Aufgabenblätter zur Wissensvermittlung: <strong>unendliche</strong> <strong>Folgen</strong> <strong>und</strong> <strong>Reihen</strong>Monotonie von <strong>Folgen</strong>Ein Wirtschaftsgut mit einem Neupreis von 100000,00€ wird jährlich mit 20% <strong>de</strong>gressivabgeschrieben. Die Restbuchwerte <strong>de</strong>r einzelnen Jahre entsprechen <strong>de</strong>r Folge:f n=100000·0,8 n−112000011000010000090000800007000060000500004000030000200001000001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Diese Folge wird immer niedrigere Werte annehmen, selbst wenn ein bestimmter Wert niemalsunterschritten wird. Eine Folge heißt streng monoton fallend, wenn <strong>de</strong>r Wert je<strong>de</strong>s <strong>Folgen</strong>glie<strong>de</strong>s kleinerist als sein Vorgänger. f n1 f n Eine Folge heißt streng monoton steigend, wenn <strong>de</strong>r Wert je<strong>de</strong>s Folgeglie<strong>de</strong>s größerist als sein Vorgänger. f n1 f n2. Geben Sie für die <strong>Folgen</strong> an, ob diese monoton steigend o<strong>de</strong>r monoton fallend ist!(Für je<strong>de</strong> Folge gilt: n ∈ N.)a) f n= 1 nb) f n=5− 1 nc) f n=1 1 nd) f n= 1 1 nne) f n= 1− 1 nnf) f n = 2n−1n1g) f n=n 3 −40 ·n 2 256·nwww.bkonzepte.<strong>de</strong>I. Böhm Seite 2 18.01.2006
Aufgabenblätter zur Wissensvermittlung: <strong>unendliche</strong> <strong>Folgen</strong> <strong>und</strong> <strong>Reihen</strong>Konvergenz von Zahlenfolgen (Grenzwerte)Ein Wirtschaftsgut miteinem Neupreis von100.000 € wird jährlich mit20% <strong>de</strong>gressivabgeschrieben. DieRestbuchwerte <strong>de</strong>reinzelnen Jahre entsprechen<strong>de</strong>r Folge:f n=100000·0,8 n−1Diese Folge wird immerniedrigere Werte annehmen.Dennoch wird sie niemals Null erreichen.Die Werte <strong>de</strong>r <strong>Folgen</strong>glie<strong>de</strong>r unterschreiten, mit größer wer<strong>de</strong>n<strong>de</strong>m n (n → ∞), je<strong>de</strong>n Abstandvon <strong>de</strong>m Wert 0. Sie nähern sich <strong>de</strong>m Wert 0 beliebig dicht.Die Folge f(n) = 100000 · 0,8 n-1 hat <strong>de</strong>n Grenzwert 0.Abgesehen von wenigen erstenGlie<strong>de</strong>rn <strong>de</strong>r Folge, liegen alleweiteren Werte <strong>de</strong>r Folge in einemschmalen Streifen um <strong>de</strong>n Wert 0.lim 100000·0,8 n−1 =0n ∞Die Größe <strong>de</strong>s Abstan<strong>de</strong>s vom Grenzwert g, nennt man üblicherweise ε (Epsilon).Die Streifenbreite ist 2·ε. Diesen Streifen um <strong>de</strong>n Grenzwert g nennt man Epsilonumgebung.Nähern sich die Werte einer Folge immer enger <strong>und</strong> beliebig dicht (ohne das ein Abstandbleibt) einem bestimmten Wert an, heißt dieser Wert Grenzwert <strong>de</strong>r Folge.Mengenschreibweise für ε-Umgebung = {x| g-ε < x < g+ε} = {x| |x-g| < ε}Aus <strong>de</strong>r ε-Umgebung folgt die Definition <strong>de</strong>s Grenzwertes:Wenn es zu je<strong>de</strong>r ε-Umgebung ein <strong>Folgen</strong>glied gibt, ab <strong>de</strong>m alle weiteren <strong>Folgen</strong>glie<strong>de</strong>r in <strong>de</strong>rε−Umgebung liegen, dann hat die Folge einen Grenzwert (in <strong>de</strong>r Mitte <strong>de</strong>r ε-Umgebung).Äquivalent dazu ist: g ist Grenzwert <strong>de</strong>r Folge f, wenn zu je<strong>de</strong>r reellen Zahl ε mit ε > 0 eine natürlicheZahl für n(ε) > 0 gibt, so dass für alle n > n(ε) gilt: |f(n) - g| < ε.An<strong>de</strong>rs ausgedrückt: Wenn ich sage: Eine Folge hat einen Grenzwert, dann bin ich in <strong>de</strong>r Lage,zu je<strong>de</strong>m Wert ε, so klein dies auch ist, ein <strong>Folgen</strong>glied anzugeben, ab <strong>de</strong>m alle weiterenGlie<strong>de</strong>r weniger weit vom Grenzwert entfernt sind als ε.Mit dieser Logik wird auch <strong>de</strong>r Nachweis über einen Grenzwert geführt:Behauptung: f(n) =100000·0,8 n-1 hat <strong>de</strong>n Grenzwert 0.Anschauung: Wir wählen ε = 0,001 |f(n)-g| < ε |100000·0,8 n-1 -0| = 0,001|100000·0,8 n-1 | < 0,001 log 0,8 0,001 1n83 ,55 n≥84100000 Beweis:12000011000010000090000800007000060000500004000030000200001000001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20|f(n)-g| < ε |100000*0,8 n-1 -0| < εεεε100000 0,8n−1 log 0,8ln100000 1≤n ≥ 100000 1ln0,8q.e.dεεwww.bkonzepte.<strong>de</strong>I. Böhm Seite 3 18.01.2006