Klausur zur Vorlesung Mathematische Logik - Fakultät für ...

Gilt t ≡ f n (c 0 ) und t ′ ≡ f n′ (c 0 ), so gilt t B = 2n = 2n ′ = t ′B genau dann,wenn n = n ′ , also t = t ′ gilt. Analog argumentiert man im Fall t ≡ f n (c 1 ) undt ′ ≡ f n′ (c 1 ).(f) Wäre T eine Henkin-Theorie, so müsste zu jedem L-Existenzssatz σ = ∃xϕein konstanter L-Term t existieren mit T ⊢ ∃xϕ → ϕ[t/x], und damit auchT ∃xϕ → ϕ[t/x]. Wir zeigen, dass dies für ϕ ≡ x ≠ c 0 ∧ x ≠ c 1 nicht der Fallist.Betrachte dafür die L-Struktur A ′ = ({0, 1, 2}; f A′ ; 0, 1) mit f A′ (0) = 1,f A′ (1) = 0 und f A′ (2) = 0. Es gilt offensichtlich A ′ T und A ′ ∃x(x ≠c 0 ∧ x ≠ c 1 ). Gälte nun T ∃xϕ → ϕ[t/x], so müsste es einen konstanten Termt geben mit A ′ t ≠ c 0 ∧ t ≠ c 1 , d.h. t A′ ≠ 0, 1. Es gilt aber für jeden Termt ≡ f n (c 0 ), dasst A′ ={0 falls n gerade1 sonstund für jeden konstanten Term t ≡ f n (c 1 ), dass{1 falls n geradet A′ =.1 sonst(g) Wir zeigen, dass das Modell B von T aus Aufgabenteil (b) isomorph zumTermmodell ist, wobei der Isomorphismus h : N → {¯t : t konstanter L − Term}gegeben ist durch{fh(n) =m (c 0 ) falls n = 2mf m (c 1 ) falls n = 2m + 1.h surjektiv: Ist t ein konstanter L-Term, so ist t von der Form f m (c 0 ) oderf m (c 1 ). Dann ist h(2m) = ¯t bzw. h(2m + 1) = ¯t, also liegt ¯t im Wertebereichvon h. Somit ist h surjektiv.h injektiv: Sind n ≠ n ′ , so gilt nach Definition h(n) = ¯t und h(n ′ ) = ¯t ′ mitt ≢ t ′ . Nach (e) folgt T ̸ t = t ′ , also h(n) = ¯t ≠ ¯t ′ = h(n ′ ).h(c B ) = c A Tfür jede Konstante c: Es gilt h(c B 0 ) = h(0) = ¯c 0 = c A T0 undh(c B 1 ) = h(1) = ¯c 1 = c A T1 .h(f B (n)) = f A T(h(n)) für jedes Funktionssymbol f und alle n ∈ N: Es gilt{h(f B f(n)) = h(n+2) =m+1 (c 0 ) = f A T(f m (c 0 )) = f A T(h(n)) falls n = 2mf m (c 1 ) = f A T(f m (c 1 )) = f A T(h(n)) falls n = 2m + 1.