unendliche Folgen und Reihen (Vermittlung) - Bkonzepte.de

Aufgabenblätter zur Wissensvermittlung: unendliche Folgen und ReihenKonvergenz von Zahlenfolgen (Grenzwerte)Ein Wirtschaftsgut miteinem Neupreis von100.000 € wird jährlich mit20% degressivabgeschrieben. DieRestbuchwerte dereinzelnen Jahre entsprechender Folge:f n=100000·0,8 n−1Diese Folge wird immerniedrigere Werte annehmen.Dennoch wird sie niemals Null erreichen.Die Werte der Folgenglieder unterschreiten, mit größer werdendem n (n → ∞), jeden Abstandvon dem Wert 0. Sie nähern sich dem Wert 0 beliebig dicht.Die Folge f(n) = 100000 · 0,8 n-1 hat den Grenzwert 0.Abgesehen von wenigen erstenGliedern der Folge, liegen alleweiteren Werte der Folge in einemschmalen Streifen um den Wert 0.lim 100000·0,8 n−1 =0n ∞Die Größe des Abstandes vom Grenzwert g, nennt man üblicherweise ε (Epsilon).Die Streifenbreite ist 2·ε. Diesen Streifen um den Grenzwert g nennt man Epsilonumgebung.Nähern sich die Werte einer Folge immer enger und beliebig dicht (ohne das ein Abstandbleibt) einem bestimmten Wert an, heißt dieser Wert Grenzwert der Folge.Mengenschreibweise für ε-Umgebung = {x| g-ε < x < g+ε} = {x| |x-g| < ε}Aus der ε-Umgebung folgt die Definition des Grenzwertes:Wenn es zu jeder ε-Umgebung ein Folgenglied gibt, ab dem alle weiteren Folgenglieder in derε−Umgebung liegen, dann hat die Folge einen Grenzwert (in der Mitte der ε-Umgebung).Äquivalent dazu ist: g ist Grenzwert der Folge f, wenn zu jeder reellen Zahl ε mit ε > 0 eine natürlicheZahl für n(ε) > 0 gibt, so dass für alle n > n(ε) gilt: |f(n) - g| < ε.Anders ausgedrückt: Wenn ich sage: Eine Folge hat einen Grenzwert, dann bin ich in der Lage,zu jedem Wert ε, so klein dies auch ist, ein Folgenglied anzugeben, ab dem alle weiterenGlieder weniger weit vom Grenzwert entfernt sind als ε.Mit dieser Logik wird auch der Nachweis über einen Grenzwert geführt:Behauptung: f(n) =100000·0,8 n-1 hat den Grenzwert 0.Anschauung: Wir wählen ε = 0,001 |f(n)-g| < ε |100000·0,8 n-1 -0| = 0,001|100000·0,8 n-1 | < 0,001 log 0,8 0,001 1n83 ,55 n≥84100000 Beweis:12000011000010000090000800007000060000500004000030000200001000001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20|f(n)-g| < ε |100000*0,8 n-1 -0| < εεεε100000 0,8n−1 log 0,8ln100000 1≤n ≥ 100000 1ln0,8q.e.dεεwww.bkonzepte.deI. Böhm Seite 3 18.01.2006