Klausur zur Vorlesung Mathematische Logik - Fakultät für ...
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Aufgabe 4 (Prädikatenlogik - 8 Punkte)Geben Sie den Wortlaut des Kompaktheitssatzes (in der Version für den Folgerungsbegriff)an und leiten Sie diesen aus dem Vollständigkeitssatz und demKorrektheitssatz her (geben Sie dazu auch diese beiden Sätze an).LÖSUNG. Der Kompaktheitssatz lautet:Ist T eine L-Theorie und σ ein L-Satz, der aus T folgt (d.h. T σ), dann gibtes eine endliche Teiltheorie T 0 ⊆ T , so dass σ aus T 0 folgt, d.h. T 0 σ.Der Vollständigkeitssatz lautet:Ist T eine L-Theorie und σ ein L-Satz, so gilt T σ ⇒ T ⊢ σ.Der Korrektheitssatz lautet:Ist T eine L-Theorie und σ ein L-Satz, so gilt T ⊢ σ ⇒ T σ.Der Kompaktheitssatz lässt sich nun wie folgt beweisen:T σ⇒ T ⊢ σ [nach Vollständigkeitssatz]⇒ T 0 ⊢ σ für ein endliches T 0 ⊆ T [nach Endlichkeitssatz für die Beweisbarkeit]⇒ T 0 σ [nach Korrektheitssatz].
Aufgabe 5 (Prädikatenlogik - 8 Punkte)Sei L = L(+; 0) die Sprache der Gruppentheorie.Erinnerung: Eine L-Struktur ist eine Gruppe, falls sie ein Modell der Gruppenaxiomeist.ϕ 1 ≡ ∀x∀y∀z((x + y) + z = x + (y + z)) [Assoziativität]ϕ 2 ≡ ∀x(0 + x = x) [0 linksneutral]ϕ 3 ≡ ∀x∃y(y + x = 0) [Existenz von Linksinversen]Eine L-Struktur G = (G; + G ; 0 G ) heißt Torsionsgruppe, falls sie eine Gruppeist und für jedes g ∈ G eine Zahl n ≥ 1 existiert, so dassg + G g + G . . . + G g = 0 G} {{ }n Summandengilt.Beispiele für Torsionsgruppen sind die zyklischen Gruppen (Z n ; + Zn ; 0) für n ≥1, wobei Z n = {0, 1, . . . , n − 1} ist und a + Zn b = a + b modulo n.Zeigen Sie, dass die Klasse der Torsionsgruppen nicht ∆-elementar ist.LÖSUNG. Wir führen den Beweis durch Widerspruch. Angenommen, dieKlasse T G = {G : G ist Torsionsgruppe} wäre ∆-elementar, das heißt es gäbeeine Menge T von L-Sätzen, für die gilt:T G = {G : G ist L − Struktur und G T }.Erweitere die Sprache L dann um ein neues Konstantensymbol c zur SpracheL ′ und betrachte die L ′ -TheorieT ′ = T ∪ {c + c + . . . + c ≠ 0 : n ≥ 0}.} {{ }n SummandenWir zeigen, dass jede endliche Teiltheorie T 0 ⊆ T ′ erfüllbar ist, so dass nach demKompaktheitssatz also auch T ′ erfüllbar ist. Sei dafür T 0 eine solche endlicheTeiltheorie. Dann gibt es ein m ≥ 1, so dassT 0 ⊆ T ∪ {c + c + . . . + c ≠ 0 : 1 ≤ n ≤ m}} {{ }n Summandengilt. Ein Modell dieser Theorie ist aber (Z n+1 ; + Zn+1 ; 0, 1), d.h. die L ′ -Struktur,die man erhält, wenn man in der zyklischen Gruppe mit Individuenbereich Z n+1das Konstantensymbol c durch 1 interpretiert. Damit ist T 0 erfüllbar.Da T ′ erfüllbar ist, muss es ein Modell G von T ′ geben. Wegen G T ′ undT ⊆ T ′ gilt G T , d.h. als L-Struktur betrachtet, ist G eine Torsionsgruppe.Andererseits gilt c G + G c G + G . . . + G c} {{ G ≠ 0}G für alle n ≥ 1, so dass G keinen SummandenTorsionsgruppe sein kann – ein Widerspruch!
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- Seite 7 und 8: Aufgabe 6 (Prädikatenlogik - 14 Pu
Aufgabe 4 (Prädikatenlogik - 8 Punkte)Geben Sie den Wortlaut des Kompaktheitssatzes (in der Version <strong>für</strong> den Folgerungsbegriff)an und leiten Sie diesen aus dem Vollständigkeitssatz und demKorrektheitssatz her (geben Sie dazu auch diese beiden Sätze an).LÖSUNG. Der Kompaktheitssatz lautet:Ist T eine L-Theorie und σ ein L-Satz, der aus T folgt (d.h. T σ), dann gibtes eine endliche Teiltheorie T 0 ⊆ T , so dass σ aus T 0 folgt, d.h. T 0 σ.Der Vollständigkeitssatz lautet:Ist T eine L-Theorie und σ ein L-Satz, so gilt T σ ⇒ T ⊢ σ.Der Korrektheitssatz lautet:Ist T eine L-Theorie und σ ein L-Satz, so gilt T ⊢ σ ⇒ T σ.Der Kompaktheitssatz lässt sich nun wie folgt beweisen:T σ⇒ T ⊢ σ [nach Vollständigkeitssatz]⇒ T 0 ⊢ σ <strong>für</strong> ein endliches T 0 ⊆ T [nach Endlichkeitssatz <strong>für</strong> die Beweisbarkeit]⇒ T 0 σ [nach Korrektheitssatz].
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