Klausur zur Vorlesung Mathematische Logik - Fakultät für ...

Aufgabe 2 (Aussagenlogik - 8 Punkte)Die 3-stellige Schwellenfunktion s 2 : {0, 1} 3 → {0, 1} mit Schwelle 2 ist definiertdurch{1, falls x 0 + x 1 + x 2 ≥ 2s 2 (x 0 , x 1 , x 2 ) =0 sonst.Geben Sie eine Boolesche Formel in disjunktiver Normalform an, die s 2 darstellt.Verwenden Sie hierzu das in der Vorlesung angegebene allgemeine Verfahren.LÖSUNG. Um eine Formel ϕ f in DNF zu erhalten, die eine Boolesche Funktionf (n) darstellt, stellt man zunächst die Wertetabelle von f auf. Die Eingabetupel(i 1 , . . . , i n ), für die die Funktion f den Wert 1 annimmt, ergeben danngerade die Klauseln von ϕ f , wenn man die Eingabe i k = 0 durch das Literal¬A k und i k = 1 durch das Literal A k ersetzt.Im Falle von s 2 erhalten wir die Wertetabelleund hieraus die Formelx 1 x 2 x 3 s 2 (x 1 , x 2 , x 3 )0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1ϕ s2 ≡ (¬A 1 ∧ A 2 ∧ A 3 ) ∨ (A 1 ∧ ¬A 2 ∧ A 3 ) ∨ (A 1 ∧ A 2 ∧ ¬A 3 ) ∨ (A 1 ∧ A 2 ∧ A 3 ).