilt : lim 1n lim f 1n lim f 1 nn0 f 2n = n ∞lim f 2n = n∞lim f 2 n =g 1g 2n ∞n∞Wenn lim f n =g existiert und c∈R ist ,n∞dann gilt : lim [c· f n ]=c· lim f n =c· gn∞n∞www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 4 18.01.2006