Klausur zur Vorlesung Mathematische Logik - Fakultät für ...

Aufgabe 5 (Prädikatenlogik - 8 Punkte)Sei L = L(+; 0) die Sprache der Gruppentheorie.Erinnerung: Eine L-Struktur ist eine Gruppe, falls sie ein Modell der Gruppenaxiomeist.ϕ 1 ≡ ∀x∀y∀z((x + y) + z = x + (y + z)) [Assoziativität]ϕ 2 ≡ ∀x(0 + x = x) [0 linksneutral]ϕ 3 ≡ ∀x∃y(y + x = 0) [Existenz von Linksinversen]Eine L-Struktur G = (G; + G ; 0 G ) heißt Torsionsgruppe, falls sie eine Gruppeist und für jedes g ∈ G eine Zahl n ≥ 1 existiert, so dassg + G g + G . . . + G g = 0 G} {{ }n Summandengilt.Beispiele für Torsionsgruppen sind die zyklischen Gruppen (Z n ; + Zn ; 0) für n ≥1, wobei Z n = {0, 1, . . . , n − 1} ist und a + Zn b = a + b modulo n.Zeigen Sie, dass die Klasse der Torsionsgruppen nicht ∆-elementar ist.LÖSUNG. Wir führen den Beweis durch Widerspruch. Angenommen, dieKlasse T G = {G : G ist Torsionsgruppe} wäre ∆-elementar, das heißt es gäbeeine Menge T von L-Sätzen, für die gilt:T G = {G : G ist L − Struktur und G T }.Erweitere die Sprache L dann um ein neues Konstantensymbol c zur SpracheL ′ und betrachte die L ′ -TheorieT ′ = T ∪ {c + c + . . . + c ≠ 0 : n ≥ 0}.} {{ }n SummandenWir zeigen, dass jede endliche Teiltheorie T 0 ⊆ T ′ erfüllbar ist, so dass nach demKompaktheitssatz also auch T ′ erfüllbar ist. Sei dafür T 0 eine solche endlicheTeiltheorie. Dann gibt es ein m ≥ 1, so dassT 0 ⊆ T ∪ {c + c + . . . + c ≠ 0 : 1 ≤ n ≤ m}} {{ }n Summandengilt. Ein Modell dieser Theorie ist aber (Z n+1 ; + Zn+1 ; 0, 1), d.h. die L ′ -Struktur,die man erhält, wenn man in der zyklischen Gruppe mit Individuenbereich Z n+1das Konstantensymbol c durch 1 interpretiert. Damit ist T 0 erfüllbar.Da T ′ erfüllbar ist, muss es ein Modell G von T ′ geben. Wegen G T ′ undT ⊆ T ′ gilt G T , d.h. als L-Struktur betrachtet, ist G eine Torsionsgruppe.Andererseits gilt c G + G c G + G . . . + G c} {{ G ≠ 0}G für alle n ≥ 1, so dass G keinen SummandenTorsionsgruppe sein kann – ein Widerspruch!