Die Chomsky-Hierarchie

Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 2064 Die Chomsky-HierarchieBeispielSaAaS → aA | aBbabbA → a | bBB → bA | bSB

Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 2074 Die Chomsky-HierarchieLemma 4.0.4Jede reguläre Sprache wird durch eine linkslineare Grammatikerzeugt.Beweis.Es sei M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ) ein NFA.Definiere die Grammatik G = (Q, Σ, P, q 0 ) mit den Produktionen1 q → a p falls p ∈ δ(q, a) und2 q → ɛ falls q ∈ F .Mit Induktion über |w| bzw. über die Länge von ∗ ⇒:p ∈ ˆδ(q, w) gdw. q ∗ ⇒ w p.

Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 2084 Die Chomsky-HierarchieBeispielSaAaCbabbS → aA | aBA → aC | bBBB → bA | bSC → ɛ

Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 2094 Die Chomsky-HierarchieKontextsensitive Sprachen sind eine echte Obermenge derkontextfreien Sprachen:L = { $w$w$ | w ∈ {a, b} ∗ }S → LMRM → AMĀ | BM ¯B | $ĀA → AĀ, ĀB → BĀ¯BA → A¯B, ¯BB → B ¯BĀR → AR, ¯BR → BRL → $R → $A → aB → b

Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 2104 Die Chomsky-HierarchieSatz 4.0.5Das Leerheitsproblem für kontextsensitive Sprachen ist nichtentscheidbar.Beweis.⎧⎪⎨I :=⎪⎩u 1v 1,u 2v 2, . . . ,u nv n⎫⎪⎬⎪ ⎭S → $ A $ a C → C aA → u 1 B v1 R | · · · | u n B vn R b C → C bB → u 1 B v1 R | · · · | u n B vn R | D C a → a Ca D a → C D C C b → b Cb D b → C D C $ C → c $$ D $ → c c c C $ → $ cSprache ist leer gdw. I keine Lösung hat.

Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 2114 Die Chomsky-HierarchieSatz 4.0.6Das Wortproblem für kontextsensitive Sprachen ist entscheidbar.Beweis.Es sei G eine kontextsensitive Grammatik und w ein Wort.Wende Regeln rekursiv rückwärts auf alle möglichen Arten an.Wir erhalten so alle α mit α ∗ ⇒ w.Ist das Startsymbol darunter?Terminierung: |α| ≤ |w| falls α ∗ ⇒ w.

Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 2124 Die Chomsky-HierarchieSatz 4.0.7Das Wortproblem für Chomsky-0-Sprachen ist nicht entscheidbar.Beweis.⎧⎪⎨I :=⎪⎩u 1v 1,u 2v 2, . . . ,u nv n⎫⎪⎬⎪ ⎭S → u 1 Mv1R | · · · | u n MvnRM → u 1 Mv1 R | · · · | u n Mvn R | D0D0 → D1D1 → DD → ɛSprache enthält ɛ gdw. I lösbar.