Projektionen auf abgeschlossene konvexe Mengen

2.2 Projektion auf einen abgeschlossenen konvexen KegelKonvexe Kegel sind wichtige Beispiele für konvexe Mengen, da man sie irgendwozwischen Unterräumen und allgemeinen konvexen Mengen einordnenkann. Das bedeutet, dass die Eigenschaften eines Projektionsoperators für abgeschlossenekonvexe Kegel feiner sind als die in 2.1 genannten und denen einerProjektion auf einen Unterraum näher kommen.Erinnern wir uns an die Definition eines Kegels. Wir können davon ausgehen,dass ein Kegel für gewöhnlich eine Spitze besitzt (siehe Abb.3); im Folgendenwerden nur Kegel mit der Spitze im Nullpunkt betrachtet.Definition 2.2.1 (Polarkegel). Sei K ein konvexer Kegel. Der zu K gehörigePolarkegel ist die Menge K ◦ := {s ∈ IR n : 〈s, x〉 ≤ 0 ∀x ∈ K}.Zum Polarkegel kann gesagt werden, dass er ein abgeschlossener konvexer Kegelist. Ist K ein Unterraum, so gilt K ◦ = K ⊥ . Für die Polarität gilt dieBeziehung: K ′ ⊆ K ⇒ (K ′ ) ◦ ⊇ K ◦ (Beweis: s ∈ K ◦ Def.⇒ 〈s, x〉 ≤ 0 ∀x ∈ K,insbesondere 〈s, x〉 ≤ 0 ∀x ∈ K ′ Def.⇒ s ∈ (K ′ ) ◦ ). Das einzige Element in K∩K ◦ist der Nullvektor: Sei ˜x ∈ (K ∩ K ◦ ). Für ˜x ∈ K ◦ gilt 〈˜x, x〉 ≤ 0 ∀x ∈ K. Insbesonderegilt 〈˜x, ˜x〉 ≤ 0, da ˜x ∈ K; also muss ˜x = o gelten.Beispiele 2.2.2.1. Seien x 1 , ..., x m ∈ IR n gegeben; betrachte deren kegelförmige Hülle (sieheAbb.4):m∑K = { α j x j : α j ≥ 0 für j = 1, ..., m} ⇒j=1A := {s ∈ IR n : 〈s, x j 〉 ≤ 0 für j = 1, ..., m} ! = K ◦Angenommen, die Behauptung ist wahr, dann werden zur Darstellungdes Polarkegels die Vektoren s benötigt, die einen Winkel zwischen 90 ◦und 270 ◦ zu den Vektoren x j bilden, und zwar für alle j (siehe Abb.4).Noch zu zeigen ist A = K ◦ :⊆“: Sei s ∈ A.”⇒ 〈s, x j 〉 ≤ 0 ∀j α j≥0⇒ α j 〈s, x j 〉 ≤ 0 ∀j ⇒” ⊇“: Sei s ∈ K◦ .〈 〉m∑⇒ s, α j x jj=1m∑α j 〈s, x j 〉 ≤ 0 ⇒ Beh.j=1≤ 0 ∀α j ≥ 0 α i:=1,α j :=0 f.j≠i⇒ s ∈ A.4

2. Betrachte das Standardskalarprodukt und die kanonische Basis des IR n .Der nicht-negative Orthant ist definiert alsΩ + := {x = (ξ 1 , ..., ξ n ) : ξ i ≥ 0 ∀i}.Der nicht-positive Orthant bildet den zugehörigen Polarkegel (siehe Abb.5):(Ω + ) ◦ = Ω − := {s = (σ 1 , ..., σ n ) : σ i ≤ 0 ∀i}.Dies ist logisch, da die Basisvektoren des IR n alle orthogonal zueinandersind.Eine Charakterisierung für den Projektionsoperator, der Punkte des IR n aufeinen abgeschlossenen konvexen Kegel projeziert, liefert der folgende Satz:Satz 2.2.3. Sei K ein abgeschlossener konvexer Kegel, y x ∈ K. ⇒y x = p K (x) ⇔ (i) (x − y x ) ∈ K ◦ und (ii) 〈x − y x , y x 〉 = 0. (2.2.1)Beweis:⇒:“ Wir wissen nach Satz 2.1.1:”y x = p K (x) ⇔ 〈x − y x , y − y x 〉 ≤ 0 ∀y ∈ K. (2.2.2)Setze y := αy x , α ≥ 0 (deckt nach Definition eines Kegels alle Punkte imKegel ab). ⇒〈x − y x , αy x − y x 〉 ≤ 0 ⇔ (α − 1) 〈x − y x , y x 〉 ≤ 0Da α − 1 einen positiven oder negativen Wert annehmen kann, folgt:〈x − y x , y x 〉 = 0 mit(2.2.2)⇒ 〈x − y x , y〉 ≤ 0 ∀y ∈ K, d.h. (x − y x ) ∈ K ◦ .⇐:“ Es gilt:”(a) f x (y) Def.fx= 1 2 ‖x − y x + y x − y‖ 2 ≥ f x (y x ) + 〈x − y x , y x − y〉 ,was man durch Nachrechnen zeigen kann, und(b) 〈x − y x , y x − y〉 (ii)= − 〈x − y x , y〉 (i)≥ 0.Aus (a) folgt mit Hilfe von (b): f x (y) ≥ f x (y x ) ∀y ∈ K, d.h. y x löst dasMinimierungsproblem (2.1.1).Bemerkung 2.2.4. Nach (2.1.4) wissen wir bereits, dass p K (x) in der Seitenflächevon K liegt, die durch die Bedingung α T y ≤ β abgegrenzt wird. Mit Hilfevon (2.2.1) und der Definition des Polarkegels können wir jedoch eine weitereAussage treffen: x−p K (x) liegt in der Seitenfläche von K ◦ , die von der Bedingung〈p K (x), y〉 ≤ 〈p K (x), x − p K (x)〉 abgegrenzt wird (siehe Abb.6; dort entspricht˜β der rechten Seite dieser Ungleichung, nämlich 〈p K (x), x − p K (x)〉).5

Es gibt einige Eigenschaften von p K , die aus (2.2.1) folgen:1. p K (x) = 0 ⇔ x ∈ K ◦ .2. p K (αx) = αp K (x) ∀α ≥ 0 (siehe Abb.7).3. p K (−x) = −p −K (x) (siehe Abb.8).Diese Eigenschaften verallgemeinern in gewisser Weise die Linearität einerProjektion auf einen Unterraum.Eine weitere wichtige Eigenschaft ist folgende (siehe Abb.9):p K (x) + p K ◦(x) = x (2.2.3)Im übertragenen Sinne spielt diese die Rolle von p V (x) + p V ⊥(x) = x bei einerProjektion auf einen Unterraum V und führt auf den folgenden Zerlegungssatz:Satz 2.2.5 (J.J.Moreau). Sei K ein abgeschlossener konvexer Kegel, seien x,x 1 und x 2 ∈ IR n ; dann sind folgende Aussagen äquivalent:1. x = x 1 + x 2 mit x 1 ∈ K, x 2 ∈ K ◦ , 〈x 1 , x 2 〉 = 0.2. x 1 = p K (x) und x 2 = p K ◦(x).Die Behauptung folgt direkt aus (2.2.3) und der Charakterisierung (2.2.1).Im Gegensatz zur Zerlegung des IR n in Unterräume ist die Zerlegung von xin die Summe von x 1 und x 2 mit x 1 ∈ K und x 2 ∈ K ◦ nicht eindeutig, da dieOrthogonalität, also die Bedingung 〈x 1 , x 2 〉 = 0, nicht automatisch gegebenist. Jedoch ist die im Satz 2.2.5 beschriebene Zerlegung in folgendem Sinneoptimal (siehe Abb.10):x = x 1 + x 2 mit x 1 ∈ K, x 2 ∈ K ◦ ⇒‖x 1 ‖ ≥ ‖p K (x)‖ und ‖x 2 ‖ ≥ ‖p K ◦(x)‖ .6