unendliche Folgen und Reihen (Vermittlung) - Bkonzepte.de

Aufgabenblätter zur Wissensvermittlungunendliche Folgen und ReihenSchranken und Beschränktheit von FolgenEin Wirtschaftsgut mit einem Neupreis von 100000,00€ wird jährlich mit 20% degressivabgeschrieben. Die Restbuchwerte der einzelnen Jahre entsprechen der Folge:f n=100000·0,8 n−112000011000010000090000800007000060000500004000030000200001000001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Diese Folge wird den Wert 100000 niemals übersteigen und den Wert -10 niemalsunterschreiten.Die Folge f n=100000·0,8 n−1 ist nach oben und nach unten beschränkt.100000 ist obere Schranke der Folge. -10 ist untere Schranke der Folge.S OS U Eine Folge heißt nach oben beschränkt, wenn kein Wert der Folge größer ist als einebestimmte Zahl S 0. S O≥f n;n∈NDie Zahl S 0 heißt obere Schranke. Jede Zahl, die größer als S 0 ist, ist ebenfalls eine obere Schranke. Eine Folge heißt nach unten beschränkt, wenn kein Wert der Folge kleiner ist als einebestimmte Zahl S U. S U≤f n;n∈NDie Zahl S U heißt untere Schranke. Jede Zahl, die kleiner als S U ist, ist ebenfalls eine untere Schranke.1. Geben Sie für die Folgen jeweils eine obere und eine untere Schranke an!(Für jede Folge gilt: n ∈ N.)a) f n= 1 nb) f n=5− 1 nc) f n=1 1 nd) f n= 1 1 nne) f n= 1− 1 nnf) f n = 2n−1n1g) f n=n 3 −40 ·n 2 256·nwww.bkonzepte.deI. Böhm Seite 1 18.01.2006

Aufgabenblätter zur Wissensvermittlung: unendliche Folgen und ReihenMonotonie von FolgenEin Wirtschaftsgut mit einem Neupreis von 100000,00€ wird jährlich mit 20% degressivabgeschrieben. Die Restbuchwerte der einzelnen Jahre entsprechen der Folge:f n=100000·0,8 n−112000011000010000090000800007000060000500004000030000200001000001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Diese Folge wird immer niedrigere Werte annehmen, selbst wenn ein bestimmter Wert niemalsunterschritten wird. Eine Folge heißt streng monoton fallend, wenn der Wert jedes Folgengliedes kleinerist als sein Vorgänger. f n1 f n Eine Folge heißt streng monoton steigend, wenn der Wert jedes Folgegliedes größerist als sein Vorgänger. f n1 f n2. Geben Sie für die Folgen an, ob diese monoton steigend oder monoton fallend ist!(Für jede Folge gilt: n ∈ N.)a) f n= 1 nb) f n=5− 1 nc) f n=1 1 nd) f n= 1 1 nne) f n= 1− 1 nnf) f n = 2n−1n1g) f n=n 3 −40 ·n 2 256·nwww.bkonzepte.deI. Böhm Seite 2 18.01.2006

Aufgabenblätter zur Wissensvermittlung: unendliche Folgen und ReihenKonvergenz von Zahlenfolgen (Grenzwerte)Ein Wirtschaftsgut miteinem Neupreis von100.000 € wird jährlich mit20% degressivabgeschrieben. DieRestbuchwerte dereinzelnen Jahre entsprechender Folge:f n=100000·0,8 n−1Diese Folge wird immerniedrigere Werte annehmen.Dennoch wird sie niemals Null erreichen.Die Werte der Folgenglieder unterschreiten, mit größer werdendem n (n → ∞), jeden Abstandvon dem Wert 0. Sie nähern sich dem Wert 0 beliebig dicht.Die Folge f(n) = 100000 · 0,8 n-1 hat den Grenzwert 0.Abgesehen von wenigen erstenGliedern der Folge, liegen alleweiteren Werte der Folge in einemschmalen Streifen um den Wert 0.lim 100000·0,8 n−1 =0n ∞Die Größe des Abstandes vom Grenzwert g, nennt man üblicherweise ε (Epsilon).Die Streifenbreite ist 2·ε. Diesen Streifen um den Grenzwert g nennt man Epsilonumgebung.Nähern sich die Werte einer Folge immer enger und beliebig dicht (ohne das ein Abstandbleibt) einem bestimmten Wert an, heißt dieser Wert Grenzwert der Folge.Mengenschreibweise für ε-Umgebung = {x| g-ε < x < g+ε} = {x| |x-g| < ε}Aus der ε-Umgebung folgt die Definition des Grenzwertes:Wenn es zu jeder ε-Umgebung ein Folgenglied gibt, ab dem alle weiteren Folgenglieder in derε−Umgebung liegen, dann hat die Folge einen Grenzwert (in der Mitte der ε-Umgebung).Äquivalent dazu ist: g ist Grenzwert der Folge f, wenn zu jeder reellen Zahl ε mit ε > 0 eine natürlicheZahl für n(ε) > 0 gibt, so dass für alle n > n(ε) gilt: |f(n) - g| < ε.Anders ausgedrückt: Wenn ich sage: Eine Folge hat einen Grenzwert, dann bin ich in der Lage,zu jedem Wert ε, so klein dies auch ist, ein Folgenglied anzugeben, ab dem alle weiterenGlieder weniger weit vom Grenzwert entfernt sind als ε.Mit dieser Logik wird auch der Nachweis über einen Grenzwert geführt:Behauptung: f(n) =100000·0,8 n-1 hat den Grenzwert 0.Anschauung: Wir wählen ε = 0,001 |f(n)-g| < ε |100000·0,8 n-1 -0| = 0,001|100000·0,8 n-1 | < 0,001 log 0,8 0,001 1n83 ,55 n≥84100000 Beweis:12000011000010000090000800007000060000500004000030000200001000001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20|f(n)-g| < ε |100000*0,8 n-1 -0| < εεεε100000 0,8n−1 log 0,8ln100000 1≤n ≥ 100000 1ln0,8q.e.dεεwww.bkonzepte.deI. Böhm Seite 3 18.01.2006

Aufgabenblätter zur Wissensvermittlung: unendliche Folgen und Reihen13. Geben Sie den Grenzwert g= limn ∞ n4. Gegeben ist die Zahlenfolge f n= nn1 ; n∈Na) Stellen Sie eine Vermutung über den Grenzwert auf!;n∈N an und beweisen Sie diesen!b) Überprüfen Sie Ihre Vermutung durch Nachweisführung!c) Geben Sie den Grenzwert in der Limesschreibweise an!d) Ermitteln Sie, ab welchem Folgenglied alle weiteren Folgenglieder in derEpsilonumgebung von ε = 0,000001 liegen!e) Weisen Sie nach, dass 2 kein Grenzwert der Folge ist!Anwendung von Grenzwertsätzen Mit der Epsilontik können keine Grenzwerte ermittelt werden. Die Epsilontik dient nur zurBeweisführung. Mit Hilfe der Grenzwertsätze nutzt man bereits bekannte Grenzwerte, um damit aufweitere Grenzwerte zu schließen.Beispiel:Gesucht ist der Grenzwert der Folge:f n=5− 1 nGrenzwertbestimmung:lim 5− 1n∞ n =lim 15−limn∞ n ∞ n =5−0=5Hier wird ein Grenzwertsatz verwendet, der logisch und plausibel ist. Auf einen Beweis wieauch auf den Beweis anderer Grenzwertsätze soll hier verzichtet werden.GrenzwertsätzeMan kann einzelneGrenzwerte addieren oderauch multiplizieren:Man kann einzelneGrenzwerte dividieren:Grenzwerte kann man miteiner Konstantemultiplizieren:Wenn lim f 1n =g 1und lim f 2 n=g 2n∞n ∞dann gilt : lim [ f 1n f 2n ]= limn∞ n∞und auch:lim [ f 1 n· f 2 n]= limn ∞ n∞existieren,f 1n lim f 2 n=g 1g 2n ∞f 2 n=g 1 ·g 2f 1 n · limn ∞Wenn lim f 1n =g 1und lim f 2n=g 2mit g 2≠0 existieren,n∞n ∞fdann gilt : lim 1n lim f 1n lim f 1 nn0 f 2n = n ∞lim f 2n = n∞lim f 2 n =g 1g 2n ∞n∞Wenn lim f n =g existiert und c∈R ist ,n∞dann gilt : lim [c· f n ]=c· lim f n =c· gn∞n∞www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 4 18.01.2006

Aufgabenblätter zur Wissensvermittlung: unendliche Folgen und Reihen5. Gegeben ist die Folge f n= −1nn; n∈N .a) Ermitteln Sie den Grenzwert der Folge!b) Geben Sie den Grenzwert in der Limesschreibweise an!c) Ab welchem Folgenglied liegen alle weiteren Folgenglieder in der Epsilonumgebungvon ε = 0,000001?6. Gegeben ist die Zahlenfolge f n = 4nn3a) Stellen Sie eine Vermutung über den Grenzwert auf!b) Geben Sie den Grenzwert in der Limesschreibweise an!c) Überprüfen Sie Ihre Vermutung durch Nachweisführung (Epsilontik, Grenzwertsätze)!d) Ab welchem Folgenglied liegen alle weiteren Folgenglieder in der Epsilonumgebungvon ε = 0,000001?e) Weisen Sie nach, dass 3 kein Grenzwert der Folge ist!7. Gegeben ist die Folge f n= 1 naa) Ermitteln Sie den Grenzwert für die Folge!; a∈R∩a1 ; n∈N .b) Weisen Sie den Grenzwert durch Epsilontik nach!c) Ab welchem Folgenglied liegen alle weiteren Folgenglieder in der Epsilonumgebungvon ε = 0,000001?8. Gegeben ist die Folge f n=a n ; a∈R∩a1 ; n∈Na) Ermitteln Sie den Grenzwert für die Folge!b) Weisen Sie den Grenzwert durch Epsilontik nach!c) Ab welchem Folgenglied liegen alle weiteren Folgenglieder in der Epsilonumgebungvon ε = 0,000001?9. Ein Turm soll aus Würfeln zusammengesetzt werden. Der unterste Würfel hat eineKantenlänge von 1m. Auf ihn wird ein Würfel aufgesetzt mit der halben Kantenlänge, aufjenen wieder ein Würfel mit dessen halber Kantenlänge usw., sodass ein Turm ausWürfeln entsteht, bei dem jeder Würfel die halbe Kantenlänge des unter ihm befindlichenbesitzt.a) Berechnen Sie die Höhe und das Volumen eines solchenTurmes, der aus sechs Würfeln besteht!b) Berechnen Sie die Höhe und das Volumen eines solchenTurmes, der aus hundert Würfeln besteht!c) Berechnen Sie die Höhe und das Volumen eines solchenTurmes, der immer weiter gebaut wird, dessenWürfelzahl also unendlich groß ist!www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 5 18.01.2006