Falten im Rechteck.pdf - Hans & Meta Walser

Hans Walser, [20100523a]Falten im RechteckAnregungen: Ernst-Reinhold Mewes, Schleswig, Hans Schupp, Saarbrücken1 Ecke hinauffaltenIn einem Hochformat-Rechteck falten wir die rechte untere Ecke auf die obere Kante.Dann falten wir wieder zurück.FaltlinieWir fragen nun, wie die Faltlinie die senkrechten Rechtecksseiten teilt.2 Maße und BezeichnungenDas Rechteck habe die Breite 1 und die Höhe 1. Bezeichnungen gemäß Figur.A1bCcaBcBezeichnungenFür die folgenden Überlegungen verwenden wir b als freien Parameter.

Hans Walser: Falten im Rechteck 3/92. US-Letter-Format. Es ist =ein pythagoreisches Dreieck.4 Teilpunkt am linken RandWir ergänzen die Bezeichnungen:8.5 inches11 inches = 17 . Mit b erhalten wir ebenfalls221AbChFgdiDcedfaBcGEBezeichnungenIn welchem Verhältnis teilt der Punkt F die linke Rechtecksseite?Zunächst ist d = 1 2 2 + b 2 . Daraus ergibt sich:e = c 2 d 2 =1(4 2 2 + b 2 ) 2 1 4 ( 2 + b 2 )= 12 4 + 2 2 b 2 + b 4 4 2 b 2 = b2 2 + b 2Da die Dreiecke BAD (magenta) und BFG (orange) ähnlich sind, folgt:Für g erhalten wir:Für h ergibt sich:Es ist also:f1 = e bd = 2 2 +b 2f = b 12 2 +b 2= b ( ( ))g = c f = 12 ( 2 + b 2 ) b = 12 2 2b b 2( ( )) = 1h = g = 12 2 2b b 2( ( ))2 2 + 2b b 2

Hans Walser: Falten im Rechteck 4/9Satz 3( ( ))( )g = 12 2 2b b 2( )h = 12 2 + 2b b 2( )( )gh = 2 2bb 2 2 + 2bb 2Für 2 und b ergibt sich am linken Rand ein rationales Teilverhältnis.Beispiel: DIN-Format und b .5 Länge der FaltstreckeFür die Länge i erhalten wir:i = 1 + f 2 = 1 + b2 = 1 2 Wegen der Wurzel ist i in der Regel nicht rational. 2 + b 26 Beispiele6.1 OrigamiWir arbeiten mit quadratischem Papier, also = 1 .6.1.1 b = 0.5Für b = 1 2 ergibt sich: a = 12 ( 2 b 2 )= 1 2 ( 1 1 4 )= 3 8c = 12 ( 2 + b 2 )= 1 2 ( 1+ 1 4 )= 5 8Wir erhalten mit a :b : c = 3:4:5 das einfachste pythagoreische Dreieck.Pythagoreisches Dreieck

Hans Walser: Falten im Rechteck 5/9Am linken Bildrand haben wir das Teilverhältnis 1:7. Die Figur passt in ein Schachbrett.6.1.2 b = 0.75Für b = 3 4 ergibt sich: a = 12 ( 2 b 2 )= 1 2 ( 1 916 )= 7 32c = 12 ( 2 + b 2 )= 1 2 ( 1 + 916 )= 2532Wir erhalten das pythagoreische Dreieck mit a :b : c = 7 : 24 : 25 . Weiter ist:g = 12 ( 2 ( 2b b 2 )) = 1 2 ( 1 ( 6 4 916 ))= 1 32h = 12 2 + ( 2b b 2 ) ( ( 16 ))= 3132Und schließlich gilt in diesem Beispiel:( ) = 1 2 1 + 6 4 9i = 1 2 + b 2 = 1+ 916 = 5 4 = 4032Es sind also alle beteiligten Strecken (inklusive i) in einem rationalen Verhältnis.Situation im Raster

Hans Walser: Falten im Rechteck 6/96.1.3 AllgemeinAllgemein ergibt sich für b = v u :a = 12 ( ( 2 b 2 )= 1 2 1 v2u 2 )= 12u 2 u2 v 2c = 12 ( ( 2 + b 2 )= 1 2 1 + v2)= 12u 2 u2 + v 2u 2( )( )Somit ist:a :b : c = 1 (2u 2 u2 v 2 ): 2uv : 1(2u 2 2u 2 u2 + v 2 )= ( u 2 v 2 ):2uv :( u 2 + v 2 )Das sind die üblichen Formeln zur Generierung der pythagoreischen Zahlentripel.6.2 Das DIN-FormatNun ist = 2 . Wir erhalten die Formeln:a = 12 ( 2 b 2 )= 2 2 b 24 ( )c = 12 ( 2 + b 2 )= 2( 2 + b 2 )Ebenso:Und:6.2.1 b = 1i = 1 g = 24h = 244( 2 ( 2b b 2 ))( 2 + ( 2b b 2 )) 2 + b 2 = 222 + b 2Für b = 1 ergibt sich a c = g h = 1 . Dieses Beispiel verdanke ich Hans Schupp.31 1142142342142b = 1Statt zwei diametrale Ecken aufeinander zu falten, können wir auch längs der zugehörigenDiagonalen falten.

Hans Walser: Falten im Rechteck 7/96.2.2 b = 0.5Das Beispiel findet sich inhttp://www.wissenschaftsreisen.de/quiz.php?rechts=quiz/quiz-2008-7.htmlundhttp://www.wissenschaftsreisen.de/quiz.php (Lösung des Preisrätsels vom Juli 2008)In diesem Beispiel erhalten wir aus b = 1 2 :a = 7 216c = 9 216g = 5 216h = 11 216i = 12 216Es sind also — mit Ausnahme von b — alle Zahlen in einem rationalen Verhältnis zueinander. Die Figur passt in ein DIN-Raster.6.2.3 b = 7/6DIN-RasterDas Beispiel ist etwas subtil, indem wir für b = 7 6links verlängern müssen. Wir erhalten:a = 23 2144c = 121 2144g = 37 2144die Oberkante des Rechteckes nachh = 107 2144i = 132 2144Mit Ausnahme von b stehen alle Zahlen in einem rationalen Verhältnis zueinander.

Hans Walser: Falten im Rechteck 8/9Die verlängerte Oberkante6.2.4 Kombination mit gleichseitigem DreieckWir wählen nun b = 32a = 5 216. Damit ergibt sich:c = 11 2162g = ( 11 4 3) 162h = ( 5 + 4 3) 16Wir haben am rechten Rand ein rationales Teilverhältnis, am linken Rand nicht.6.3 Goldenes RechteckNun sei = = 1+ 5 . Wir erhalten:2Kombination mit gleichseitigem Dreieck

Hans Walser: Falten im Rechteck 9/9a = 1 c = 5 g = 1 h = 52222Wir haben keine rationalen Verhältnisse auf der linken und der rechten Rechtecksseite.1 1121252Goldenes RechteckStatt zwei diametrale Ecken aufeinander zu falten, können wir auch längs der Diagonalenfalten.6.4 Wurzel-3-RechteckWir arbeiten mit =3 und b = 1. Das ergibt:a = 33c = 2 33g = 33h = 2 33i = 2 33Mit Ausnahme von b stehen alle Zahlen (inklusive i) in einem rationalen Verhältniszueinander.1 1332 33Gleichseitiges DreieckStatt zwei diametrale Ecken aufeinander zu falten, können wir auch längs der Diagonalenfalten. Dann können wir zum gleichseitigen Dreieck ergänzen. Das Teilverhältnisam rechten Rand entspricht dem Teilverhältnis der Schwerlinien.