Netzentwurf und Netzoptimierung - Institut für Verkehrswirtschaft ...

Netzentwurf und Netzoptimierung
Inhaltsverzeichnis
Hans-Martin Heck - Rupert Bobinger
30. Juni 2006
1 Einführung 3
1.1 Aufgaben von Verkehrsnetzen 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Aufgaben von Verkehrsnetzen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Zielkonflikte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Optimierungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Optimierungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Fragen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Aufgaben der Verkehrsnetzplanung 16
2.1 Planungsebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Richtlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Netzstruktur 24
3.1 Ideelle Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Algorithmische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Voronoi und Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.1 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.2 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Spannende Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Kruskal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.6 Steinerbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7 Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.8 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1

4 Netzdimensionierung 42
4.1 Methodische Ansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Mathematische Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Zwei -Ebenen-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Diskrete und kontinuierliche Problemformulierung . . . . . . . . 45
4.5 Taktisches und strategisches Problem . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.6 Mathematische Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.7 Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.7.1 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.8 Strategische Netzotimierung-STATOP . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Zusammenfassung und Ausblick 55
5.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2.1 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6 Literatur 61
6.1 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.0.1 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.0.2 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.0.3 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.0.4 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.0.5 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.0.6 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2

Aufgaben
von Verkehrsnetze
1 Einführung
1.1 Aufgaben von Verkehrsnetzen 1
Verkehrsnetze verbinden Räume und erschließen sie. Sie dienen dem Transport
von Personen und Gütern. Verkehrsnetze bilden das Rückgrat eines jeden Verkehrssystems.
Der Entwurf von Verkehrsnetzen ist daher eine der wichtigsten Aufgaben der
Verkehrsplanung.
Wir betrachten hier primärStraßennetze und Netze des öffentlichen Verkehrs.
Hannover : Straßennetz Region Hannover: Liniennetz der Stadtbahn
[Quelle: Hannoversche Verkehrsbetriebe
ÜSTRA]
Die räumlichen Trennung der Einrichtungen, die den unterschiedlichen menschlichen
Aktivitäten, wie
• Wohnen,
• Arbeiten,
• Bilden,
• Versorgen und
• Erholen
zur Verfügung stehen, bedingt Verkehr.
3

Raum und
Verkehr
Aufgabe von
Verkehrsnetzen
Ein Wechsel der Tätigkeit ist oft mit einem Ortswechsel und damit mit einem
Weg verbunden.
Die Raumstruktur bestimmt die Verkehrsnachfrage und damit die
Struktur der Verkehrsnetze.
Wirkungsgefüge: Raum und Verkehr
Zentrale Orte Verkehrsnachfrage - Pendler
[Quelle: Diese Bilder wurden freundlicherweise vom Verband Region Stuttgart
zur Verfügung gestellt.]
Raumstruktur - Verkehrsnachfrage - Struktur der Verkehrsnetze
” Verkehrsnetze bilden das Rückgrat für die Abwicklung des Transportes von
• Gütern und Personen,
• auf einem Verkehrsweg,
• mit einem Verkehrsmittel,
4

• von einem Ausgangsort - der Quelle,
• zu einem Bestimmungsort - dem Ziel.“
5

Anforderungen
an
Verkehrsnetze
Funktionsgerecht
Verkehrsgerecht
Wirtschaftlich
1.2 Aufgaben von Verkehrsnetzen 2
Die Anforderungen der Verkehrsteilnehmer als Nutzer des Straßenraumes beschreiben
zugleich die drei wesentlichen Funktionen, denen das Straßennetz zu
dienen hat:
• Aufenthalt im Straßenraum,
• Erschließung von Flächen und
• Verbindung.
Eine der wesentlichen Aufgaben des planenden Verkehrsingenieurs ist somit
in der funktions-, verkehrs- und umweltgerechten Gestaltung und in der
Wirtschaftlichen Dimensionierung von Verkehrsnetzen zu sehen.
Funktionsgerecht heißt, dass jeder Nutzergruppe ein Mindestanspruch zu sichern
ist, da Ansprüche einer Gruppe gegen die Ansprüche der anderen Gruppen
abzuwägen sind und dass die gegenseitige Beeinträchtigung möglichst gering zu
halten ist.
Verkehrsgerecht heißt, das zu entwerfende Verkehrsnetz hat die vorhandene
Verkehrsnachfrage unter Beachtung eines Mindestangebotes an Verkehrsqualität
aufzunehmen. Dies wiederum bedeutet, dass die Leistungsfähigkeit des
Verkehrsnetzes größer, höchstens gleich der Summe der Verkehrsnachfrage zu
sein hat.
Wirtschaftlich heißt aus der Sicht des Betreibers:
• minimale Bau- und Unterhaltungskosten,
• minimale Verkehrsflächen bei
• maximaler Auslastung
und aus der Sicht der Nutzer:
• minimale Betriebs- und
• minimale Zeitkosten.
6

Umweltgerecht
Randbedingungen
Aus der Sicht der Allgemeinheit sind Forderungen nach einer möglichst geringen
Beeinträchtigung der Umweltqualität durch
• Lärm,
• Abgase,
• Unfälle und
• die Schonung der Ressourcen
– Energie und
– Flächen
zu berücksichtigen.
Daneben sind die vorgegebenen
• topographischen,
• raumordnerischen,
• städtebaulichen und die
• finanziellen Bindungen
zu beachten.
Daraus folgt, dass es hier um ein komplexes multikriterielles Optimierungsproblem
handelt.
7

1.3 Zielkonflikte
Da die Zielkriterien meistens nicht gleichsinnig sind, ergeben sich Zielkonflikte
z.B. zwischen der Netzlänge und der Fahrtweite.
Das nachstehend aufgeführte Beispiel (siehe auch [MINKE/SCHÖF 1969] demonstriert
diesen Zielkonflikt sehr anschaulich.
Erläuterung Das Beispiel zeigt fünf einfache Netze, die vier Knotenpunkte verbinden. Sie
sind aufsteigend nach der Netzlänge sortiert.
In der zweiten Spalte der Tabelle ist die Fahrtweite angegeben, die sich ergibt,
wenn von jedem Knoten zu jedem Knoten jeweils eine Fahrt stattfindet. Man
erkennt deutlich, dass die Fahrtweite mit zunehmender Netzlänge sinkt. Dies ist
auch aus dem oberen Diagramm zu ersehen.
Das untere Diagramm zeigt die Gesamtbewertungen, die sich ergeben, wenn man
die Netzlänge und die Fahrtweite addiert und dabei einmal die Fahrtweiten mit
1 (rot) oder mit 3 (blau) gewichtet.
Netz A ist ein sogenannter Steinerbaum.
Netz B besteht aus Diagonalen, Netz D ist ein Rasternetz und Netz E ist ein
Rasternetz mit Diagonalen.
Diese Basisnetze werden im Abschnitt Netzkonzepte behandelt.
8

OptimierungsproblemVerkehrsnetzplanung
1.4 Optimierungsproblem
Eine wesentliche Aufgabe des planenden Verkehrsingenieurs ist in der Verkehrsgerecht
en Gestaltung und in der Wirtschaftlichen Dimensionierung von Verkehrsnetzen
zu sehen.
Das heißt: Das Verkehrsnetz hat die vorhandene Verkehrsnachfrage (Verkehrsbeziehungen)
eines Gebiets unter Beachtung der Verkehrsqualität aufzunehmen.
Ist beispielsweise ein Stadtstraßennetz zu entwerfen, so stehen dem Verkehrsplaner
begrenzte finanzielle Mittel und begrenzte Verkehrsflächen zur Verfügung.
Ferner sind städtebauliche Bedingungen und Forderungen nach Erhaltung oder
Verbesserung der Umweltqualität zu beachten.
Daraus ergibt sich, dass die Aufgabe, ein Verkehrsnetz zu entwerfen, als Optimierungsproblem
folgendermaßen formuliert werden kann:
Aus einem maximal denkbaren, planerisch zu entwerfenden Verkehrsnetz (Maximalnetz)
ist dasjenige Netz auszuwählen, das die nachstehenden Zielvorstellungen,
wie die Minimierung der
• Fläche des Netzes,
• Bau- und Unterhaltungskosten,
• Betriebskosten,
• Reisezeiten und der
• Umweltbeeinträchtigung
am besten erfüllt, wobei die Nebenbedingungen
• Realisierung der Verkehrsbeziehungen,
• Mindestangebot an Verkehrsqualität und
• Kapazitätsgrenzen der Netzelemente
zu beachten sind.
Dabei sind die Größen als Entscheidungsvariablen im Sinne der Optimierungsrechnung
anzusehen, die die Netzelemente bestimmen, wie die
• Knotenpunkte,
• Strecken und ihre
• Kapazitäten.
Die Knotenpunkte und die Strecken legen die Struktur und die Kapazitäten die
Dimesionierung des Netzes fest. Siehe Netzmodell.
9

Jedes Optimierungsproblem wird durch die Angabe einer Zielfunktion und die
Definition eines Satzes von Nebenbedingungen, die den Lösungsraum eingrenzen,
beschrieben. Dazu wird der zu behandelnde Ausschnitt der Realität in
einem Systemmodell abgebildet, das die inneren Wirkungszusammenhänge und
die Wirkungen auf die Umwelt beschreibt. Die Zielfunktion enthält die Entscheidungsvariablen
und die Bewertungsfunktionen. Die Entscheidungsvariablen sind
so einzustellen, dass der Zielfunktionswert als Gesamtwert aller Bewertungsfunktionen
einen Extremwert annimmt.
Folgt man der in der Einleitung dieses Kapitels erhobenen Forderung, so sollte
man die Lösung der Aufgabe, ’Entwurf eines optimalen Straßennetzes’ in einem
geschlossenen Verfahren simultan für alle Arbeitsschritte und unter Berücksichtigung
aller Entscheidungsvariablen erfolgen. Dieser Lösungsweg wird zur Zeit
in der Praxis nicht eingeschlagen.
Formal Das allgemeine Optimierungsproblem Netzentwurf kann wie folgt beschrieben
werden:
n�
fi ·
i=1
unter den Nebenbedingungen:
mit:
n�
gj · ki,j = Min
j=1
0 ≤ fi ≤ ci...ci = Grenzwert
fi : Entscheidungsvariable
ki,j : Bewertungsgröße
gj : Gewichte
Die konkreten Ansätze werden in den Kapiteln
• 3. Netzstruktur und
• 4. Dimensionierung angesprochen.
10

OptimierungsmethodenNetzoptimierung
1.5 Optimierungsmethoden
Als Optimierungsmodelle, die zur Lösung der Netzoptimierung oder einzelner
Teilaufgaben bereits eingesetzt werden oder bei einer Anwendung zu empfehlen
ist, sind zu nennen:
• Lineare und nichtlineare Optimierung, wie z.B.
– Simplex-Verfahren
– Verfahren der konvexen Kombination nach Frank-Wolfe
• Ganzzahlige Optimierungsmodelle
• Optimierungsmodelle mit mehreren Zielen
• Methoden aus der Graphentheorie
– Maximalfluss-Probleme
– Minimalkosten-Flussalgorithmen
– Kürzeste-Wege-Algorithmen sowie
– Minimalgerüst-Algorithmen
∗ Spannende Bäume - Algorithmus von Kruskal und
∗ Steinerbäume
• Modelle der dynamischen Optimierung
• Methoden der algorithmischen Geometrie
– Voronoi-Diagramme und
– Delaunay-Triangulation
Bei der Lösung von Optimierungsproblemen ist die Gruppe der Heuristiken
besonders hervorzuheben. Dazu zählen in diesem Zusammenhang insbesondere:
• Genetische Algorithmen
• Simulated Annealing und
• spezielle Heuristiken, wie z.B. die Reduktionsverfahren, die auf die
Netzoptimierung bezogen entwickelt wurden.
Auf die markierten Algorithmen wird in diesem Fallbeispiel näher eigegangen.
Da alle Verfahren im Kern Routensuch- und Umlegungsverfahren einbeziehen,
sind die Lösungsverfahren für diesen Problemkreis ebenfalls enthalten.
11

1.6 Modellierung
Netzmodell Allgemeine Netzmodelle werden im Fallbeispiel Wege in Verkehrsnetzen erläutert.
Zur Bearbeitung des Problems der Netzoptimierung werden differenzierte Netzmodelle
benötigt.
Jedes Verkehrsnetz lässt sich als Graph (V, E, c, a) modellieren.
Dabei ist
• V die Menge der Knoten,
• E die Menge der Kanten,
• c ist eine Kapazitätsfunktion und
• a ist eine Bewertungsfunktion
die auf die Kanten definiert ist.
Weitere Hinweise zur Modellierung des Optimierungsproblems und von Verkehrsnetzen
finden sich in [HECK 1986] - ” Anwendung von Optimierungsverfahren
beim Entwurf und bei der Gestaltung von städtischen Straßennetzen
unter Berücksichtigung des Betriebes“
Bei der Netzoptimierung ist die Festlegung des Typs der Funktionen, die die
Abhängigkeiten der Einflussgrößen untereinander beschreiben, von besonderer
Bedeutung.
Der Funktionstyp bestimmt den Problemtyp und die Komplexität des Problems,
das zu lösen ist,. und damit auch die Komplexität des Lösungsverfahrens(siehe
auch Eigenschaften des Optimierungsproblems ).
Dies bezieht sich z. B. auf die Modellierung der Zusammenhänge zwischen:
• Reisezeit und Geschwindigkeit sowie Verkehrsstärke oder
12

• Geschwindigkeit und Emissionen.
Die Modellierung der Netzstruktur wird an Hand der untenstehenden Abbildungen
illustriert:
Reales Netz
Netzmodell
13

1.7 Fragen und Aufgaben
Fragen Mehrfachantworten sind möglich!
Frage 1
Frage 2
Frage 3
Wer bildet die Verbindung zwischen Raumstruktur und Verkehrsnetz?
false Siedlungsstruktur
false Wirtschaftsstruktur
true Verkehrsnachfrage
false Verkehrsbelastung
Welches sind die wesentlichen Funktionen des Strassennetzes? true
Verbindung von Räumen
true Erschließung von Flächen
true Aufenthalt im Straßenraum,
Formulierung des Optimierungsproblems - Entscheidungsvariable
Welche Grössen sind Entscheidungsvariable? true Knotenpunkte
false Fläche des Netzes
false Bau- und Unterhaltungskosten
false Betriebskosten
true Kapazität
false Reisezeiten
true Strecken
Formulierung des Optimierungsproblems - Zielgrössen Welche Grössen sind Zielkriterien?
false Verkehrsbeziehungen
true Fläche des Netzes
true Bau- und Unterhaltungskosten
true Reisezeiten
false Kapazitätsgrenzen der Netzelemente
true Betriebskosten
true Umweltbeeinträchtigung
Aufgabe 1 Welches Netz ist das kürzeste?
14

Ordnen Sie
den Netzen
ihre Längen
zu!
Aufgabe 2 Weiches Netz hat die geringste Fahrtweite?
Ordnen Sie
den Netzen
ihre
Fahrtweiten
zu!
15

Beschreibung
der
Aufgaben
2 Aufgaben der Verkehrsnetzplanung
2.1 Planungsebenen
Die Aufgaben, die im Rahmen der Verkehrsnetzplanung von Bedeutung sind,
wurden bereits im Teil Anwendungsbereiche im Verkehr wie folgt charakterisiert:
• Netzgestaltung
• Netzkategorisierung
• Linienbestimmung
• Systemauswahl im Öffentlichen Verkehr (Verkehrsmittel und Betriebsform)
• Funktionsgerechte Gestaltung des Straßennetzes
(Verbindung, Erschließung. Aufenthalt)
Diese Aufgaben können differenziert den folgenden Plaungsebenen zugeordenet
werden:
Zwischen den einzelnen Planungsebenen bestehen Rückkopplungen, die beachtet
werden müssen. So bestimmt die Dimensionierung die Struktur der Netze und
die Betriebskonzepte bestimmen die Kapazitäten sowie die Bewertunsgrößen wie
die Reisezeit und die Investitionskosten.
16

Da diese Abhängigkeiten nicht in einem geschlossenen Verfahren bearbeitet werden
können, werden sie iterativ behandelt.
Hinweise zur Bearbeitung geben die o. g. Richtlinien im Folgenden.
17

RIN Rahmenrichtlinie
für
die integrierte
Netzgestaltung
Leitfaden
für
Verkehrsplanung
2.2 Richtlinien
Die RIN (siehe RAHMENRICHTLINIE FÜR DIE INTEGRIERTE NETZGE-
STALTUNG [FGSV 3]ist die Neufassung der RAS-N, Teil ” Leitfaden für die
funktionale Gliederung des Straßennetzes“ [FGSV 1].
In der Einführung wird die Zielrichtung der RIN wie folgt beschrieben:
” Die Rahmenrichtlinie für die integrierte Netzgestaltung (RIN) behandelt die
Planung des Verkehrsangebots, d. h. die Gestaltung von Verkehrsnetzen und
die Beurteilung ihrer Wirkungen, einschließlich der Liniennetze des Öffentlichen
Verkehrs. Schwerpunkt ist dabei die Bewertung des Verkehrsangebots aus der
Nutzersicht. Die RIN beschreibt hierfür
• eine Methode zur funktionalen Gliederung von Verkehrsnetzen,
• eine Methode zur Ermittlung und Bewertung der verbindungsbezogenen
Angebotsqualität,
• Qualitätsvorgaben und Hinweise zur Gestaltung von Netzelementen und
Verknüpfungspunkten.“
Die RIN baut dabei auf dem LEITFADEN FÜR VERKEHRSPLANUNG [FGSV 2]
auf.
Hinweise zum LEITFADEN FÜR VERKEHRSPLANUNG Sie hier. Leitfaden
Hinweise zum Zweck und zur Vorgehensweise der RIN werden hier zitiert.
2.2.1 Nebenpfad:
Die wesentlichen Aufgaben der Verkehrsplanung sind die Vorbereitung und die
Begleitung der bedarfsgerechten, Wirtschaftlichen und umweltschonenden Weiterentwicklung
der Verkehrssysteme und die optimale Organisation ihres Betriebes.
Die Verkehrsplanung hat zur Lösung dieser vielfältigen, komplexen aber bereits
weitgehend standardisierten Aufgaben ein umfangreiches Instrumentarium an
Arbeitsabläufen, Methoden und Modellen entwickelt.
Der Planungsprozess wird heute als interaktiver Prozess zwischen den politischen
Entscheidungsträgern, den Fachbehörden und den Interessengruppen Betroffener
verstanden. Das oben skizzierte Handlungsspektrum verbunden mit
18

RIN-
Vorgehensweise
der Notwendigkeit einer ganzheitlichen Bewertung und dem Ziel, eine nachhaltige
Entwicklung zu gewährleisten, macht deutlich, wie sich die Akzente im
Aufgabenspektrum des Verkehrsplaners verändert haben.
Zu den Arbeitsphasen:
• Beschreibung, Analyse und Beurteilung vonZuständen
• Entwurf und Prüfung von Zielvorstellungen und Zielkonzepten
• Entwurf und Konzeption von Handlungsmöglichkeiten
• Handlungsstrategien und Maßnahmenkonzepten
• Wirkungsabschätzung und Wirkungsprognose der Handlungsmöglichkeiten
• Beurteilung und Abwägung von Handlungsmöglichkeiten,
• Vorbereitung von Entscheidungen über Handlungsmöglichkeiten
treten neu die Phasen:
• der Vororientierung, in die Mängelhinweise und Konzeptvorschläge
am Anfang des Prozesses eingehen und
• der Begleitung der Umsetzung und der Erfolgs- bzw. Wirkungskontrolle
am Ende des Prozesses.
Dabei ist die Phase der Vororientierung mit der Erarbeitung von Konzeptvorschlägen
hier von besonderer Bedeutung.
2.2.2 Nebenpfad:
Die RIN stellt eine Vorgehensweise
• zur Gliederung der Verkehrswegenetze nach funktionalen Kriterien,
• zur Verknüpfung von Verkehrssystemen und
• zur Festlegung von Qualitäten zur Verfügung.
dar.
Die funktionale Gliederung ist zugleich Grundlage für eine Analyse des Verkehrsangebotes
im Hinblick auf Soll-Qualitäten.
Die RIN liefert hierfür Orientierungswerte, die sowohl für die Bewertung des vorhandenen
Verkehrsangebotes als auch zukünftiger Verkehrsangebote anwendbar
sind.
Um eine integrierte, d. h. modusübergreifende Netzgestaltung zu ermöglichen,
wird die Zielerreichung für jeden Modus (Pkw, ÖV etc.) getrennt abgeprüft.
19

Zweck der
RIN
Innerhalb des Planungsprozesses ist die RIN im Bereich der Problemanalyse
• Analyse des Zustandes und
• Feststellung von Mängeln
und im Bereich der konzeptionellen Planung angesiedelt.
Sie dient dem Verkehrsplaner
• bei der Verkehrsentwicklungsplanung auf allen räumlichen Ebenen,
• bei der Aufstellung von Einzelverkehrsplänen, insbesondereNahverkehrsplänen,
• bei der Aufstellung von regionalen Raumordnungsprogrammen,
• bei der Prioritätenreihung von Maßnahmen und
• bei der Bestimmung der Zuständigkeit (Baulastträgerschaft) für einzelne
Strecken ggf. im Rahmen der Neuordnung oder Regionalisierung des
Verkehrsnetzes).
20

Vorgehensweise
2.3 Vorgehen
Zur Lösung derartiger komplexer Aufgaben, wie des Entwurfes von Verkehrsnetzen,
wird im allgemeinen das Prinzip der Zerlegung in Teilschritte
und Teilprobleme angewandt. So kann das Problem des Netzentwurfes in folgende
Arbeitsschritte aufgeteilt werden:
• Entwicklung von Wegenetzen im Rahmen von Planfällen
• Berechnung der Bewertungsgrößen (Nachfrage, Umlegung) und
• Entwurf der Betriebskonzepte, organisatorischer, ordnungspolitischer sowie
informationstechnischer Maßnahmen.
Insbesondere für die ersten beiden Arbeitsschritte werden Lösungsvorschläge im
Rahmen dieser Untersuchung vorgestellt und sind wie folgt eingeteilt:
• Entwicklung von Netzkonzepten
• Entwurf der Netzstruktur und Netzdimensionierung.
Das methodische Vorgehen zeigt die folgende Abbildung:
21

Probleme
des Netzentwurfes
2.4 Probleme
Eine wesentliche Aufgabe ist, wie der Leitfaden zeigt, die Entwicklung von
Planfällen aus Listen von potentiellen Maßnahmen.
Schon bei einer geringen Anzahl von Einzelmaßmahmen ist die Zahl der möglichern
Planfälle, die daraus gebildet werden kann, sehr hoch, wie die Abbildung
zeigt.
[Quelle: Diese Bilder wurden freundlicherweise vom Verband Region Stuttgart
zur Verfügung gestellt.]
Der Einsatz von Optimierungsverfahren zur Generierung von Planfällen
und zur Unterstützung des planenden Ingenieurs beim Entwurf der Netze ist
hier sehr sinnvoll und hilfreich. Die so erzeugten Planfälle werden dann in den
Bewertungs- und Entscheidungsprozess Leitfadenmit einbezogen.
Ein weiteres Problem des Netzentwurfes wird deutlich, wenn man die starken
Schwankungen der Verkehrsbelastung betrachtet, denen ein Raum im Laufes
des Tages ausgesetzt ist und denen man Rechnung zu tragen hat.
Das folgende Video vermittelt dazu einen anschaulichen Eindruck:
Down Video Hannover Umland
Hier ist die Verkehrsarbeit in Fahrten*Fahrtlänge über einem Raster dargestellt.
Sie steht zugleich näherungsweise für die Belastung durch Lärm und
Schadstoffe. Diese Animation wurde von Mark Hampe [HAMPE 1999] im Rahmen
seiner Diplomarbeit erstellt.
Dass dies nur bedingt zutrifft zeigt das nächste Bild, das die C02-Belastung für
den oben gezeigten Raum der Verkehrsarbeit gegenüberstellt.
22

3 Netzstruktur
3.1 Ideelle Netze
Netzkonzepte Bereits auf der Ebene der Raumplanung (siehe Beschreibung der Aufgaben -
Kapitel 2) sind Netzkonzepte zu entwickeln. Das ergibt sich aus dem Leitfaden
für Verkehrsplanung (siehe Leitfaden) im Rahmen der Voruntersuchungen in
Übereinstimmung mit der RIN bei der Aufgabe Verkehrsnetze funktional zu
gliedern (siehe RIN).
Auf dieser Ebene ist das Arbeiten mit ideellen Netzstrukturen sinnvoll, da die
Aussagekraft von Darstellungen von Nachfragematrizen oder auch von Verbindungsfunktionsstufen
(siehe rechtes Bild) schnell an Grenzen stößt - siehe Abbildung:
Tangentialverbindungen als Spinne.
Hier sind einfach zu handhabende Methoden gefragt.
Modellierung
des Raumes
Verbindungsfunktionsstufen
Optimale Netzentwürfe, das heißt:
Minimalstrukturenfür ideelle Netze können in folgenden Arbeitsschritten erzeugt
werden:
24

• Modellierung des Raumes auf der Basis von Verkehrsbezirken (Gebietsabgrenzung),
• Generieren eines Netzmodells im Sinne eines Maximalnetzes und
• Erzeugung einer Minimalstruktur als optimaler Netzentwurf.
Zur Lösung dieser Aufgaben bieten sich die Methoden und Werkzeuge der algorithmischen
Geometrie an.
Beispiel - Raum-und Netzmodellierung in der Region Hannover (manuell
erstellt)
Region Hannover [Quelle: Region
Hannover]
Siedlungsflächen mit Gemeindegrenzen
Gebietseinteilung - Verkehrsbezirke Netzmodell - Spiderwebnetz
Die obigen Beispiele mussten manuell erzeugt werden. Das heißt:
die Daten zur Beschreibung der Gebietsgrenzen und der Netzstrukturen mussten
ermittelt und verschlüsselt werden.
25

Die folgenden Methoden der Algorithmische Geometrie können bereits hier eingesetzt
werden, um diese Vorgänge ohne Informationsverlust zu automatisieren:
• Voronoi-Diagramme zur Modellierung des Raumes,
• sogenannte Delaunay-Triangulationen zur Gewinnung von Netzmodellen
und
• zur Erzeugung von Minimalstrukturen Spannende Bäume .
Die Definition und die Arbeitsweise dieser Elemente der Algorithmischen Geometrie
werden im Folgenden vorgestellt.
26

Algorithmische
Geometrie
3.2 Algorithmische Geometrie
Als Algorithmische Geometrie wird ein Teilgebiet der Informatik bezeichnet, das
sich mit der Speicherung und Verarbeitung geometrischer Daten beschäftigt.
Im Gegensatz zur Bildverarbeitung, deren Grundelemente Bildpunkte (Pixel)
sind, arbeitet die algorithmische Geometrie mit geometrischen Strukturelementen
wie Punkten, Linien, Kreisen, Polygonen und Körpern.
Die Methoden der algorithmischen Geometrie werden insbesondere im Computer
Aided Design (CAD), in der Computergrafik und bei Geoinformationssystemen
eingesetzt.
Auch bei der Planung von Bewegungsabläufen für robotische Systeme werden
Verfahren der Algorithmischen Geometrie angewendet.
Nähere Informationen finden Sie im Modul Methoden der algorithmischen Geometrie.
Von den angebotenen Methoden interessieren wir uns hier für
• dasVoronoi-Diagramm
• die Delaunay-Triagulation und
• dieSpannenden Bäume.
Das -Voronoi-Diagramm spielt eine herausragende Rolle bei der Lösung geometrischer
Distanzprobleme. Insbesondere bei vielen NP-schweren Problemen
führt die Verwendung von Voronoi-Diagrammen zu einer Lauzeitverbesserung
der Lösungsalgorithmen.
Eine sehr gute Einführung in die Algorithmische Geometrie finden Sie bei [KLEIN 1997]
.
27

Voronoi-
Diagramm
Beispiele
3.3 Voronoi und Delaunay
Den einfachsten, trivialen Fall eines Voronoi-Diagramms zeigt das linke Bild.
Die Mittelsenkrechte teilt in diesem ” Voronoi-Diagramm“ die Ebene für die
beiden gegebenen Punkte in zwei Voronoi-Regionen.
Voronoi- Diagramm 1
2 Bezirke
Voronoi- Diagramm 2
8 Bezirke
Voronoi- Diagramm 3
10 Bezirke
Eine Beschreibung der Methodik aus dem Modul Methoden der algorithmischen
28

Delaunay-
Triangulation
und Voronoi-
Diagramm
Geometrie finden Sie hier: Voronoi-Diagramme.
Zu den Werkzeugen der Algorithmischen Geometrie wurden im Institut für
Praktische Informatik VI - Kooperative Systeme der FernUniversität in
Hagen sehr anschauliche Applets entwickelt und dankenswerterweise von Herrn
Dr. Christian Icking hier zur Verfügung gestellt. zu den Applets...
Eine Delaunay-Triangulation kann aus dem Voronoi-Diagramm gewonnen werden,
indem alle Objekte p aus S, deren Voronoi-Regionen an eine gemeinsame
Voronoi-Kante angrenzen, miteinander durch Liniensegmente verbunden werden.
Ein Voronoi-Diagramm kann aus einer Delaunay-Triangulation erzeugt werden,
da die Kreismittelpunkte der Umkreise der Delaunay-Dreiecke die Voronoi-
Knoten bilden.
Die Delaunay-Triangulation ist das zum Voronoi-Diagramm duale Problem.
Eine Beschreibung der Methodik aus dem ModulMethoden der algorithmischen
Geometrie finden Sie hier: Delaunay-Triangulation.
Ein Beispiel für eine schematische Anwendung in der Region Hannover zeigt die
folgende Abbildung:
29

Voronoi-
Diagramme
Methodenbeschreibung
des
Voronoi-
Diagramms
Region Hannover Gemeindegrenzen
Voronoi-Diagramm(blau) - Delaunay-Triagulation
Bei einer praktischen Anwendung sollte die Dichte der Bezirke möglichst hoch
sein(Netzmodelle).
Zum Ausprobieren: Voronoi-Diagramme, Delaunay-Triangulation und
mehr
3.3.1 Nebenpfad:
Anhand der Abbildung wird die Struktur eines Voronoi-Diagramms V(S) erläutert.
Dieses besteht aus offenen, konvexen aber nicht notwendigerweise beschränkten
Voronoi-Regionen VR(p,S). Voronoi-Regionen werden gegeneinander durch
Voronoi-Kanten abgegrenzt. Schnittpunkte von Voronoi-Kanten werden Voronoi-
Knoten genannt.
Voronoi-Regionen werden folgendermaßen definiert: Die Voronoi-Region VR(p,S)
des Objektes p aus der Objektmenge S besteht aus allen Objekten, denen p
näher ist als irgendein anderes Objekt aus S. Objekte, die zu mehreren Voronoi-
Regionen gehören, liegen auf Voronoi-Kanten oder in Voronoi-Knoten.
30

Sweep-
Verfahren
Delaunay-
Triangulation
Abbildung a) und b) zeigen ein Voronoi-Diagramm von 10 Punkten. Es zerlegt
die Ebene in 10 konvexe Voronoi-Regionen.
Zur Konstruktion des Voronoi-Diagramms wird das Sweep-Verfahren eingesetzt.
Das Sweep-Verfahren ist eine der vielseitigsten Techniken in der algorithmischen
Geometrie, mit der viele Probleme gelöst werden können. Gelegentlich wird es
auch als Scan-Verfahren bezeichnet. Das Verfahren wandelt ein statisches, ddimensional
räumliches in ein dynamisches, (d-1)-dimensional zeitliches Problem
um. Siehe ModulMethoden der algorithmischen Geometrie.
3.3.2 Nebenpfad:
Als eine Triangulation von Punkten in der Ebene wird eine maximale Menge
sich nicht kreuzender Liniensegmente bezeichnet, welche die Punkte verbindet.
Für eine Punktmenge kann es unterschiedliche Triangulationen geben, darunter
auch solche, in denen sehr spitze Winkel auftreten. Oft ist dies jedoch nicht
erwünscht. Bei der Delaunay-Triangulation ist der kleinste Winkel zwischen den
Liniensegmenten so groß wie möglich.
Die Delaunay-Triangulation erzeugt wohlgeformte Dreiecke, welche die Objekte
in einer Ebene flächendeckend und einheitlich vermaschen. Aus diesen Gründen
ist die Delaunay-Triangulation in der Praxis sehr beliebt.
31

Spannende
Bäume
3.4 Spannende Bäume
Spannende Bäume oder auch Spannbäume genannt verbinden alle Knoten eines
Graphen. Sie wählen dabei Kanten aus dem gegeben Graphen so aus, dass die
Gesamtlänge des Netzes minimal wird.
Bei einem Graphen mit n Knoten sind dazu (n-1) Kanten erforderlich und hinreichend.
Beispiel
Ausgangsnetz
32

Definition
Spannende
Bäume
Ergebnis
Gegeben sei ein zusammenhängender gewichteter Graph G = (V,E,c), mit c ¿
0, wobei c die Länge der Kanten sein kann.
Gesucht ist ein zusammenhängender Untergraph G’ = (V,E’), der alle Knoten
von G enthält und dessen Gesamtlänge möglichst klein ist.
Ergebnis ist ein Minimalgerüst in einem bewerteten Graphen
Die bekanntesten Algorithmen sind die von Prim und Kruskal entwickelten.
Wir werden hier auf den Algorithmus von Kruskal näher eingehen.
33

Algorithmus
von Kruskal
Kruskal
3.5 Kruskal
Der Algorithmus von Kruskal ist von sehr einfacher Struktur und analog zum
Kürzeste-Wege-Algorithmus von Dijkstra (siehe Fallbeispiel Wege in Verkehrsnetzen,
Bestwegverfahren.) Der Algorithmus ist wie folgt aufgebaut:
Da der Algorithmus insgesamt n Iterationen benötigt, beträgt die gesamte Komplexität
O(n*log(n)) .
Am besten erläutert man den Ablauf des Algorithmus an dem oben gezeigten
Beispiel:
Hier können Sie weitere Beispiele auswählen, die in den Applets automatisch
ablaufen.
34

Diese sehr anschaulichen Beispiele wurden von Dr. Ren Brandenberg im Institut
für Kombinatorische Geometrie (M9), Zentrum Mathematik, Prof. Dr.
Peter Gritzmann, Technische Universität München entwickelt und dankenswerterweise
zur Verfügung gestellt.
Nähere Information und weitere Applets finden Sie hier auf der Seite des Instituts.
35

Steinerbäume
3.6 Steinerbäume
Gibt es noch Verbesserungen für Spannende Bäume? Ja, Steiner Bäume !
Erste einfache Grundprobleme, die auch mit der Planung von Verkehrswegenetzen
in engem Zusammenhang stehen, wurden von Steiner formuliert [STEINER 1835]
(STEINER, 1835).
Steiner suchte die Lage eines Standortes so zu bestimmen, dass die Summe der
Abstände von vorgegebenen Punkten ein Minimum annimmt, und gibt Lösungen
für drei Punkte an.
Beispiele: gegeben n = 3, 4, 9 und 25 nach[MINKE/SCHÖF 1969]
• Knotenpunkte und jeweils ¡=(n-2) Zwischenpunkte.
Spannende Bäume sind eine obere Schranke für Steiner Bäume.
Definition Gegeben sind n Punkte, die miteinander zu verbinden sind, wobei die Lage von
m Zwischenpunkten mit ihren Verbindungen untereinander so zu stimmen sind,
dass die Gesamtkosten ein Minimum annehmen.
36

Seifenfilmanalogie nach [MINKE/SCHÖF 1969]
Das Steinerbaum-Problem ist eines der z. Z. am meisten diskutierten Probleme
bei Minimalgerüsten. Ziel ist es, einen minimal bewerteten Baum zu finden, der
eine Teilmenge aus den Knoten eines Graphen enthält und eventuell weitere als
Hilfsknoten.
Das Steinerbaum-Problem ist NP-schwer. Für kleiner Probleme wurden
exakte Verfahren entwickelt, für größere Probleme werden Heuristiken eingesetzt.
Steinerbaum Steinerbäume spielerisch ausprobieren ! ! !
Steiner zum
Probieren
Dieses Applet wurde Herrn Dipl.-Inf. Michael Behrisch, Institut für Informatik,
Humboldt-Universität, Berlin entwickelt.
Nähere Information und weitere Applets finden Sie hier auf der Seite des Instituts¡font
color=¿¡/font¿
37

Steinerbäume ähneln gewachsenen Strukturen und sind daher besonders für
Fuß-und Radwegenetze geeignet.
Da mit Steinernetzen hierarchische Strukturen erzeugt werden können, eignen
sie sich auch für ideelle Netze zur Darstellung unterschiedlicher Verbindungsfunktionsstufen
und zur Überlagerung von Teilverkehrssystemen sehr gut.
Infoseite Dieses Applet wurde von
Herrn Dipl.-Inf. Michael Behrisch
Institut für Informatik
Humboldt-Universität zu Berlin
Math.-Nat. Fakultät II
entwickelt und freundlicherweise zur Verfügung gestellt.
Herzlichen Dank!
Es unterliegt der GNU GENERAL PUBLIC LICENSE.
38

3.7 Reduktion
Konzept Reduktionsverfahren werden neben
• Progressiv- und
• Alternativerfahren
schon in der RAS-N (siehe Bild unten) vorgeschlagen.
Die Basisidee der Reduktionsverfahren ist ein’Maximalnetz’ zu entwickeln, in
das alle zur Diskussion stehenden Konzepte und Einzelmaßnahmen einfließen.
Ziel ist es dann, mit Hilfe von Optimierungsmethoden aus diesem Maximalnetz
Planfälle zu generieren, die dann einer Bewertung zugeführt werden.
Seit Mitte der 70iger Jahre wurden hierzu auch in Deutschland Konzepte entwickelt
(siehe dazu Franz [FRANZ 1975], Heck [HECK 1976] Hüttmann [HÜTTMANN 1979],
Bobinger [BOBINGER 2005]). Wir stellen hier zunächst ein von Heck vorgeschlagenes
Konzept vor und zeigen Ergebnisse von Anwendungen in der Region
Hannover. Im nächsten Kapitel wird dann der Ansatz von Bobinger behandelt.
Vorgehen Das Konstruktionsprinzip der Reduktion ist die Bündelung. Der Konzentrationseffekt
wird durch einen zweistufigen Iterationsprozess erreicht.
Auf der unteren Stufe arbeitet ein Umlegungsprozess z. B. ein Gleichgewichtsmodell
nach dem Verfahren der konvexen Kombination nach Kriterien, die sowohl
Zeit- als auch Investitionskosten beinhalten. Daneben hat vor allem die Auslastung
der Strecken eine besondere Bedeutung. Bei gleicher Grundbewertung
werden gut ausgelastete Kanten bevorzugt. Dies führt zu dem Konzentrationseffekt.
Auf der oberen Ebene wird die Bewertung der Kanten so lange aufgrund der
Umlegungen verändert bis der Prozess konvergiert.
39

Reduktionsverfahren
Beispiel
Berechnung
eines
Rasternetzes
Am besten erläutert man die Arbeitsweise des Algorithmus an einem einfachen
Beispiel wie dem Folgenden:
40

Region
Hannover
Region
Hannover
ÖPNV
3.8 Anwendungen
Wir stellen hier zwei Beispiele für die Anwendung von Reduktionsverfahren vor,
die im Rahmen der Verkehrsstudie Tandentialverbindungen im Raum Hannover
[Heck 1993] entstanden sind.
Die Diashow1 zeigt ein Beispiel für die Berechnung ideeller Netze mir einer
Gesamtmatrix des ÖPNV:
Diashow1
Die Diashow1 zeigt ein Beispiel für die Berechnung ideeller Netze für eine Matrix
von Tangentiallinien im ÖPNV:
Diashow 2
41

4 Netzdimensionierung
4.1 Methodische Ansätze
Abgrenzung Methoden der Netzoptimierung lassen sich grob in Planungsorientierte und
Mathematische orientierte Verfahren einteilen. Diese Unterscheidung bezieht
sich vor allem auf anwendungsbezogene, weniger auf formale Aspekte.
Planungsorientierte
Ansätze der
Netzwerkoptimierung
Mathematisch
orientierte
Ansätze der
Netzoptimierung
Bei Planungsorientierten Verfahren der Netzoptimierung steht in der Regel die
Entscheidungsunterstützung für den Planer bei praktischen Problemen im Vordergrund.
Dabei werden oftmals bestimmte Teilaufgaben isoliert, die sich z.
B. aufgrund ihrer Rechenintensität einer ingenieurmäßigen Vorgehensweise verschließen.
Für diese Teilaufgaben werden mit spezifisch angepassten Methoden
Zwischenlösungen ermittelt, die im Zuge der Planung oft weiter modifiziert
bzw. verfeinert werden. Modell und Methoden haben bei Planungsorientierten
Ansätzen also nicht unbedingt den Anspruch, das Gesamtproblem der Netzoptimierung
vollständig abzubilden und zu lösen, sondern stellen eher eine Unterstützung
für Teilschritte dar.
Im Gegensatz dazu steht bei Mathematisch orientierten Ansätzen immer die
explizite Mathematische Formulierung des gesamten Optimierungsproblems im
Mittelpunkt der Betrachtung. Das Mathematische Modell - und weniger das
praktische Planungsproblem - ist damit zentraler Untersuchungsgegenstand.
Das Augenmerk richtet sich in erster Linie auf die Entwicklung von effizienten
Verfahren zur Lösung des Mathematischen Problems. Dabei kommen bei
der Verfahrensentwicklung und der Analyse dieser Methoden in erster Linie
Mathematische Konzepte zum Einsatz.
42

Ausprägungen
der Mathematischen
Modellierung
Bedeutung des
Problems
Grundvorstellung
der
Mathematischen
Modellbildung
4.2 Mathematische Modellierung
Zentrales Element der Mathematisch orientierten Netzoptimierung ist die Formulierung
der Aufgabe als Mathematisches Modell. Dieses Problem lässt sich
einerseits sehr allgemein formulieren und damit in einem sehr weiten Sinne beschreiben.
Es umfasst dann eine Vielzahl von unterschiedlichen Ausprägungen,
die vom Problem des kürzesten Weges bis zu Standortproblemen reichen können.
Im engeren Sinne versteht man unter dem Mathematischen Problem der Netzoptimierung
das sogenannte Netzwerk Design Problem (NDP: Network Design
Problem), bei dem ein Netzwerk unter Berücksichtigung von Infrastrukturkosten
und Nutzerkosten optimiert wird. Es sollen dabei Struktur und / oder Kapazitäten
der Kanten des Netzes so angepasst werden, dass die Gesamtkosten für
Betreiber und Nutzer minimiert werden.
Das Netzwerk Design Problem ist u. a. aus folgenden Gründen von hoher Bedeutung:
• Sehr viele Planungsaufgaben im Verkehrswesen, insbesondere die klassische
Aufgabe der Netzgestaltung, beinhalten im Kern ein Netzwerk Design
Problem.
• Das Problem ist auf eine große Bandbreite von praktischen Aufgaben
übertragbar, die von der Lichtsignalsteuerung über die Zuflussdosierung
bis zur Optimierung von Straßengebühren reichen.
Der potenzielle Nutzen von Optimierungsverfahren in diesem Bereich ist deshalb
sehr hoch.
Die Optimierungsmodelle des Netzwerk Design Problems basieren grundsätzlich
auf einer Abbildung des Netzes in Form eines Mathematischen Graphen
mit Knoten und gerichteten Kanten. Die Optimierungsaufgabe geht dabei von
folgenden Grundvorstellungen aus:
1. Die Erhöhung der Kapazität einer Kante ist mit Kosten für Bau und ggf.
Betrieb verbunden, die der Netzbetreiber zu tragen hat.
2. Die nutzerspezifischen Kosten, insbesondere die Reisezeit auf einer Kante,
sind von der Kapazität und der Belastung dieser Kante abhängig.
43

Zwei Ebenen
der
Optimierung
Zielfunktion
und Nebenbedingungen
des
Bi-Level
Problems
4.3 Zwei -Ebenen-Problem
Das Netzwerk Design Problem kann als ein hierarchisches Optimierungsproblem
mit zwei Ebenen aufgefasst werden:
1. Auf der oberen Ebene strebt der Netzbetreiber danach, die gesamten Systemkosten
zu minimieren und versucht entsprechend die Struktur und die
Kapazitäten der Kanten zu optimieren.
2. Auf der unteren Ebene minimieren die Nutzer des Netzes im Rahmen der
Routenwahl ihre individuellen Kosten. In aller Regel wird im Rahmen des
Netzwerk Design Problems davon ausgegangen, dass sich das Routenwahlverhalten
entsprechend dem 1. Wardrop’schen Prinzip ergibt, die Nutzer
also jeweils die für sie beste, d. h. kostenminimale Route wählen.
In Mathematischer Perspektive entspricht diese Aufgabe dem so genannten Bi-
Level Problem, das eine eigenständige Kategorie von Optimierungsproblemen
darstellt. Für diese sind eine Reihe verschiedener Lösungsverfahren entwickelt
worden, die in Teilen auch für das Netzwerk Design Problem adaptiert wurden.
Das Netzwerk Design Problem kann also auch als ein Bi-Level Problem formuliert
werden, bei der die Optimierungsfunktion des Betreibers die übergeordnete
Zielfunktion darstellt und die Zielfunktion der Nutzer die Nebenbedingung für
dieses übergeordnete Problem.
44

Diskrete und
kontinuierliche
Problemformulierung
Formale und
inhaltliche
Unterschiede
Fließender
Übergang
zwischen
diskretem und
kontinuierlichem
Problem
4.4 Diskrete und kontinuierliche Problemformulierung
In der Literatur wird grundsätzlich zwischen der kontinuierlichen und der diskreten
Formulierung des Netzwerk Design Problems differenziert. Formales Unterscheidungskriterium
ist dabei, ob die Entscheidungs- bzw. Instrumentenvariablen,
also die Kantenkapazitäten kontinuierlich bzw. nur in diskreten Schritten
veränderbar sind. [BELL/IIDA 1997]
Die Unterscheidung zwischen diskretem und kontinuierlichem Problem hat sowohl
formale als auch inhaltliche Aspekte:
• In formaler Hinsicht entstehen durch die diskrete bzw. kontinuierliche Modellierung
zunächst recht unterschiedliche Mathematische Aufgabenstellungen,
die zu verschiedenen Methoden und Lösungsverfahren führen.
• In inhaltlicher Hinsicht wird mit der kontinuierlichen bzw. diskreten Modellierung
meist auch eine unterschiedliche Problemlage assoziiert:
– Das diskrete Problem bezieht sich auf die strukturelle Veränderung
des Netzes, d. h. auf das Herausnehmen bzw. Hinzufügen einzelner
Kanten im Netz.
– Das kontinuierliche Problem bezieht sich auf die Variation der Kapazitäten
des Netzes und damit eher auf eine Dimensionierungsaufgabe.
Diese Assoziation von diskretem Problem mit Strukturoptimierung und kontinuierlichem
Problem mit Dimensionierung ist allerdings nicht zwingend. Die
substantielle Ausprägung des Optimierungsproblems im Hinblick auf den Freiheitsgrad
der Netzgestaltung sollte getrennt von der formalen Unterscheidung
in diskrete und kontinuierliche Probleme gesehen werden.
Im Verkehrsbereich existieren oftmals Maßnahmenvariable, die sich nicht kontinuierlich
sondern nur diskret verändern lassen. Ein anschauliches Beispiel dafür
ist die Kapazität einer Straße aufgrund der Anzahl ihrer Fahrspuren. Gleichwohl
erfordern diese sachlichen Bedingungen nicht unbedingt eine diskrete Modellierung,
da weitere Variable, wie z. B. Trassierung, betriebliche Regelungen wie
z. B. Höchstgeschwindigkeit oder Knotenpunktausbau zusätzliche und teilweise
stetig veränderliche Gestaltungselemente darstellen. Oftmals kann deshalb
insgesamt eine annähernd kontinuierliche Veränderung der Kapazitätsvariable
unterstellt werden.
Auch die rein formale Unterscheidung zwischen diskretem und kontinuierlichem
Problem ist bei näherer Betrachtung fließend:
45

Approximation
des diskreten
Problems
durch das
kontinuierliche
• Eine kontinuierliche Reduktion der Kapazität einer Kante auf einen Nullwert
entspricht einer (diskreten) Herausnahme einer Kante.
• Wird die Kantenkapazität anstelle einer rein kontinuierlichen Modellierung
mit verschiedenen Stufen modelliert, kann durch die Anzahl und
Übergänge der Stufen ein Mischform zwischen diskreter und kontinuierlicher
Modellierung erreicht werden.
Das diskrete Problem ist im allgemeinen schwerer zu lösen als das kontinuierliche.
Auch aus diesem Grunde wurde das diskrete Problem oft durch das
kontinuierliche approximiert.
Insgesamt ist das kontinuierliche Problem bisher intensiver behandelt und analysiert
worden. Die weitere Darstellung beschränkt sich auch deshalb auf die
kontinuierliche Variante des Netzwerk Design Problems.
46

Netzverbesserung
Taktisches
und
strategisches
Problem
4.5 Taktisches und strategisches Problem
Sehr häufig wird das Netzwerk Design Problem als ein Verbesserungsproblem
formuliert, bei dem von einem bereits bestehenden Netzwerk ausgegangen wird.
Hintergrund für diese Modellvorstellung ist, dass in praktischen Planungsaufgaben
in aller Regel ein Grundnetz existiert, welches an eine steigende Verkehrsnachfrage
angepasst werden soll. Das Netz soll also nicht grundsätzlich
verändert, sondern durch typischerweise kleinere Erweiterungen modifiziert werden.
Je nach Umfang der vorgegebenen Netzstrukturen bzw. Freiheitsgraden der
Netzgestaltung kann in diesem Zusammenhang zwischen einer eher taktischen
Netzplanung mit nur wenigen Netzanpassungen und einer eher strategischen
Netzplanung mit umfangreichen Neu- bzw. Umgestaltungsmöglichkeiten unterschieden
werden. Auch wenn in formaler Hinsicht unter Umständen keine Differenzen
sichtbar sind, so können die damit verbundenen Probleme doch große
substantielle Unterschiede aufweisen mit entsprechend weit reichenden Auswirkungen
auf Lösungsverfahren und Ergebnissen. Bei den Mathematisch orientierten
Ansätzen standen bislang die taktischen Probleme mit eher kleinen Netzverbesserungen
im Vordergrund.
47

Basisvariable
und
Funktionen
MathematischesOptimierungsmodell
4.6 Mathematische Formulierung
Die Mathematische Formulierung des kontinuierlichen Netzwerk Design Problems
baut auf folgenden Bezeichnungen auf:
Indizes: a : Kante
i, j : Quelle bzw. Ziel einer Fahrt
r : Route
Basisvariable: Fi,j : Anzahl Fahrten zwischen Quelle i und Ziel j
f i,j
r : Anzahl Fahrten zwischen i und j auf Route r
xa : Belastung der Kante a
ya : Verbesserung der Kapazität der Kante a
Kostenfunktionen: ta(xa, ya) : Nutzerkosten (auf der Kante)
ga(ya) : Kosten der Kapazitätsverbesserung (Infrastrukturkosten
für den Betreiber)
Weitere Nebenbedingungen, insbesondere untere bzw. obere Schranken für die
Kantenkapazitäten werden teilweise einbezogen.
Die Zielfunktion ergibt sich aus der Summe der Nutzerkosten und Infrastrukturkosten
aller Kanten:
minyz(y) = �
a [ta(xa, ya) · xa + ga(ya)]
Bei dieser Darstellung wird davon ausgegangen, dass Nutzerkosten und Infrastrukturkosten
in den gleichen, üblicherweise monetären Kostengrößen angegeben
werden.
Die Kantenbelastungen ergeben sich für dieses Problem aus der Nebenbedingung
des Nutzergleichgewichtes im Netz, das der folgenden Optimierungsaufgabe entspricht
(vgl. Kapitel ” Konvexe Kombination - Nutzeroptimum“ im Fallbeispiel
Bildung von Gleichgewichtszuständen in Verkehrsnetzen nach Nutzer- oder Systemoptimum):
48

Eigenschaften
des
Optimierungsproblems
unter den Nebenbedingungen:
mit:
�
r
f i,j
min z(x) �
a
� xa
0
ta(ξ)d(ξ)
i,j fr = F i,j ∀i, j
r ≥ 0 ∀r, i, j
xa = � � � i,j
r i j fr · δi,j a,r
δi,j �
1 falls a ∈ r
a,r =
0 falls a �∈ r
Das beschriebene Netzwerk Design Problem hat im allgemeinen folgende Charakteristika:
• Das Problem ist nicht-konvex und kann sehr viele lokale Optima enthalten.
Die Ermittlung des globalen Optimums kann in aller Regel nicht garantiert
werden.
• Die genaue Bewertung einer Lösung erfordert die vollständige Berechnung
einer Netzgleichgewichtslösung und ist damit sehr aufwendig.
• Das Problem gilt als sehr schwierig bzw. als nur sehr aufwendig zu lösen.
Es wird als eines der rechenintensivsten Probleme im Verkehrsbereich erachtet.
49

Lösungsverfahren
Mathematische
Analysen
4.7 Lösungsverfahren
In der Literatur zu dem Mathematisch orientierten Verfahren der Netzwerkoptimierung
ist eine Vielzahl von Verfahrensvorschlägen zu finden, von denen einige
eher exemplarisch genannt werden sollen:
• Iterative Optimization-Assignment: Steenbrink (1974) [STEENBRINK 1974]entwickelte
einen iteratives Optimierungs- und Umlegungsverfahren, das von Asakura
und Sasaki (1990), sowie Friesz und Harker (1985) weiter analysiert
worden ist. Anwendungen dieses Verfahrens finden sich in der Lichtsignaloptimierung.
• Hooke-Jeeves: Abdulaal und LeBlanc (1979) [ABDULAAL/LEBLANC 1979]wandten
den Hooke-Jeeves Suchalgorithmus auf das Netzwerk Design Problem an.
• Equilibrium Decomposed Optimization: Suwansirikul et al (1987) schlugen
eine Aufteilung des Problems in miteinander verbundene Teilprobleme vor,
die einfacher zu berechnen sind. Das Verfahren erwies sich als effizienter
als der Hooke-Jeeves - Algorithmus.
• Simulated Annealing: Friesz et al (1992) [FRIESZ et al. 1993]übertrugen
das allgemeine Verfahren des Simulated Annealing auf das Netzwerk Design
Problem. Dieses Verfahren ist sehr rechenaufwendig, gilt aber im
Kontext der Netzwerkoptimierung als potenziell geeignet, das globale Optimum
zu finden.
• Sensitivity Analysis Based Algorithm: Yang und Yagar (1995) [YANG/BELL 2001]entwickelten
ein Verfahren bei dem Sensitivitätsanalysen genutzt werden um marginale
Änderungsraten zu bestimmen, mit denen iterativ Netzbelastungen und
verbesserte Netzkapazitäten berechnet werden.
• Gradientenbasierte Verfahren: Chiou (2005) [CHIOU 2005]wandet eine Reihe
von Verfahren an, die auf Gradienten der Zielfunktion basieren. Diese
Verfahren zeigten sich bei einigen Beispielanwendungen im Vergleich zu
bisherigen Verfahren als relativ robust und effizient. siehe auch Chiou
Kurzfassung.
In der Literatur zu Mathematisch orientierten Verfahren der Netzwerkoptimierung
wurde aufgrund der Komplexität des Problems bislang nur von kleinere
Beispielanalysen berichtet, bei denen die Anzahl der veränderbaren Kanten weniger
als 20 betrug.
Für die meisten praktischen Anwendungsprobleme gelten die bislang entwickelten
Verfahren noch als wenige brauchbar (vgl.Yang / Bell S. 270 [YANG/BELL 2001]
):
50

4.7.1 Nebenpfad:
Chiou Zweiebenen Optimierung des kontinuierlichen Designproblems für Verkehrsnetze
Das kontinuierliche Verkehrsnetzdesignproblem bestimmt eine Menge von Strecken
mit Kapazitätserweiterungen und die entsprechenden Gleichgewichtflüsse im
Netz so, dass die Bewertungsgrößen der Zielfunktion optimale Werte annehmen.
Zur Lösung dieses Problems kann die Zweiebenen-Optimierungstechnik
eingesetzt werden.
Auf der oberen Ebene wird die Zielfunktion als Summe aus der Reisezeit und den
Investitionskosten für die Kapazitätserweiterungen formuliert. Auf der unteren
Ebene wird das Umlegungsproblem als Gleichgewichtsmodell nach dem ersten
Prinzip von Wardrop gelöst
(siehe auchKapitel 4).
In der Arbeit von Chiou werden vier Varianten gradientenbasierter Methoden
einschließlich umfangreicher numerischer Lösungen vorgestellt und bewertet. Die
analysierten Methoden übertreffen die bisherigen durch Effizienz und Robustheit
der Lösungen.
51

STRATOP -
Ansatz zur
strategischen
Netzoptimierung
STRATOP -
Heuristik
4.8 Strategische Netzotimierung-STATOP
STRATOP (Bobinger 2005) [BOBINGER 2005]ist ein neues Optimierungsverfahren
das folgende Charakteristika aufweist:
• Das Modell zielt auf das strategische Netzwerk Design Problem, d. h. es
geht von einer hochgradigen Variabilität der Kapazitäten aus und versucht
sowohl die Netzstruktur als auch die Bemessung der einzelnen Kanten zu
optimieren.
• Das Modell basiert auf einer expliziten Mathematischen Zielfunktion, die
langfristige Kostenfunktionen beinhaltet. Diese langfristigen Kostenfunktionen
werden aus der Synthese von kurzfristigen Nutzerkostenfunktionen
und langfristigen Infrastrukturkostenfunktionen über eine Zwischenoptimierung
abgeleitet.
• Gesucht wird das langfristige Systemoptimum, das unter der angenommenen
Anpassungsfähigkeit der Netzkapazitäten auch eine hinreichende Approximation
des Gleichgewichtszustandes mit Nutzeroptimum darstellt.
• STRATOP beruht auf einer Modifikation des Frank-Wolfe-Verfahrens zur
Berechnung des Netzwerkgleichgewichtes. Dabei wird insbesondere die Kostenfunktion
iterativ so modifiziert, dass wesentliche Eigenschaften dieses
Verfahrens, insbesondere die Konvergenzeigenschaft, weitgehend erhalten
bleiben.
Das STRATOP-Verfahren basiert auf einer Reihe heuristischer Suchverfahren,
die sich in zwei Phasen gliedern lassen:
• In der Variationssuche wird durch eine zyklische Reduktion und Expansion
des Netzes sequentiell nach einem optimalen Netzdesign gesucht. Bei diesen
Schritten werden verschiedene heuristische Bewertungsverfahren eingesetzt
um eine zielgerichtete und effiziente Suche zu erreichen. Gleichwohl
können durch die zyklische Reduktion und Expansion insbesondere die ermittelten
lokalen Optima wieder verlassen und neue gefunden werden.
• Die Kombinationssuche baut auf den in der ersten Phase gefundenen besten
Lösungen auf und kombiniert diese zu neuen Lösungen. Dies erfolgt
auf Basis einer heuristischen Schwachstellenanalyse und einer gezielten
Verbesserung dieser Schwachstellen mit alternativen Lösungen, die an diesen
Stellen besseren Eigenschaften haben.
52

STRATOP -
Ergebnisse
Beispiel:
Rasternetz
mit
Diagonalen
Die bisher durchgeführten Analysen an kleineren Beispielnetzen (mit ca. einem
Dutzend Verkehrszellen und ca. 500 Netzkanten) zeigen ein vielversprechendes
Konvergenzverhalten des Verfahrens mit einer guten Annäherung an das globale
Optimum. Die dabei benötigten Rechenzeiten lassen eine Erweiterung auf große
Netze und Problemstellungen erwarten.
Das Verfahren wird gegenwärtig erweitert auf das bimodale Netzwerk-Design-
Problem zur simultanen Optimierung von Netzen verschiedener Verkehrsträger.
Dabei kommen zusätzlich ökonometrische Verkehrsnachfragemodelle zur Modellierung
des Verkehrsverhaltens und dessen Bewertung zum Einsatz.
Ablauf des Prozesses:
Wechselspiel zwischen Reduktion und Aufbau
53

Prozess der Konzentration
54

Entwicklungsstand:
Aufgaben
und
Methoden
5 Zusammenfassung und Ausblick
5.1 Zusammenfassung
Wir haben uns in diesem Fallbeispiel mit der Aufgabe: ” Optimaler Netzentwurf
- Networkdesign“ beschäftigt.
Wir haben gesehen, dass dieses Problem auf unterschiedlichen Planungsebenen
angesiedelt werden kann und dass unterschiedliche Methoden zur Lösung dieses
Problem herangezogen werden können.
Die folgende Tabelle gibt dazu einen zusammenfassenden Überblick und ordnet
die Anwendung der Methoden auf die Aufgaben unterschiedlichen Entwicklungsstufen
zu.
55

Entwicklungsstand
der
Anwendung
Legende:
1
Stand der
Technik.
erfolgreiche
Anwendung in
der Praxis
2
Stand der
Wissenschaft.
Die
Umsetzung in
die Praxis
steht aus.
Aufgabe Methode Entwicklungsstand
Netzkonzepte zur
• Kategorisierung und
• Funktionsgerechten
Gestaltung
von Verkehrsnetzen
Festlegung der Teilverkehrssysteme
(Hierarchiesierung
z. B. im ÖV:
Bus; STRAB; U-/S-Bahn)
Entwurf von Verkehrsnetzen
Anwendungen auf
ideelle und reale Netze
Dimensionierung
der Verkehrsnetze
(Zwei-Ebenen-Problem)
Modelle der algorithmischen
Geometrie
• Voronoi-Diagramme
und
• Delaunay-
Triangulation
Minimalgerüst-
Algorithmen
• Spannende Bäume
– Algorithmus
von Kruskal
und
– Prim
• Steinerbäume
Heuristiken, wie z.B. die
Reduktionsverfahren
spezielle Heuristiken, wie
z.B. die
• Reduktionsverfahren
nach
oder
– Heck und
– Bobinger
• Simulated Annealing
und
• Genetische Algorithmen
Die Zuordnung und die Einstufung des Entwicklungsstandes der Anwendung von
bestimmten Methoden auf Aufgaben des Verkehrswesens wird im AP 3 für einen
56
2
1
1
2
2
2

Zusammenfassung
umfangreichen Katalog von Aufgaben und vor allem für die hier differenziert
behandelten Fallbeispiele getroffen. Die obige Tabelle ist ein Ausschnitt dazu
für dieses Fallbeispiel.
Ziel dieser Matrix ist es, dem Benutzer bei der Suche nach geeigneten Methoden
zur Lösung seiner Aufgaben zu unterstützen.
Der richtige Einstieg dazu ist der Schritt der Modellierung. Die Modellierung
besteht dabei aus den beiden Teilschritten:
• Modellierung des realen Objektes z. B. eines Netzes und der
• Modellierung der realen Aufgabe.
Hierzu gibt es im allgemeinen mehrere Möglichkeiten, wie das folgende Beispiel
für die Aufgabe: ’Ideelles Netzkonzept’ zeigt. Diese Aufgabe besteht darin, ein
Netz minimaler Gesamtlänge zu entwerfen.
Der Schritt 1 der Modellierung entscheidet, dass das Objekt-Netz als Graph
modelliert wird.
Damit sind Methoden der Graphentheorie anwendbar.
Im Schritt 2 entscheidet man, dass die reale Aufgabe: Minimalnetz als Minimalgerüst
modelliert wird. Zur Lösung kann man nun im Detail als Spannender
Baum oder als Steinerbaum modellieren und dann die Aufgabe mit entsprechenden
Algorithmen (z. B. Kruskal) lösen.
Abschließend geben wir Ihnen eine Zusammenfassung in Form einer Diashow.
Sie finden hier eine Präsentation zu diesem Thema im Rahmen des
Workshop‘s OptiV im Dezember 2005
57

Erweiterung
der
Aufgaben
Integration
der
Verkehrssysteme
5.2 Ausblick
Der Ausblick geht kurzgefasst auf die folgenden Aspekte ein:
• Erweiterung der Modellierung der Aufgabe: ’Netzoptimierung’ und
• Erweiterung der Methoden.
Im Zusammenhang mit der Modellierung der Aufgabe ’Netzoptimierung’ wird
in der Literatur gerne von Zwei-Ebenen-Modellen gesprochen. Allerdings wird
diese Bezeichnung auf unterschiedliche Ansätze angewandt, wie die folgende
Tabelle zeigt:
Ebene 1 Ebene 2
1. Verkehrnachfrage Netzoptimierung
2. Netzoptimierung Umlegung
3. Netzstruktur Netzdimensionierung
Beide Ebenen werden durch Rückkoppelung der Iterationsprozesse verbunden.
Ein wesentlicher weiterer Aspekt ist die Berücksichtigung der betrieblichen Komponenten
z. B. einer netzweiten Strategie zur Steuerung der Lichtsignalanlagen
im Straßennetz oder die Einbindung der Liniennetze und der Fahrpläne in die
Netzoptimierung.
Werden diese Gesichtspunkte in einer logischen Kette verknüpft, so erhält man
ein fünfstufiges Modell der Netzoptimierung:
Ebene Teilmodell
1. Verkehrsnachfrage
2. Netzstruktur
3. Netzdimensionierung
4. Umlegung
5. Betriebskonzept
Alle Teilmodelle sind durch Rückkopplungen miteinander verbunden und werden
in einem mehrfachen Iterationsprozess durchlaufen.
Die bisherigen Optimierungsaufgaben beziehen sich jeweils auf ein Verkehrsmittel.
Eine weitere wesentliche Erweiterung wäre die integrierte Netzoptimierung,
die den Entwurf der Netze aller Teilverkehrssysteme synchron behandelt und
dabei über die Verkehrsaufteilung die Wechselwirkungen berücksichtigt.
Des weiteren ist ein wichtiger fachlicher Aspekt, die Liste der tatsächlich eingesetzten
Kriterien zu erweitern. Zur Zeit werden sowohl in den praktischen
Anwendungen als auch in theoretischen Untersuchungen schwerpunktartig die
Kriterien: Reisezeit, Betriebskosten und Investitionskosten berücksichtigt. Künftig
sollten Wege gefunden werden, daneben Gesichtspunkte des Umweltschutzes,
der Sicherheit und des ökomomischen Einsatzes der Ressourcen: Energie und
Flächen zu beachten. Das hätte eine starke Erweiterung sowohl der Modellierung
der Wirkungsszusammenhänge als auch des Datenmodells zur Folge.
58

Erweiterung
der
Methoden
Bell,
M.G.H. ,
Iida, Y. 1997
Die Erweiterung und die Differenzierung der Aufgabenstellung stellen hohe Anforderungen
an die Leistungsfähigkeit der Methoden. Aus der bisherigen Erfahrung
kann man erwarten, dass zur Lösung dieser noch wesentlich komplexeren
Aufgaben weniger die exakten Mathematischen Optimierungsmethoden zum
Einsatz kommen werden, sondern dass hier wieder die heuristischen Lösungsverfahren
im Vordergrund stehen werden.
In der Literatur (siehe BELL oder CHIOU) werden den Metaheuristiken:
Genetische Algorithmen oder Simulated Annealing die besten Chancen
eingeräumt die komplexen Probleme der Netzoptimierung zu lösen.
Angesichts der zentralen Bedeutung, die der Netzplanung zukommt, wenn man
die hohen Investitionskosten und die daraus resultierende Dauerhaftigkeit der zu
treffenden Entscheidungen berücksichtigt, erscheint es außerordentlich sinnvoll,
die Optimierungsmethoden in diesem Anwendungsbereich vordringlich weiter
zu entwickeln.
5.2.1 Nebenpfad:
Transportation Network Analysis
Diese Arbeit behandelt das gesamte Instrumentarium zur Analyse, Berechnung
und Optimierung von Straßen- und Verkehrsnetzen. In den ersten Kapiteln gehen
die Autoren sehr ausführlich auf die Gleichgewichtsansätze, die Verkehrsumlegungsmodelle,
die Abschätzung der Verkehrsnachfrage aus Querschnittszählungen
und die Beschreibung der Zuverlässigkeit und der Redundanz von
Verkehrsnetzen ein.
Sehr umfassend wird abschließend das Problem des Netzentwurfes auch in seiner
historischen Entwicklung der letzten 20 Jahre beschrieben. Es wird gezeigt, dass
das Problem des Entwurfs optimaler Verkehrsnetze das gesamte Spektrum der
Analyse von Netzen umspannt. Es reicht vom Entwurf der Netzstruktur bis zur
Steuerung des Netzes. Die Steuerung des Netzes mit Lichtsignalen ist z. B. ein
fundamentales Problem auch des Netzentwurfes.
Wenn die Reaktion der Verkehrsteilnehmer zu berücksichtigen ist, wird man
zu einem Zwei-Ebenen-Optimierungsproblem geführt. Das Problem der
oberen Ebene ist das eigentliche Problem des Entwurfes der Netzstruktur. Das
Problem der zweiten Ebene behandelt die Veränderung der Verkehrsnachfrage
aufgrund der veränderten Netzstruktur; also die Reaktion der Nutzer. Die Fülle
der Lösungsansätze, die sich in der angelsächsischen Literatur findet, wird im
Überblick dargestellt.
Die grundsätzliche Nichtkonvexität des Problems dokumentiert die Schwierigkeiten
jedes Versuchs einer Mathematisch exakten Lösung als Optimierungsproblem.
Gegenwärtig erhofft man sich von probabilistischen Verfahren, wie dem
Simulated Anealing oder den Genetischen Algorithmen als heuristische
Verfahren, Lösungen in der Nähe des globalen Optimums, die mit einem nicht zu
großen Aufwand erzeugt werden. Ein Ansatz könnte in der Kombination beider
59

Verfahrenstypen liegen, bei der zunächst mit der exakten Zwei-Ebenen-Methode
ein lokales Optimum gefunden wird, das dann mit einer probabilistischen Methode
verbessert wird. Die Anwendung dieser probabilistischen Methode auf das
Problem des Netzentwurfs befindet sich allerdings noch in den Kinderschuhen.
60

6 Literatur
6.1 Literatur
Literaturverzeichnis
[ABDULAAL/LEBLANC 1979] Abdulaal M. , LeBlanc L.
Continuous equlilibrium network design models
Transportation Research
13B, S. 19 - 32, 1979
[AHRENS 1984] Ahrens G.-A.
Planung städtischer Verkehrsnetze - Interaktives Verfahren zur Straßennetzgestaltung
Veröffentlichungen des Instituts für Stadtbauwesen,
Technische Universität Braunschweig,
Heft 37, 1984
zu Ahrens siehe auch
[BELL/IIDA 1997] Bell M.G.H., Iida Y.
Transportation Network Analysis
Wiley, 1997
Nähere Informationen siehe Bell
[BERTSEKAS 1998] Bertsekas D. P.
Network Optimization: Countinuous und Discrete Models,
Belmont 1998.
[BOBINGER 2005] Bobinger R.
Modell, Verfahren und Implementierung einer Heuristik zur strategischen
Optimierung von Verkehrsnetzen (STRATOP),
Arbeitsbericht (unveröffentlicht),
München 2005.
[BOYCE 1979] Boyce D.E.
Introduction (Special Issue on Trasnsportation Network Design),
Transportation Reserch, Vol 13B, Nr.1, 1-3, 1979
[BOYCE/FARHI/WEISCHEDEL 1973] Boyce D.E., Farhi A., Weischedel R.
Optimal network problem: a branch-and-bound algorithm.
Environment and Planning 5, 519-533, 1973
[BOYCE/JANSON 1980] Boyce D.E., Janson B.N.
A discrete transportation network design problem with combined trip distribution
and assignment.
Transportation Research B 14, 147-154, 1980
61

[BOYCE 1984] Boyce D.E.
Urban transportation network equilibrium and design models: Recent
achievements and future prospectives. Environment and Planning 16A,
1445-1474, 1984
[BRUYNOOGHE 1972] Bruynooghe M.
An Optimal Method of Choice of Investments in a Transport Network.
In: PTRC Proceedings, 1972
[CHEN/ALFA 1991] Chen M., Alfa A. S.
A Network Design Algorithm Using a Stochastic Incremental Traffic Assignment
Approach,
Transportation Science, 25(3), S. 215-224, 1991
[CHIOU 2005] Chiou S.
Bilevel Programming for the Continuous Transport Network Design Problem,
Transportation Research, 39B(4), S. 361-383, 2005
[DANTZIG et al. 1979] Dantzig G.B., Harvey R.P., Lansdowne Z.F., Robinson
D.W., Maier S.F.
Formulating and solving the network design problem by decomposition.
Transportation Research 13B, 5-17,1979.
näheres zu Chiou siehe hier.
[DAVIS 1994] Davis G.A.
Exact local solution of the continuous network design problem via stochastic
user equilibrium assignment.
Transportation Research B 28, 61-75, 1994.
[DEMPE 2003] Dempe S.
Annotated Bibliography on Bilevel Programming and Mathematical Programs
with Equilibrium Constraints,
Optimization 52, 333-359, 2003
[FGSV 1] RAS - N / RICHTLINIEN FÜR DIE ANLAGE VON STRASSEN
Teil: Leitfaden für die funktionale Gliederung des Straßennetzes
FGSV-Verlag, Köln, 1988
[FGSV 2] LEITFADEN FÜR VERKEHRSPLANUNG[FGSV-Nr. 116]
FGSV-Verlag, Köln , 2001
[FGSV 3] RAHMENRICHTLINIE FÜR DIE INTEGRIERTE NETZGESTAL-
TUNG
In Bearbeitung Stand 2005
noch nicht veröffentlicht.
[FIACCO 1976] Fiacco A. V.
Sensitivity analysis for non-linear programming using penalty methods
Mathematical Programming, 10, 287 - 311 , 1976
62

[FRANZ 1975] Franz H.-D.
Untersuchung zur Planung von Verkehrsnetzen unter besonderer Berücksichtigung
des öffentlichen Personennahverkehrs
Forschung Straßenbau und Straßenverkehrstechnik, Heft 182, 1975
Nähere Informationen siehe Franz
[FRIESZ et al. 1982] Friesz T. L., Cho H.-J., Metha N. J., Tobin R. L. and Anandalingam
G.
A simulated annealing approach to the network design problem with variational
inequality constraints
Transportation Science, 26, 18 - 26, 1982
[FRIESZ 1985] Friesz T.L.
Transportation network equilibrium, design and aggregation: key developments
and research opportunities.
Transportation Research 19A, 413-427, 1985
[FRIESZ et al. 1992] Friesz T.L., Cho H.-J., Mehta N.J., Tobin R.L., Anandalingam
G.
A simulated annealing approach to the network design problem with variational
inequality constraints.
Transportation Science 26 (1), 18-26,1992
[FRIESZ et al. 1993] Friesz T. L., Anandalingam G., Mehta N. J., Nam K.,
Shah S. J., Tobin R. L.
The multiobjective equlilibrium network design problem revisited: A simulated
annealing approach
European Journal of Operational Research, 65, 44 - 57, 1993
[GAO/SUN/SHAN 2004] Gao Z., Sun H., Shan L. L.
A Continuous Equilibrium Network Design Model and Algorithm for Transit
Systems,
Transportation Research, 38B(?), S. 235-250, 2004
[GAO/WU/SUN 2005] Gao Z., Wu J., Sun H.
Solution Algorithm for the Bi-Level Discrete Network Design Problem,
Transportation Research, 39B(6), S. 479-495, 2005
näheres zu Gao siehe hier.
[GEN/CHENG 2003] Gen M., Cheng R.
Evolutionary network design: hybrid genetic algorithms approach
International Journal of Computational Intelligence and Applications, Vol.
3, No. 4, p. 357-380, 2003
[HAMPE 1999] Hampe, M.
Konzeption und Gestaltung von animierten kartographischen Darstellungen
für die Prüfung ihrer Kommunikationsleistung
Diplomarbeit am Institut für Kartographie
Universität Hannover, Mai 1999
63

[HARKER/FRIESZ 1984] Harker P.T., Friesz T.L.
Bounding the solution of the continuous equilibrium network design problem.
Proceedings of the Ninth International Symposium on Transportation and
Tra.c Theory. VNU Science Press, Delft, Netherlands, 1984
[HECK 1976] Heck H.-M.
Optimierungsmodell zur Berechnung von Ein-Richtungsringsystemen in
Straßennetzen
Forschung, Straßenbau und Straßenverkehrstechnik, Heft 198, 1976
siehe auch Heck 1976
[HECK 1983] Heck H.-M.
Planung und Bewertung mehrstufiger Verkehrsnetze
in: HEUREKA 83 - Optimierung in Verkehr und Transport
Tagungsbericht,
FGSV Verlag, 1983
[HECK 1986] Heck H.-M.
Anwendung von Optimierungsverfahren beim Entwurf und bei der Gestaltung
von städtischen Straßennetzen unter Berücksichtigung des Betriebes
BMV, Forschung: Straßenbau und Straßenverkehrstechnik,
Heft 492, 1986
siehe auch Heck 1986
[Heck 1993] Heck H.-M.
Tandentialverbindungen im Raum Hannover
Institut für Verkehrswirtschaft, Straßenwesen und Städtebau Universität
Hannover
Verkehrsuntersuchung, 1993
[HOLZ/MOTT/SAHLING 1987] Holz S., Mott P., Sahling M.
Verkehrs- und Betriebsplanung
Reihe Auswertungen - Forschung Stadtverkehr H. A3
Bundesminister für Verkehr, Bonn , 1987
[HÜTTMANN 1979] Hüttmann R.
Planungsmodell zur Entwicklung von Nahverkehrsnetzen liniengebundener
Verkehrsmittel
Veröffentlichungen des Instituts für Verkehrswirtschaft, Straßenwesen und
Städtebau der Universität Hannover,
Heft 1, 1979
näheres siehe auch Hüttmann
[JAHN 2005] Jahn O. et al.
System-Optimal Routing of Traffic Flows with User Constraints in Network
with Congestion,
Operation Research, 53(4), S. 600-616, 2005
64

[KLEIN 1997] Klein R.
Algorithmische Geometrie
Addison-Wesley
Bonn, 1997
[LE BLANC 1979] Le Blanc L. J.
An Algorithm for the Discrete Network Design Problem,
Transportation Science, (9), S. 183-199,1979
[LIEBMANN 1966] Liebmann H.
Ein Beitrag zur Optimierung von Verkehrsnetzen
in: Wiss. Zeitschrift der Hochschule für Verkehrswesen Dresden 13
H. 2, S. 255 - 259, 1966
[LIM 2002] Lim A.C.
Transportation Network Design Problems: An MPEC Approach.
Dissertation submitted to The Johns Hopkins University, Baltimore, Maryland,
2002
[MAGNANTI/WONG 1984] Magnanti T. L., Wong R.
Network Design and Transportation Planning: Models and Algorithms,
Transportation Science, 18(1), S. 1-55, 1984
[MARCOTTE 1981] Marcotte P.
An Analysis of Heuristics for the Continuous Network Design Problem,
Proceedings of the 8th International Symposium on Transportation and
Traffic Theory, hrsg. von Hurdle; Hauer; Steuart, Toronto 1981
[MENG 2000] Meng, Q.
Bilevel Transportation Modeling and Optimization,
Ph.D. Thesis, Hong Kong University of Science and Technology,2000
[MENG/YANG 1999] Meng Q., Yang H.
Benefit Distribution and Equity in Road Network Design Problems,
Transportation Research, 36B(1), S. 19-35, 1999
[MENG/YANG/BELL 2001] Meng Q., Yang H., Bell M.G.H.,
An equivalent continuously differentiable model and a locally convergent
algorithm for the continuous network design problem.
Transportation Research B 35, 83-105, 2001
[MINKE/SCHÖF 1969] Minke G., Schöf G.
Experimentelle Ermittlung von Minimalnetzen
Die Bauzeitung, 103
H. 5, S. 310 - 318, 1969
[PATRICK/HARKER/FRIESZ 1984] Patrick T., Harker P. T., Friesz T. L.
Bounding the Solution of The Continuous Equilibrium Network Design
Problem,
65

Proceedings of the 9th International Symposium on Transportation and
Traffic Theory, hrsg. von Volmullen; Hamerslag, Utrecht 1984, S. 233-253.
[PEARMAN 1979] Pearman A.D.
The structure of the solution set to network optimisation problems
[PIRKUL/CURRENT/NAGARAJAN 1991] Pirkul H., Current J., Nagarajan
V.
The hierarchical Network Design Problem: A New Formulation and Solution
Procedures,
Transportation Science, Vol. 25, No. 3, 1991
[POORZAHEDY/TURNQUIST 1982] Poorzahedy H., Turnquist M. A.
Apporximate Algorithms for the Discrete Network Design Problem,
Transportation Research, 16(1), S. 45-55, 1982
[SCHENDZIELORZ 2003] Schendzielorz T.
Evaluierung einer Heuristik zur Lösung eines Network Design Problems
für Verkehrsnetze
Diplomarbeit, Lehrstuhl für Technische Dienstleistungen und Service Management,
Technische Universität München, 2003.
[STEENBRINK 1974] Steenbrink P. A.
Optimisation of Transport networks
Wiley: New York, 1974
[STEINER 1835] Steiner J.
Aufgaben und Lehrsätze
in: Journal für die reine und angewandte Mathematik 13
1835, D. 361 - 364
[SUWANSRIKUL/FRIESZ/TOBIN 1987] Suwansirikul C., Friesz T.L., Tobin
R.L.
Equilibrium decomposed optimization: a heuristic for continuous equilibrium
network design problem.
Transportation Science 21, 254-263, 1987
[TAN/GERSHWIN/ATHANS 1979] Tan H.-N., Gershwin S. S., Athans M.
Hybrid Optimisation in urban traffic networks
Technical Report No. DOT-TSC-RSPA-79-7, National Technical Information
Service Springfield, III, 1979
[VAN NES 2002] van Nes R.
Design of Multimodal Transport Networks,
Thesis, Netherlands TRAIL Research School an der Technische Universität,
Delft, 2002.
[YANG/BELL 1998] Yang H., Bell M. G.
Models and Algorithms for Road Network Design: A Review and Some
66

New Developments,
Transport Reviews, 18(3), S. 257-278, 1998.
[YANG/BELL 2001] Yang H., Bell M.G.
Transport bilevel programming problems: recent methodological advances;
Transportation Research B35, 2001
[ZENG/MOUSKOUS 1997] Zeng Q., Mouskos K.
Heuristic Search Strategies to Solve Transportation Network Design Problems,
Final Report, Department of Transportation, New Jersey, 1997
Neben dem eigentlichen Literaturverzeichnis finden Sie hier unter weiterführende
Informationen zu einigen ausgewählten Veröffentlichungen.
6.0.1 Nebenpfad:
Ahrens Als wesentliche Kritikpunkte der herkömmlichen manuellen und intuitiven Vorgehensweisen
nennt AHRENS insbesondere die mangelnde Systematik, Vollständigkeit
und Begründbarkeit der Planungsschritte. Diese Verfahren gestatten kaum, eine
größere Zahl von Alternativen voll auszuarbeiten und zu beurteilen und damit
auch wirklich die den vorhandenen Zielvorstellungen und Randbedingungen entsprechend
günstigste Lösung zu finden.
Um diesen Mängeln abzuhelfen, wurden numerische Verfahren entwickelt, die
als Rechnermodelle aus den zahlreichen möglichen Lösungen optimale Lösungen
ableiten sollen. Nach HECK (1976) soll mit Hilfe geschlossener Optimierungsverfahren
die Verkehrsgerecht e Gestaltung und Wirtschaftliche Dimensionierung
von Verkehrsnetzen unter Berücksichtigung der vorhandenen Nachfrage und unter
Beachtung eines Mindestangebots an Verkehrsqualität erreicht werden.
Um solche Modelle überhaupt einsetzen zu können, ist es notwendig, ausgehend
von definierten Optimalitätskriterien eine Zielfunktion und die zu berücksichtigenden
Randbedingungen Mathematisch zu formulieren. Gerade hierin aber
ist einer der wesentlichen Nachteile dieser Verfahren zu sehen, weil sich nämlich
die komplexe, verflochtene Struktur maßnahmenbezogener Zielabhängigkeiten
nicht durchgehend Mathematisch formulieren läßt. Als weitere Kritikpunkte
führt AHRENS (1984) an, daß Wertvorstellungen und Zielvorgaben, für die
eigentlich die politischen Entscheidungsträger zuständig sind, mit der Modellentwicklung
im Verfahren versteckt werden. Außerdem müssen komplexe Sachverhalte
und Beurteilungskriterien notwendigerweise so stark vereinfacht bzw.
ausgeklammert werden, daß eine Vielzahl praxisorientierter Fragestellungen unbeantwortet
bleiben muß bzw. unvollständig oder idealisiert behandelt wird.
Aus diesen Gründen können Optimierungsverfahren zur Netzgestaltung zwar
innerhalb des Entwurfsprozesses wichtige Informationen liefern, nie aber ausgewogene
fertige Lösungen. Der Prozeß der Netzgestaltung kann also nicht in
starren Abläufen erfolgen, vielmehr sollten die erforderlichen Arbeitsschritte flexibel,
d. h. aufeinander reagierend, mit gegenseitigen Einflußmöglichkeiten und
67

Franz, H.-D.
(1975)
Gao, Wu,
Sun
Eingriffsmöglichkeiten für den Planer durchgeführt werden, wie dies mit interaktiven
Verfahren möglich ist.
6.0.2 Nebenpfad:
Theoretische Untersuchung zur Planung von Verkehrsnetzen unter besonderer
Berücksichtigung des öffentlichen Personennahverkehrs
Die Modelltechnik für die Abschätzung zukünftiger Verkehrsströme in geplanten
Netzen und den daraus abzuleitenden Bewertungsgrößen ist in den vergangenen
Jahren weiter entwickelt worden. Infolge der detaillierten Betrachtungsweise
und der daraus resultierenden verfeinerten und verbesserten Modelltechnik ist
der Aufwand für die Untersuchung einer Netzalternative beträchtlich gestiegen,
so dass bei der Entwicklung und Vorauswahl von Alternativnetzen im Individualverkehr
und im öffentlichen Personennahverkehr nur in einigen Fällen belastungsabhängige
Beurteilungskriterien Verwendung finden können. Dem Planer
entzieht sich damit mehr und mehr die Möglichkeit, bereits bei der Entwicklung
von Alternativnetzen die Wechselbeziehungen zwischen der Netzgestalt und den
Verkehrsbedarfswerten quantitativ zu berücksichtigen.
Die Zielsetzung der vorliegenden Arbeit besteht im wesentlichen in der Entwicklung
eines Modells zur computergestützten Entwicklung von Verkehrsnetzen
unter Einbeziehung von Verkehrsbedarfswerten. Bei der Konzipierung des
Modells werden insbesondere die Interdependenzen zwischen der modellhaften
Netzdarstellung, dem Routensuchverfahren und dem Umlegungsverfahren
vollständig genutzt. Damit ist dem Verkehrsplaner die Möglichkeit gegeben, bei
einem vertretbaren Abstraktionsgrad des Netzes mit relativ geringem Aufwand
viele Netzvarianten während der Entwicklung von Alternativnetzen zu bearbeiten.
Mit diesen theoretischen und praktischen Grundlagen für eine schrittweise
Entwicklung von Verkehrsnetzen wird als Möglichkeit für einen geschlossenen
Arbeitsschritt der Netzentwicklung das NetzReduktionsverfahren untersucht.
Damit kann der Planungspraxis ein Verfahren angeboten werden, das für
einen Untersuchungsraum bei Vorliegen einer Quelle-Ziel-Matrix der Verkehrsbedarfswerte
die Entwicklung von Alternativnetzen in einem größeren Umfang
als bisher ermöglicht. Es erweist sich dabei als vorteilhaft, einen Teil der Arbeit
zur Netzentwicklung dem Computer zu übertragen, ohne gleichzeitig die
Eingriffsmöglichkeiten für den Planer über Gebühr
6.0.3 Nebenpfad:
Algorithmus zur Lösung des diskreten bi-level Netzwerk Design Problems
- NDP
Das diskrete NDP beschäftigt sich mit der Auswahl von Strecken, die einem
vorhandenem Straßennetz hinzugefügt werden können. Ziel ist eine optimale
68

Heck 1976
Reduktionsverfahren
Investitionsentscheidung , um damit die Reisekosten der Benutzer zu minimieren.
Es handelt sich hier um ein bi-level gemischt- und ganzzahliges Problem mit
einer großen Zahl von Variablen. Dies ist eines der schwierigsten Probleme des
Verkehrswesens.
In dieser Arbeit werden zunächst die traditionellen Lösungsmethoden für dieses
Problem vorgestellt. Anschließend wird ein neuer Lösungsalgorithmus entwickelt,
der ein Support Function Konzept benutzt, um den Zusammenhang
zwischen der Verbesserung des Verkehrsflusses und den hinzugefügten Strecken
darzustellen.
Abschließend wird die Arbeitsweise an Hand zweier Beispiele gezeigt. Die Ergebnisse
deuten darauf hin, dass die Methode effizient in der Praxis eingesetzt
werden kann.
6.0.4 Nebenpfad:
Optimierungsmodelle zur Berechung von Ein-Richtungsringsystemen in Stadtstraßennetzen
In dieser Arbeit wird einReduktionsverfahren vorgeschlagen, das ausgehend
von einem Maximalnetz mit Hilfe eines Optimierungsmodells ein unter den
oben beschriebenen Nebenbedingungen und noch näher zu erläuternden Kriterien
optimales Verkehrsnetz berechnet.
Das Maximalnetz enthält alle für ein konkretes Stadtgebiet möglichen Netzelemente
(Strecken und Knotenpunkte und deren maximal zulässigen Ausbaustandard:
Anzahl der Fahrstreifen, bauliche Gestaltung der Knotenpunkte). Daneben
beschreibt das Maximalnetz die Art der betrieblichen Regelung der Netzelemente
(Ein- oder Zwei-Richtungsstrecken, verkehrstechnische Regelung der
Knotenpunkte).
Zur Bestimmung der in der Zielfunktion zu minimierenden Kosten wird ein
Gesamtkostenansatz gewählt, der sowohl die Bau- und Unterhaltungskosten
(flächenabhängig) als auch die Fahrt- und Betriebskosten (zeitabhängig) berücksichtigt.
Da beide Kostenanteile einander widersprechende Ziele ausdrücken, wird die
Behandlung des einzelnen Anteils durch ein Gewicht festgelegt. Der Zusammenhang
zwischen den Kostenanteilen ist dadurch gegeben, dass beide Anteile
auf die Kapazität der Netzelemente bezogen sind.
69

6.0.5 Nebenpfad:
Heck 1986 Anwendung von Optimierungsverfahren beim Entwurf und bei der
Gestaltung von städtischen Straßennetzen unter Berücksichtigung des
Betriebes
Es ist daher Ziel dieser Untersuchung, die Anwendungsmöglichkeiten von Optimierungsverfahren
beim Entwurf Straßennetzen zu überprüfen. Dabei werden
die drei generellen Vorgehensweisen, die auch in der RAL-N genannt werden:
• Alternativplanung
• Reduktionsverfahren und
• Progression
in die Betrachtung einbezogen.
Der Schwerpunkt der Forschungsarbeit liegt aufbauend auf den vorangegangenen
Untersuchungen auf der Entwicklung und Überprüfung eines Reduktionsverfahrens,
das ausgehend von einem Maximalnetz(Netz maximalen Ausbaus)
und einem Gesamtkostenansatz in der Lage ist, gezielt Straßennetzentwürfe
mit vorgegebenen Eigenschaften zu erzeugen.
In einem ersten Schritt wird der Verkehrsplanungsprozess analysiert. Die Arbeitsschritte,
bei denen bereits Optimierungsverfahren eingesetzt werden oder
eine Anwendung zu empfehlen ist, werden herausgearbeitet. Danach werden die
für die Straßennetzplanung relevanten Methoden des Operations Research:
• Lineare Optimierung
• Graphentheorie
• Dynamische Programmierung und
• heuristische Optimierungsmethoden
dargestellt und anhand von einfachen Beispielen erläutert.
70

Hüttmann
1979
Der Aufbau des Reduktionsmodells und der Berechnungsmethode wird vorgestellt.
Für die wesentlichen Elemente des Verfahrens werden mehrere Lösungen entworfen,
programmiert und einer vergleichenden Bewertung unterzogen. Die Arbeitsweise
des Gesamtverfahrens wird an Beispielen der Planungspraxis dargestellt.
Das entwickelte Programmsystem und eine umfangreiche Literaturzusammenstellung
werden im Anhang dokumentiert.
6.0.6 Nebenpfad:
Planungsmodell zur Entwicklung von Nahverkehrsnetzen liniengebundener
Verkehrsmittel
Das mit der vorliegenden Arbeit entwickelte Planungsmodell stellt einen Beitrag
zu der planerischen Aufgabe der Bildung von Netzen öffentlicher Personennahverkehrsmittel
im Rahmen langfristiger Verkehrsplanungen dar. Aus der
Notwendigkeit der Berücksichtigung gesamtplanerischer, insbesondere nachfrageorientierter
und betrieblicher Kriterien, deren Quantifizierung weitgehend erst
nach der Ermittlung des Liniennetzes durchgeführt werden kann, entsteht ein
komplexes Zielsystem, das einen zweistufigen Modellaufbau erfordert, der die
Entwicklung eines Streckennetzes und - darauf aufbauend - die Entwicklung
eines Liniennetzes beinhaltet.
Die Streckennetzentwicklung erfolgt unter Anwendung eines von Heck - siehe
auch [?] entwickelten Reduktionsverfahrens auf der Basis eines gewichteten Kostenansatzes,
der die Bündelung der Verkehrsnachfrage auf einem realen Maxi-
71

malnetz nach den in der Zielsetzung gegenläufigen Kriterien
• Minimierung der monetär bewerteten Reisezeit
• Minimierung der Bau- und Unterhaltungskosten und
ermöglicht.
Die Modellentwicklung und der Modelltest werden unter Zugrundelegung der
Merkmale und Parameter eines Straßenbahnsystems durchgeführt.
Innerhalb der zweiten Modellstufe erfolgt die Liniennetzentwicklung auf der
Grundlage eines Maximal-Linienangebotes, das durch alternative Verknüpfung
der potentiellen Linienendpunkte gebildet wird, mittels einer ganzzahligen linearen
Optimierung (Branch and Bound) nach dem Kriterium der Maximierung
der Direktfahrmöglichkeiten. Die in den Planungsablauf nicht integrierbaren
Einflussfaktoren dienen als Steuerungskriterien der Modell-Rückkopplungen
und Bewertungskriterien in einem Rahmenmodell, dessen Ablauf sich als Maximierung
der Angebotsqualität unter Einhaltung betrieblicher sowie gesamtplanerischer
Randbedingungen darstellt. Alle aus dem Modellablauf entwickelten
teiloptimalen Lösungen werden einer Bewertung mittels eines gewichteten Gesamtkostenansatzes
unterzogen, aus der die Netzauswahl unter Berücksichtigung
der Kostenarten
72

• Bau- und Unterhaltungskosten
• Betriebskosten
• Fahrzeugkosten und der
• monetär bewerteten Reisezeit
entsprechend der jeweiligen Planungszielsetzung zu treffen ist.
Über die Anwendung des Planungsmodells auf einstufige Nahverkehrsnetze hinaus
ist die Netzplanung des Primärsystems bei zweistufigen Netzen möglich, sofern
dem Sekundärsystem vorwiegend Zubringerfunktionen zugewiesen werden.
Für eine Aussage über die geschlossene Netzplanung von zweistufigen Verkehrssystemen
sind weiterführende Untersuchungen erforderlich.
73