Modelluntersuchungen betreffend die Stabilität - Institut für ...

Modelluntersuchungen betreffend die Stabilität 

der Energieübertragung 

Wernegger Hans-Jürgen 

Diplomarbeit 

Graz University of Technology 

Erzherzog-Johann-University 

Institut für Elektrische Anlagen und Hochspannungstechnik 

Abteilung Elektrische Anlagen 

an der 

Technischen Universität Graz 

Vorstand : Univ. Prof. Dipl. -Ing. Dr. techn. Lothar Fickert 

Betreuer : Ass.- Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Herwig Renner 

Graz, im Jänner 2002

Inhaltsverzeichnis 


1 Einleitung und Ziele der Arbeit ........................................................................................ 3 

2 Grundlagen........................................................................................................................ 4 

2.1 Grundlagen der Übertragung elektrischer Energie.............................................. 4 

2.1.1 Allgemeines........................................................................................................ 4 

2.1.2 Technische Struktur von Elektrizitätsversorgungssystemen.............................. 4 

2.1.3 Netzstrukturen und Spannungsebenen ............................................................... 4 

2.1.4 Komponenten der Energieübertragung .............................................................. 5 

2.1.4.1 Die Freileitung................................................................................................ 5 

2.1.4.1.1 Allgemeines.............................................................................................. 5 

2.1.4.1.2 Grundsätzlicher Aufbau einer Freileitung................................................ 6 

2.1.4.1.3 Seile.......................................................................................................... 7 

2.1.4.1.4 Ersatzschaltung und Kennwerte von Drehstromfreileitungen ................. 7 

2.1.5 Betriebsbereiche von Synchrongeneratoren..................................................... 11 

2.2 Stabilität der elektrischen Energieübertagung.................................................... 14 

2.2.1 Allgemeines...................................................................................................... 14 

2.2.2 Erläuterung des Stabilitätsproblems................................................................. 14 

2.2.3 Grenze der Energieübertragung ....................................................................... 15 

2.2.4 Die statische Stabilität...................................................................................... 18 

2.2.4.1 Die künstlich statische Stabilität .................................................................. 22 

2.2.4.1.1 Allgemeines............................................................................................ 22 

2.2.4.1.2 Einsatz des Spannungsreglers zur Verbesserung der statischen Stabilität 

................................................................................................................ 22 

2.2.4.1.3 Das Problem der Polrad- und Wirkleistungspendelungen ..................... 25 

2.2.4.1.4 Polradwinkelbewegung eines Synchrongenerators bei unterschiedlichen 

Zustandsänderungen (schematisch)........................................................ 26 

2.2.4.1.5 Verlust der Stabilität............................................................................... 27 

2.2.5 Dynamische Stabilität ...................................................................................... 28 

2.2.5.1 Beurteilung der dynamischen Stabilität - Der Flächensatz .......................... 30 

2.3 Systeme zur Verbesserung der Stabilität............................................................. 32 

2.3.1 Die Serienkompensation mit Fix-Kondensator................................................ 32 

2.3.2 Thyristor gesteuerter Reihenkondensator......................................................... 34 

2.3.2.1 Allgemeines.................................................................................................. 34 

2.3.2.2 Aufbau eines TCSC...................................................................................... 38 

2.3.2.3 Wirkungsweise eines TCSC......................................................................... 39 

2.3.2.4 TCSC - Regelschema zur Bekämpfung von Leistungspendelungen und 

untersynchronen Resonanzen (SSR) ............................................................ 47 

3 Das Labormodell ............................................................................................................. 49 

3.1 Allgemeines ............................................................................................................. 49 

3.1.1 Das Antriebssystem (Turbinenmodell) ............................................................ 51 

3.1.2 Der Synchrongenerator .................................................................................... 51 

3.1.3 Das Freileitungsmodell .................................................................................... 52 

3.1.4 Der Blocktransformator.................................................................................... 53 

3.1.5 Das starre Netz ................................................................................................. 54 

Diplomarbeit 

1


3.1.6 Dimensionierung des TCSC............................................................................. 54 

3. 2 Impedanztransformation....................................................................................... 59 

3.3 Künstlich statische Stabilität - Berücksichtigung des Spannungsreglers ......... 63 

4 Simulation des theoretischen Modells mit dem Programm Matlab 6.0 ........................ 66 

4. 1 Kuppel- und Eigenimpedanzen der vollständigen Π-Matrix als Funktion der 

Leitungslänge.......................................................................................................... 66 

4.2 

4.3 

4.4 

4.5 

Übertragene Leistung als Funktion des Polradwinkels bei unterschiedlichen 

Leitungslängen und ohne Spannungsregler......................................................... 70 

Übertragene Wirk- und Blindleistung als Funktion des Polradwinkels bei 

unterschiedlichen Leistungslängen mit Verwendung eines Spannungsreglers 

73 

Übertragene Wirk- und Blindleistung als Funktion des Polradwinkels bei 

unterschiedlichen Leistungslängen mit Verwendung eines Spannungsreglers 

und Reihenkondensators ....................................................................................... 76 

Gegenüberstellung der maximal übertragbaren Leistung................................. 79 

5 Zusammenfassung........................................................................................................... 82 

6 Literaturverzeichnis......................................................................................................... 84 

7 Abkürzungen ................................................................................................................... 86 

8 Anhang............................................................................................................................. 87 

8. 1 Matlab – M.Files..................................................................................................... 87 

8. 1.1 Vergleich der Maximalwerte der übertragbaren Leistung ............................... 87 

8.1.2 Kuppel- und Eigenimpedanz als Funktion der Leitungslänge ......................... 87 

8.1.3 Energieübertragung ohne Spannungsregler ..................................................... 88 

8.1.4 Energieübertragung mit Spannungsregler und Kompensation 

(Blindleistungsbetrachtung nur für die Leitung und Transformator) 

............... 91 

8.1.5 Simulation des Arbeitsbereiches eines TCSC.................................................. 96 

Diplomarbeit 

2

Einleitung und Ziele der Arbeit 

1 Einleitung und Ziele der Arbeit 

Der Bedarf an elektrischer Energie nimmt weiterhin stetig zu, wobei der Anstieg in 

Entwicklungsländern, die sich gerade an der Schwelle zur Industrialisierung befinden, 

besonders ausgeprägt ist. Aus verschiedenen Gründen kann der Ausbau elektrischer 

Übertragungsnetze und speziell der Bau neuer Übertragungsleitungen nicht mit der 

wachsenden Kraftwerksleistung und dem wachsenden Energiebedarf Schritt halten. 

Leitungstrassen sind vor allem in den Industrieländern besonders schwierig bereitzustellen, 

und die Beschaffung der notwendigen Genehmigungen kostet mehr Zeit denn je. 

Angesichts dieser Situation suchen die Netzbetreiber nach Möglichkeiten, die vorhandenen 

Leitungen besser ausnützen zu können bei gleichzeitiger Steigerung der Qualität der 

elektrischen Energie. Dabei gilt das Augenmerk vor allem zwei Bereichen. Erstens kommt es 

darauf an, die statische und dynamische Stabilität langer Übertragungsleitungen zu 

verbessern. Faktum ist, dass viele Übertragungsleitungen wegen ihrer relativ niedrigen 

Stabilitätsgrenzen bei weitem nicht bis zu ihrer natürlichen Belastbarkeit, geschweige denn 

bis zur thermischen Belastungsgrenze, belastet werden. Zweitens muss der Lastfluss in stark 

vermaschten Netzen verbessert werden, weil der „natürliche“ Lastfluss der sich aus den 

Lastverhältnissen und den vorhandenen Leitungsimpedanzen ergibt, die Übertragungsverluste 

nicht notwendigerweise niedrig hält. [1] 

Ziel der Diplomarbeit ist die Behandlung des Themas „Stabilität der elektrischen 

Energieübertragung“ und den damit verbundenen Problemen. 

Speziell soll dabei auf die statische Stabilität einer Kraftwerkseinspeisung über eine lange 

Freileitung in ein starres Netz eingegangen werden. Die Untersuchung soll sowohl von der 

theoretischen Seite (durch entsprechende Simulationsmodelle), als auch von der praktischen 

Seite her (durch Durchführung einer Laborübung mit Antriebsmaschine, Synchrongenerator, 

Blocktransformator, Freileitungsmodell und starrem, öffentlichen Netz) erfolgen. Zur 

Verbesserung der Stabilitätsverhältnisse für das Labormodell ist weiters auch ein geregelter 

Serienkondensator entwickelt und dimensioniert worden. Durch diese Laborübung sind die 

Studierenden dann in der Lage, die Auswirkungen der Freileitungslänge, des 

Spannungsreglers und eines gesteuerten Reihenkondensators auf die statische Stabilität der 

Versuchsanordnung selbst zu erarbeiten. 

Diplomarbeit 

3

Grundlagen 

2 Grundlagen 

2.1 Grundlagen der Übertragung elektrischer Energie 

2.1.1 Allgemeines 

Die primäre Energie (man spricht auch von Rohenergie) wird immer einem oder mehreren 

Umwandlungsprozessen unterworfen, bis sie dann beim Verbraucher als Nutzenergie zur 

Verfügung steht. Die Wahl des Energieträgers, der Energieübertragungseinrichtung und der 

Energieumwandlungsanlage wird dabei durch technische, wirtschaftliche und ökologische 

Faktoren bzw. Kriterien bestimmt. 

Man sollte also die Energie dem Verbraucher (in jeweils gewünschter Form) möglichst billig, 

in ausreichenden Mengen, mit entsprechender Zuverlässigkeit und mit möglichst geringer 

ökologischer Belastung zur Verfügung stellen. Da diese Forderungen aber an sich 

widersprüchlich sind kann meistens nur ein betriebswirtschaftliches, volkswirtschaftliches 

oder ökologisches Optimum angestrebt werden. [2] 

2.1.2 Technische Struktur von Elektrizitätsversorgungssystemen 

Jedes Elektrizitätsversorgungssystem lässt sich durch Hintereinanderschaltung folgender 

„Blöcke“ beschreiben: 

• Energieerzeugung (Erzeugung von elektrischer Energie in einem Kraftwerk) 

• Energieübertragung (Übertragung der elektrischen Energie mittels Freileitung oder 

Kabel mit Hochspannung) 

• Energieverteilung (ebenfalls mittels Freileitung oder Kabel mit Mittel- oder 

Niederspannung). 

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�� 

Abbildung 2-1 Struktur von Elektrizitätsversorgungssystemen 

2.1.3 Netzstrukturen und Spannungsebenen 

Je nach Übertragungslänge und Übertragungskapazität richtet sich die Übertragungsspannung 

der elektrischen Energieübertagung. 

Diplomarbeit 

4

Grundlagen 

Das Verbundnetz 

Netze der Verbundebene haben die Aufgabe der Übertragung elektrischer Energie über 

größere Entfernungen zwischen Erzeugungs- und Lastschwerpunkten. Durch 

grenzüberschreitenden Zusammenschluss ermöglichen sie die energiewirtschaftliche 

Kooperation zwischen den Mitgliedsländern der UCTE und vor allem die wechselseitige 

Aushilfe in Störfällen. Seit 1951 arbeiten auf dem westeuropäischen Festland die 

Verbundunternehmen auf partnerschaftlicher Basis im Rahmen der UCTE (Union pour la 

coordination du transport de l’electricité), um als oberstes Ziel „die Energie innerhalb ihres 

Einflussbereiches bestmöglich auszunutzen und die Versorgungssicherheit zu erhöhen“. Die 

Weiterverteilung der Einspeisung der 380(220)/110-kV-Umspannstationen und der 

angeschlossenen Kraftwerke mittlerer Größe an die Mittelspannungsebene und an wenige 

Großverbraucher übernimmt die Hochspannungsebene. Jedem 110-kV-Netz ist eine Vielzahl 

galvanisch getrennter Mittelspannungsnetze und in gleicher Weise jedem 

Mittelspannungsnetz eine Vielzahl galvanisch getrennter Niederspannungsnetze unterlagert. 

Das Mittelspannungsnetz 

Zur Mittelspannungsebene zählen in Österreich die 10-kV bis 35-kV-Ebene. Sie verteilen die 

aus der 110-kV-Ebene oder direkt angeschlossenen Kleinkraftwerken eingespeiste Energie. 

Alle Landes- und landeshauptstädtischen Gesellschaften sowie die meisten 

Sondergesellschaften betreiben Mittelspannungsnetze. 

Das Niederspannungsnetz 

Die Niederspannungsebene (einheitlich 0,4 kV) dient zur Belieferung der Endverbraucher. 

Alle Landes- und landeshauptstädtischen Gesellschaften sowie Regional- und Kommunal- 

Elektrizitätsunternehmen betreiben Niederspannungsnetze. 

2.1.4 Komponenten der Energieübertragung 

2.1.4.1 Die Freileitung 

[3], [4] 

2.1.4.1.1 Allgemeines 

Freileitungen und Kabel sind Betriebsmittel zur Übertragung elektrischer Energie. Welchem 

Betriebsmittel der Vorzug gegeben wird, hängt von den Einsatzbedingungen ab. In manchen 

Fällen ist die Verwendung von Kabeln zwingend vorgegeben, z.B. in Ballungsgebieten oder 

Diplomarbeit 

5

Grundlagen 

bei der Querung von Seen und Meeren. Andererseits gibt es Fälle, bei denen aus technischen 

Gründen nur Freileitungen in Frage kommen, z.B. bei größeren Entfernungen. Grundsätzlich 

sind aber die Investitionskosten für Freileitungen niedriger, und es können längere Strecken 

überbrückt werden. 

2.1.4.1.2 Grundsätzlicher Aufbau einer Freileitung 

Bis zu Betriebsspannungen von 30 kV sind die Freileitungsmaste als Beton-, Holz- oder 

Stahlrohrmaste ausgeführt. Für Hochspannungsleitungen werden Stahlgittermaste eingesetzt. 

Die Mastabstände werden hauptsächlich nach wirtschaftlichen Erwägungen festgelegt, so dass 

für jede Freileitung eine wirtschaftliche Spannweite ermittelt werden kann. Sie richtet sich 

nach den Kosten für Grunderwerb, Entschädigungen, Mastgestänge und Gründung und wird 

ferner, durch die gewählte Seilzugspannung und die Geländebeschaffenheit mitbestimmt. Die 

Formen der Freileitungsmaste sind sehr vielfältig. Prinzipiell können die Leiter in einer Ebene 

oder in mehreren Ebenen übereinander angeordnet sein. Während bei Leiteranordnungen in 

einer Ebene die Montage und Wartung einfacher ist, erfordert sie größere Trassenbreite 

gegenüber den Ausführungen in mehreren Ebenen. Die Maste werden für Einfach-, Doppel- 

oder Vierfachleitungen ausgeführt. Aufgrund des Trassenmangels besteht der Trend zu 

Mehrfachleitungen, wobei auch Leitungen unterschiedlicher Spannungsebenen auf einem 

Mast verlegt werden. Die Freileitungsseile müssen von den Masten getragen, in bestimmten 

Abständen abgespannt, über einen Winkel geführt und am Ende der Trasse aufgenommen 

werden. Für diese unterschiedlichen mechanischen Funktionen werden unterschiedliche 

Mastarten verwendet. 

Tragmast 

Steht in der geraden Leitungstrasse, trägt die Leiterseile und Isolatoren und kann nur 

senkrecht wirkende Kräfte aufnehmen. 

Abspannmast 

Steht in der geraden Leitungstrasse und kann waagrecht und senkrecht wirkende Kräfte 

aufnehmen. 

Winkelmast 

An Winkelpunkten der Leitungstrasse mit kleinen Abwinklungen sind Winkelmaste 

Tragmaste, bei großen Abwinklungen sind Winkelabspannmaste erforderlich. 

Endmast 

Steht an Endpunkten von Freileitungen und muss einseitig waagrechte Kräfte aufnehmen. 

Diplomarbeit 

6

Grundlagen 

2.1.4.1.3 Seile 

Die Auswahl der Leiterseile richtet sich in erster Linie nach den zu erwartenden 

Leiterströmen, wobei für jedes Seil in den Normen eine gültige Grenz-Strombelastbarkeit bei 

einer ganz bestimmten Seiltemperatur (80°C) festgelegt ist, die nicht überschritten werden 

darf. Mit Rücksicht auf die Stromwärmeverluste wird eine wirtschaftliche Stromdichte von 

Sw = 0,7 A/mm² bis 1,0 A/mm² angestrebt. Schließlich ist der Seildurchmesser zur 

Vermeidung von Glimmentladung so zu wählen, dass die effektive Randfeldstärke nicht 

größer als E=17 kV/cm wird. Bei Höchstspannungsleitungen wird diese Bedingung nur durch 

die Verwendung von Bündelleiter erreicht. 

Als Leiterwerkstoffe kommen Aluminium und Kupfer in Betracht, wobei auch Aluminium- 

Legierungen wie Aldrey verwendet werden. Für Hoch- und Höchstspannungsleitungen 

werden ausschließlich Verbundsseile verwendet, die aus einem Stahlseil bestehen, das mit 

Aluminiumadern umseilt ist. 

In Österreich wichtig: 220 kV 240/40 Alu /Stahl, 2er Bündelleiter (Al-Querschnitt von 

240 mm² und einem Stahl Querschnitt von 40 mm²). 

2.1.4.1.4 Ersatzschaltung und Kennwerte von Drehstromfreileitungen 

Die Ersatzschaltung einer Drehstromfreileitung (und die darin enthaltenen Elemente) richtet 

sich nach der Leitungslänge und der Nennspannung. Man unterscheidet: 

• Niederspannungsnetze, Mittelspannungsfreileitungsnetze bis 30 kV 

Hier kann man bei Lastflussberechnungen die Leitungskapazitäten vernachlässigen. Es 

genügt die Berücksichtigung der Längsimpedanz. 

Abbildung 2-2 Leitungsersatzschaltung ohne Berücksichtigung der Querimpedanzen 

Diplomarbeit 

7

Grundlagen 

• Hochspannungsnetze, Mittelspannungsfreileitungsnetze ab 30 kV 

Hier ist es notwendig bei Lastflussberechnungen die Leitungskapazitäten zu 

berücksichtigen. Dabei wird die Leitungskapazität als konzentriertes Element jeweils 

zur Hälfte an den Leitungsenden angenommen. Diese Ersatzschaltung gilt jedoch bei 

einer Netzfrequenz von 50 Hz bis 60 Hz nur bis zu einer Grenzlänge von ca. 300 km. 

Abbildung 2-3 Leitungsersatzschaltung mit konzentrierten Querimpedanzen 

1 

Z L = R L + jX L = λ ⋅ (R'+ 

jω⋅ 

L' ) = = Z3 

( 2-1) 

Y 

Y 

2 

Q 

j⋅ 

ω⋅ 

C'⋅λ 

= = Y1 

= Y2 

= 

2 

1 

Z 

1 

= 

1 

Z 

Systemadmittanzmatrix für die Leitung: 

Vierpolgleichung der Leitung in Admittanzdarstellung: 

2 

3 

( 2-2) 

⎛ Y2 

+ Y3 

− Y3 

⎞ ⎛ Y11 

Y12 

⎞ 

Y = ⎜ 

⎟ → ⎜ ⎟ 

Π 

( 2-3) 

⎜ 

⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 

− Y3 

Y1 

+ Y3 

⎠ ⎝ 

Y21 

Y22 

⎠ 

⎛ I1 

⎞ ⎛ U1 

⎞ 

⎜ ⎟ = ⋅ ⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

YΠ 

⎜ ⎟ 

⎝ 

I2 

⎠ ⎝ 

U 2 ⎠ 

Die wirksamen Eigen- und Kuppelimpedanzen werden nicht durch Inversion der gesamten 

Systemadmittanzmatrix gewonnen, sonder durch Inversion jedes einzelnen Elementes wie 

folgt berechnet: 

Eigenimpedanz: 

Kuppelimpedanz: 

Diplomarbeit 

νν 

( 2-4) 

1 

( νν = ( 2-5) 

Y 

Z ) 

1 

( = − 

( 2-6) 

Y 

Z νµ ) 

νµ 

8

Grundlagen 

RL 

XL 

• Bei größeren Leitungslängen ( l > 300 km) kann man ebenfalls die konzentrierte 

Darstellung der Elemente verwenden. Es sind jedoch an den Impedanzen 

entsprechende Korrekturen vorzunehmen. 

Wirkwiderstand (Ω) 

Z 

Z 

3 korr 

2 korr 

induktive Betriebsreaktanz (Ω) 

R’ Wirkwiderstandsbelag(Ω /km) 

L’ Induktivitätsbelag (H/km) 

l Leitungslänge (km) 

ω Kreisfrequenz (s -1 ) 

U1,2 Nennspannung (kV) 

YQ 

Yνν 

Queradmittanz (S) 

Eigenadmittanz (S) 

= Z 

3 

= Z 

2 

⋅ 

⋅ 

sinh 

tanh 

2 ⋅ Z 

2 ⋅ Z 

Z 

Z 

2 

Z 

3 

3 

2 ⋅ Z 

Yνµ 

2 

Z 

2 

3 

3 

2 ⋅ Z 

2 

Kuppeladmittanz (S) 

Z(νν) Eigenimpedanz (Ω) 

Z(νµ) Kuppelimpedanz (Ω) 

Z1,2,3 Impedanzen der Π- 

Ersatzschaltung (Ω) 

Y1,2,3 Admittanzen der Π- 

Ersatzschaltung (S) 

Z2,3korr Korrigierte Impedanzen der 

Π-Ersatzschaltung (Ω) 

Eine weitere Möglichkeit der Darstellung von langen Drehstromfreileitungen ist diejenige, der 

kontinuierlich verteilten Längs- und Querimpedanzen. 

Z 

W 

( 2-7) 

Z3 

⋅ Z2 

R'+ 

jω 

⋅ L' 

= = 

( 2-8) 

2 j⋅ 

ω⋅ 

C' 

γ = α + jβ = (R'+ 

j⋅ 

ω⋅ 

L' ) ⋅ j⋅ 

ω⋅ 

C' 

( 2-9) 

2 

∆ 

* 

w 

U 

S nat = ( 2-10) 

Z 

Diplomarbeit 

9

Grundlagen 

Hierbei wichtige Kennwerte sind: 

γ.......... Fortpflanzungskonstante (1/km) 

α..........Dämpfungsmaß ( Np/km) 

β..........Phasenmaß (rad/km) 

Zw........Wellenwiderstand (Betrag und Phase) 

Snat.......Natürliche Leistung (MVA und Phase) 

Natürliche Leistung 

Wird die Leitung mit ihrem Wellenwiderstand Zw abgeschlossen, man spricht in diesem Fall 

von einer angepassten Leitung, so muss der einspeisende Generator keine zusätzliche 

Blindleistung für die Leitung selbst bereitstellen. In jedem abweichenden Fall wirkt die 

Leitung als induktiver oder kapazitiver Blindverbraucher. Da der Generator nur für eine ganz 

bestimmte Nennscheinleistung Sn ausgelegt ist, geht der Blindleistungsbedarf der Leitung auf 

Kosten der noch übertragbaren Wirkleistung. Daneben verursachen die Blindströme in den 

Leitungswiderständen unerwünschte Übertragungsverluste. Daher ist immer der 

Energietransport über eine angepasste Leitung anzustreben (cos ϕ =1). Die in diesem Fall am 

Leitungsende abgenommene Leistung wird als „Natürliche Leistung“ bezeichnet.[5] 

Thermische Leistung 

Ist die nach Erwärmungskriterien der Leitung maximal übertragbare Leistung. Die 

Grenztemperatur eines St/Al-Leiterseiles bei einer Umgebungstemperatur von Tu=35°C 

beträgt 80°C. 

Diplomarbeit 

10

Grundlagen 

2.1.5 Betriebsbereiche von Synchrongeneratoren 

[8] 

Der betrachtete Generatorentyp soll eine Vollpolmaschine sein (Xd=Xq). Bei 

Vernachlässigung des ohmschen Widerstandes der Ständerwicklung (R1) erhält man aus der 

vereinfachten Ersatzschaltung der Synchronmaschine, die Spannungsgleichung für das 

Mitsystem: 

U = U + jX ⋅ I 

( 2-11) 

1 

p 

d 

1 

Daraus folgt für den Ständerstrom I1 der Maschine: 

U U 1 p 

I 1 = − j + j 

( 2-12) 

X X 

d 

d 

Abbildung 2-4 Einphasiges Ersatzschaltbild der Synchronmaschine (Vollpolmaschine, R1=0) 

Legt man den Zeiger U1 in die reelle, senkrechte Achse, so erhält man aus der Gleichung 

(2-12) für die Ortskurve des Ständerstromes einen Kreis mit dem Radius Up/Xd um die Spitze 

des Zeigers –jU1/Xd. Je nach Größe des Erregerstromes IE ergibt sich wegen UP ~ IE eine 

Schar von konzentrischen Kreisen als Stromortskurven der Synchronmaschine. 

Diplomarbeit 

11

Grundlagen 

Abbildung 2-5 Stromortskurve der Synchronmaschine ( Vollpolmaschine, R1=0) 

Für UpU1 und 

nicht zu großer Wirklast Blindstrom abgegeben wird. 

Entlang eines Kreises ist der Stromzeiger I1 durch den Polradwinkel ϑ festgelegt, der wie 

zwischen den Spannungen U1 und Ep auch zwischen den Stromkomponenten der Gleichung 

(2-12) auftritt. Bildet man die zu Abbildung 2-5 konjugiert komplexen Ströme und 

multipliziert diese mit der Ständerspannung U1 , so gewinnt man aus der Stromortskurve das 

Leistungsdiagramm der Synchronmaschine. [9] 

s=u1 i*=p ± jq (p.u) ( 2-13) 

Betriebsbereiche der Synchronmaschine (Vergleiche mit Abbildung 2-6), [9]: 

1 Betriebsgrenze mit Rücksicht auf die Polraderwärmung 

2 Grenze der Turbinenleistung 

3 natürlich statische Stabilitätsgrenze 

4 Praktische statische Stabilitätsgrenze 

5 Betriebsgrenze mit Rücksicht auf die Ständererwärmung 

Diplomarbeit 

12

Grundlagen 

Abbildung 2-6 Leistungsdiagramm eines Turbogenerators; Quelle: [9] 

Diplomarbeit 

13

Grundlagen 

2.2 Stabilität der elektrischen Energieübertagung 

[6], [7] 

2.2.1 Allgemeines 

Ein Synchrongenerator, der mit anderen Generatoren über ein Netz verbunden ist, befindet 

sich im synchronen Betrieb mit dem Netz und den anderen Maschinen, wenn seine elektrische 

Drehzahl ωo, die durch die mechanische Drehzahl ωm und die Polpaarzahl p gegeben ist, 

gleich der Winkelfrequenz der Netzspannung an dem Verbindungspunkt ist. Die 

Aufrechterhaltung des Synchronismus der einspeisenden Generatoren ist Voraussetzung für 

eine unterbrechungsfreie Energieversorgung. Die Eigenschaft eines Übertragungssystems, den 

Synchronismus zu bewahren, bezeichnet man als Stabilität. Unter gewissen Voraussetzungen 

ist es möglich, dass einzelne Maschinen ihre synchronisierenden Momente verlieren und 

außer Tritt fallen. Die Folgen sind große mechanische und elektrische Beanspruchungen der 

Maschine und Trennung vom Netz. Ereignisse dieser Art werden als Verlust der Stabilität der 

elektrischen Energieübertragung bezeichnet. 

2.2.2 Erläuterung des Stabilitätsproblems 

Ausgangspunkt jeder Stabilitätsuntersuchung ist immer der stationäre Betriebszustand des 

elektrischen Energieübertragungssystems, d.h. alle Größen, die zur Beschreibung des Systems 

verwendet worden sind, werden als konstante Größen angesehen. Stabilitätsprobleme können 

auftreten, wenn ein Generator über eine Übertragungsleitung in ein starres Netz speist. Starres 

Netz bedeutet, dass die Netzspannung weder in ihrem Betrag, noch in ihrer Phasenlage durch 

die Einspeisung des betrachteten Synchrongenerators beeinflusst wird. Ein starres Netz bzw. 

der Knoten eines starren Netzes kann auch folgendermaßen charakterisiert werden: Punkt mit 

unendlich hoher Kurzschlussleistung bzw. Knoten eines stark vermaschten Netzes, deren 

Einspeisung aus einer hohen Spannungsebene erfolgt. Im einzelnen werden folgende zwei 

Problemkreise unterschieden: 

• Statische Stabilität ( Steady-State-Stability ) oder „Stabilität im Kleinen 2 “ 

• Dynamische Stabilität ( Transient-Stability ) oder „Stabilität im Großen 3 “ 

2 Regelungstechnische Bezeichnung der Statischen Stabilität 

3 Regelungstechnische Bezeichnung der Dynamischen Stabilität 

Diplomarbeit 

14

Grundlagen 

2.2.3 Grenze der Energieübertragung 

Nimmt man zwischen Synchrongenerator und dem starren Netz ein Übertragungssystem 

gemäß Abbildung 2-3 an, so kann die vom Generator eingespeiste und die an das starre Netz 

abgegebene Leistung folgendermaßen hergeleitet werden: 

⎛ S1 

⎞ ⎛ U * 1 

⎜ ⎟ = ⋅ = ⎜ 

⎜ ⎟ 

U I 

⎜ 

⎝ 

S2 

⎠ ⎝ 

0 

1 

1 

* 

1 

* 

11 

0 ⎞⎛ 

Y 

⎟ 

⎜ 

U ⎟ 

2 ⎠⎝ 

Y 

1 

* 

2 

* 

11 

* 

21 

S = U ⋅ U ⋅ Y + U ⋅ U ⋅ Y 

2 

2 

* 

1 

* 

21 

2 

* 

2 

* 

12 

Y 

Y 

* 

22 

* 

12 

* 

22 

⎞ ⎛ U 

⎟ ⋅ 

⎜ 

⎠ ⎝ U 

* 

1 

* 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

( 2-14) 

S = U ⋅ U ⋅ Y + U ⋅ U ⋅ Y 

( 2-15) 

Realteil von S1 ergibt P1 bzw. Realteil von S2 ergibt P2 : 

2 1 

1 

Re( S1) 

= P1 

= U1 

cos( −Ψ( 

11) 

) + U1U 

2 cos( ϑ1 

− ϑ2 

− Ψ( 

12) 

) 

Z 

Z 

( 11) 

( 12) 

2 1 

1 

S2 

) = P2 

= U 2 cos( −Ψ( 

22) 

) + U 2U1 

cos( ϑ2 

− ϑ1 

− Ψ( 

21 ) 

( 2-16) 

Z 

Z 

Re( ) 

( 22) 

( 21) 

Winkelvereinfachungen der Form: α(νµ) = 90 ° − Ψ(νµ) 

( 2-17) 

wobei Ψ(νµ) der Impedanzwinkel ist, ergeben dann für die Wirkleistungen P1 und P2 

2 

U1 

U1U 

2 

P 1 = sin α( 

11) 

+ sin( ϑ12 

− α( 

12) 

) 

Z 

Z 

( 11) 

( 12) 

2 

P 2 

) 

( 22) 

( 12) 

U 2 

U1U 

2 

= − sin α( 

22) 

+ sin( ϑ12 

+ α( 

12 ) 

( 2-18) 

Z 

Z 

(Achtung: Zählpfeilsystem jetzt laut Abbildung 2-8): 

Diplomarbeit 

15

Grundlagen 

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Abbildung 2-7 Zusammenhang zwischen Leitungswinkel Ψ und Komplementärwinkel α 

Für die in das System hingeschickte Blindleistung Q1 und aus dem System herauskommende 

Blindleistung Q2 geht man prinzipiell gleichermaßen vor, der Imaginärteil von S1 ergibt die 

Blindleistung Q1 und der Imaginärteil von S2 die Blindleistung Q2. 

2 

U1 

U1U 

2 

Q 1 = cos α( 

11) 

− cos( ϑ12 

− α( 

12) 

) 

Z 

Z 

( 11) 

( 12) 

2 

Q 2 

) 

( 22) 

( 12) 

U 2 

U1U 

2 

= − cos α( 

22) 

+ cos( ϑ12 

+ α( 

12 ) 

( 2-19) 

Z 

Z 

P1 In die Leitung eingespeiste Wirkleistung(W) 

P2 An das starre Netz abgegebene Wirkleistung(W) 

Q1 In die Leitung eingespeiste Blindleistung(var) 

Q2 An die Last abgegebene Blindleistung(var) 

U1 Spannung am Leitungsanfang(V) 

U2 Spannung am Leitungsende (V) 

Z(11), Z(22) 

Eigenimpedanzen(Ω) 

Z(12) Kuppelimpedanz(Ω) 

ϑ12 Winkel zwischen U1 und U2(rad) 

α(12) Komplementärwinkel der Kuppelimpedanz Z(12) (rad) 

Die wirksamen Eigen- und Kuppelimpedanzen werden unter Berücksichtigung der 

Synchronreaktanz der Maschine und der Transformatorimpedanz berechnet. 

Diplomarbeit 

16

Grundlagen 

Da wir von einer Speisung des Synchrongenerators über eine Leitung in das starre Netz 

ausgehen, folgt für U1=Ep (Polradspannung) und U2=UN(Netzspannung) nach Faktorisierung 

in Form A1, A2 und B: 

A 

A 

1 

2 

E 

= 

Z 

U 

= 

Z 

2 

p 

( 11) 

2 

N 

( 22) 

E pU 

B = 

Z 

N 

( 12) 

sin α 

sin α 

( 11) 

22) 

P = A + 

P 

1 

2 

1 

= −A 

2 

B sin( 

+ 

ϑ 

B sin( 

12 

ϑ 

- α 

12 

(12) 

+ α 

) 

(12) 

) 

( 2-20) 

Abbildung 2-8 Generator speist über Leitung und Trafo in ein starres Netz, vereinfachtes (einpoliges) 

Ersatzschaltbild 

Wesentlich ist, dass die übertragbare Leistung begrenzt ist und sich eine sinusförmige 

Abhängigkeit von ϑ ergibt. Daraus folgt aber, dass es eine maximal übertragbare Leistung bei 

einem bestimmten Winkel ϑ geben muss. [6] 

P2max 2 

Für X>>R gilt α~0 � A1~0 ,A2~0 

Diplomarbeit 

� P1≈P2≈B sin(ϑ12) 

= −A 

+ B 

( 2-21) 

� P2max~B ( 2-22) 

17

Grundlagen 

2.2.4 Die statische Stabilität 

[6], [7] 

Ein elektrisches Energieübertragungssystem befindet sich im Zustand der statischen Stabilität, 

wenn es nach einer kleinen Störung in einem Zustand übergeht, der mit dem stationären 

Ausgangszustand identisch ist oder sehr nahe zu ihm liegt. Als kleine Störungen bezeichnet 

man eine Beeinflussung des Systems, die sich entweder zeitlich langsam ändert oder aber aus 

kleinen, schnellen Änderungen (z.B. kleine Drehmomentensprünge der Antriebsmaschine) 

besteht. Dadurch ist die Linearisierung der entsprechenden, das System beschreibenden 

Gleichungen gerechtfertigt. Demzufolge besteht die statische Stabilität in der Untersuchung 

des Gleichgewichtes zwischen Antriebsmoment der Turbine einerseits, und elektrischem 

Gegenmoment der Systemlast andererseits. 

P 

M = 

P 

E E 

E = ( 2-23) 

(ωo 

/p) ωm 

Bei ωo= konstant folgt aus Formel (2-23), dass ME proportional PE ist (gilt nur bei der 

Untersuchung kleiner oder sehr langsam veränderlicher Störungen). 

Der Fragenkomplex, der sich bei der statischen Stabilität stellt ist, wie weit die übertragene 

Leistung planmäßig langsam gesteigert werden kann, ohne das Stabilitätsverlust eintritt. Da in 

diesem Zusammenhang der Spannungsregler von Bedeutung ist, unterscheidet man zwischen 

• Natürliche statische Stabilität : bei konstanter Erregung der Maschine 

• Künstliche statische Stabilität : unter Berücksichtigung des Spannungsreglers 

Turbine Generator 

P T 

P E 

Leitung 

Trafo 

Abbildung 2-9 Schematische Ersatzschaltung zur statischen Stabilitätsuntersuchung 

Diplomarbeit 

Netz 

U,f = konst. 

18

Grundlagen 

Stationärer Zustand: Die Leistung PT0=PE0 wird übertragen und an ein starres Netz abgegeben. 

Index 0...stationärer Anfangszustand 

Index T...Turbine 

Index E...elektrisch 

Index res...resultierend 

Index m...mechanisch 

Gleichgewichtsbedingung im stationären Zustand: 

= M - M ( ϑ ) = 0 

( 2-24) 

M res T E 

Abbildung 2-10 Stabiler und labiler Betriebspunkt einer Kraftwerkseinspeisung in ein starres Netz 

Unter der Vereinfachung einer verlustlosen Übertragung gilt für das elektrische Drehmoment 

bzw. für die elektrische Leistung (für den stationären Anfangszustand) laut Formel (2-22): 

E pU 

N 

PE0 = ⋅ sin ϑ0 

= PE 

max ⋅ sin ϑ0 

( 2-25) 

X 

( 12) 

P P 

= ( 2-26) 

E0 Emax 

M E0 = ⋅ sinϑ0 

ωm0 

ωm0 

Diplomarbeit 

19

Grundlagen 

Jetzt kann durch eine externe Störung der Polradwinkel von ϑ0 auf ϑ0+∆ϑ zunehmen 

(Turbinenmoment MT bleibt konstant). Deshalb ändert sich das elektrische Moment ME0 um 

∆ME. 

Vor der Störung: = M − M ( ϑ ) = 0 

( 2-27) 

M res0 T0 E 0 

Nach der Störung um: ∆Mres= MT0-(ME0(ϑ0)+ ∆ME)= - ∆ME ( 2-28) 

Da nur kleine Polradänderungen untersucht werden, kann Gleichung (2-28) linearisiert werden. 

⎛ ∂M 

E ⎞ PEmax 

∆M E = ⎜ ⎟ ⋅ ∆ϑ 

= ⋅ cosϑ0 

⋅ ∆ϑ 

= k ⋅ ∆ϑ 

⎝ ∂ϑ 

⎠ ω 

ϑ= 

ϑ 

0 

m0 

k...Konstante ( 2-29) 

Somit kann das resultierende Moment ∆Mres entsprechend (2-28) berechnet werden und lautet: 

∆Mres= - k ∆ϑ ( 2-30) 

Da eine positive Polradänderung einer Entlastung des Synchrongenerators entspricht (d.h. 

Beschleunigung des Polrades), muss für den statisch stabilen Betrieb das resultierende 

Moment ∆Mres negativ sein. 

�der Störung wird entgegengewirkt 

�das Polrad wird abgebremst 

Ist jedoch die Polradänderung negativ d.h. die Maschine wird zusätzlich belastet, so wird das 

Polrad zunächst abgebremst. Für die Aufrechterhaltung der statischen Stabilität muss nun das 

resultierende Moment ∆Mres positiv sein. 

�der Störung wird entgegengewirkt 

�das Polrad wird beschleunigt 

Aus Gleichung (2-29) bzw. (2-30) folgt, dass diese beiden Bedingungen nur im Bereich 

0≤ϑ0< 90° ( 2-31) 

erfüllt sind. Man bezeichnet diesen Bereich als „statisch stabilen Betriebsbereich“. 

Diplomarbeit 

20

Grundlagen 

Der instabile Betriebsbereich ist durch die Grenzen 

90° 0 

⎝ d ⎠ 

Daraus folgt für den Übertragungswinkel : 

bzw. 

Diplomarbeit 

⎛ dP ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ d 

2 

ϑ ⎠ϑ= 

ϑ 

0 

E pU 

= cos( ϑ 

Z 

0grenz 

(12) 

= 90° − α 

12 

(12) 

+ α 

(12) 

) > 0 

ϑ ϑ= 

ϑ 

0 

( 2-33) 

( 2-34) 

ϑ ( 2-35) 

21

Grundlagen 

2.2.4.1 Die künstlich statische Stabilität 

2.2.4.1.1 Allgemeines 

Wird der Generator in Verbindung mit einem Spannungsregler betrieben, der die Aufgabe hat, 

die Klemmenspannung der Synchronmaschine unabhängig vom Belastungszustand konstant 

zu halten, so spricht man von der künstlich statischen Stabilität. Die Spannungsregelung des 

Generators wirkt sich günstig auf die Stabilität des Netzes aus. Bei künstlich stabilisiertem 

Betrieb kann ein Generator dann bei einem Polradwinkel größer als 90° stationär arbeiten. 

2.2.4.1.2 Einsatz des Spannungsreglers zur Verbesserung der statischen Stabilität 

Ziel des Spannungsreglers ist das Konstanthalten der Generatorklemmenspannung 

(unabhängig von der Belastung), durch genügend schnelle Veränderung der Erregung der 

Synchronmaschine. Die Grenze der künstlich statischen Stabilität hängt jetzt neben den 

Eigenschaften des Synchrongenerators auch von dem Erregersystem und dem Regler ab. Um 

aber jetzt eine Verbesserung der statischen Stabilität zu erzielen, werden an 

Synchronmaschine, Erregersystem und Spannungsregler gewisse Anforderungen gestellt: 

Anforderungen an die Synchronmaschine: 

Anforderungen an das Erregersystem: 

Anforderungen an den Spannungsregler: 

Diplomarbeit 

• Kleine elektrische Zeitkonstanten 

• Große mechanische Zeitkonstanten 

• Große maximale 

Erregungsgeschwindigkeit vE (wenn 

Erregerspannung von einer 

Erregermaschine geliefert wird) 

• Kleine mittlere Totzeit (wenn 

Stromrichtererregung vorliegt) 

• Hohe Kreisverstärkung V0 

• Kleine Zeitkonstanten 

22

Grundlagen 

Abbildung 2-12 zeigt die mögliche Ersatzschaltung eines Erregersystems, bestehend aus einer 

Drehstromerregermaschine, welche auf der Welle des Maschinensatzes mitläuft und eine 

nachgeschaltete, mitrotierende Diodenbrücke besitzt. 

1~ 

EM 

3~ 

Gittersteuersatz 

Uf 

Ep 

Spannungsregler 

Abbildung 2-12 Erregersystem mit Drehstromerregersystem und Dioden 

G 

3~ 

Xd 

∆U1 

Z-Matrix 

(Leitung,Transformator) 

U1 U 

Ist 

Netz 

U1 Soll 

Das Eingangssignal ∆U1 für den Spannungsregler wird über einen Spannungswandler und 

einen Soll-/Istwertvergleich gebildet. Als Stellglied wird die über eine Thyristorbrücke 

gespeiste Erregerwicklung der Drehstromerregermaschine (EM) verwendet. [10] 

Einfluss des Verstärkungsfaktors V0 und des Reglertyps auf die Grenze der künstlich 

statischen Stabilität [9] 

Die Ergebnisse der Simulation von Abbildung 2-12 zeigt die Abbildung 2-13. Hier wurde die 

Auswirkung eines P - und PID – Reglers bei unterschiedlichen Leerlaufverstärkungen V0 

untersucht. 

Für die Simulation verwendete Daten: 

Synchronmaschine : Sn = 1500MVA, f=60 Hz, Un=26 kV, cos φn= 0.9 

xq = xd = 1.93 (p.u), xd’ = 0,25 (p.u) 

Td’ (transiente Zeitkonstante der Synchronmaschine) = 0,62s 

TJ (Anlaufzeitkonstante) = 7,5s 

Blocktransformator: STr = 1500 MVA, XT = 0,15 (p.u) 

Erregermaschine und Regler: TE =0,5 s (Ersatzzeitkonstante der Erregermaschine u. des 

Reglers) 

Netz: XN = 0,15 (p.u) 

Diplomarbeit 

23

Grundlagen 

Die Darstellung der Simulationsergebnisse erfolgt, wie im Kapitel 2.1.5 erläutert durch das 

Leistungsdiagramm der Synchronmaschine. Werden diese Kurven mit der natürlich statischen 

Stabilitätsgrenze in Abbildung 2-6 verglichen, kann man eine wesentliche Erweiterung der 

Grenzen der statischen Stabilität feststellen. 

Strichlierte Linie...P-Regler bei 

V0=100 bzw. 200 

Durchgezogene Linie...PID-Regler bei 

V0=100 bzw. 200 

Abbildung 2-13 Grenze der statischen Stabilität im Leistungsdiagramm; Quelle: [9] 

Auswirkung der Netzreaktanz XN auf die Grenze der künstlich statischen Stabilität [9] 

Aus Abbildung 2-14 ist ersichtlich, dass die Vergrößerung des künstlich statischen 

Stabilitätsbereiches über 90 ° auch dann noch gelingt, wenn der Kraftwerksblock über eine 

große, äußere Netzreaktanz XN seine Leistung abgibt. 

Abbildung 2-14 Einfluss der Netzreaktanz XN und der Ersatzzeitkonstante TE des Erregersystems; Quelle: 

[9] 

Diplomarbeit 

24

Grundlagen 

Auswirkung einer zusätzlichen Störgrößenaufschaltung auf die Grenze der künstlich 

statischen Stabilität 

Eine zusätzliche Aufschaltung des Spannungsreglers mit Signalen proportional zum Schlupf 

und zur Beschleunigung des Synchrongenerators bringt eine weitere Verbesserung der 

natürlich statischen Stabilität mit sich. Diese Störgrößenaufschaltung bewirkt auch eine 

Minderung der Leistungspendelungen (Dämpfung der Polradpendelungen). 

Abbildung 2-15 Einfluss des Reglers und der Störgrößenaufschaltung; Quelle: [9] 

2.2.4.1.3 Das Problem der Polrad- und Wirkleistungspendelungen 

[10],[11] 

Die Spannungsregelung kann sich aber auch ungünstig auf die statische Stabilität auswirken. 

Setzt man nämlich eine schnell wirkende Erregereinrichtung (z.B. mit einer von der 

Generatorklemme gespeisten Thyristorbrücke) mit hoher Kreisverstärkung zur 

Spannungsregelung ein, so kann es vorkommen, dass das dämpfende Moment negativ wird. 

Es kommt zu Polrad- und Wirkleistungspendelungen des Generators mit einer Frequenz von 

0,1 bis 2,5 Hz. Wird eine solche, unzureichend gedämpfte Synchronmaschine in Verbindung 

mit einem Antrieb mit pulsierendem Antriebsmoment eingesetzt, so kann eine Anregung im 

Bereich der Pendeleigenfrequenz zu einem außer Tritt fallen der Synchronmaschine führen. 

Diplomarbeit 

25

Grundlagen 

Geeignete Einrichtungen bzw. Maßnahmen zur Minderung dieser Polrad- und 

Wirkleistungspendelungen sind: 

� Verwendung der zusätzlichen Störgrößenaufschaltung, 

� optimale Einstellung des Spannungsreglers 

� Verwendung von sogenannten Power Stabilizer 

� Verwendung von FACTS - Elementen 

2.2.4.1.4 Polradwinkelbewegung eines Synchrongenerators bei unterschiedlichen 

Zustandsänderungen (schematisch) 

[10] 

Abbildung 2-16 Vergleich der Polradbewegungen eines Synchrongenerators bei unterschiedlichen 

Zustandsänderungen; Quelle: [10] 

1 Monotone statische Instabilität z.B. Synchronmaschine ohne Regler bei Überschreiten 

der statischen Stabilitätsgrenze von 90°. 

2 Oszillatorische statische Instabilität z.B. unzureichend gedämpfte Synchronmaschine 

mit Spannungsregelung in Verbindung mit einem pulsierenden Lastmoment 

3a Abklingende Pendelung des Polrades nach dreipoligen Kurzschluss mit geringer 

Kurzschlussdauer ohne automatische Wiedereinschaltung (AWE). Der stationäre 

Zustand nach der Störung weicht von dem vor der Störung ab. 

3b Abklingende Pendelung des Polrades nach dreipoligen Kurzschluss mit AWE. Der 

stationäre Zustand nach der Störung ist identisch mit dem vor der Störung. 

4 Verlust der dynamischen Stabilität, z.B. Netztrennung ohne Lastsprungrelais. 

Diplomarbeit 

26

Grundlagen 

2.2.4.1.5 Verlust der Stabilität 

[10] 

Bei Verlust der statischen, als auch der dynamischen Stabilität sind große elektrische und 

mechanische Beanspruchungen für Generator und Turbine zu erwarten. Die 

Klemmenspannung des Generators bricht rhythmisch zusammen und kann nicht mehr auf 

ihren Sollwert hin geregelt werden. Der Generatorstrom ist bei nichtsynchronem Betrieb 

wegen der Phasenverschiebung der Generator- und Netzspannung zeitweilig wesentlich höher 

als der Anfangskurzschlusswechselstrom. Bei kleinen Maschinen kann mit Rücksicht auf die 

Generatorbeanspruchung (Erwärmung der Dämpferwicklung und der Polkappen) ein 

Asynchronlauf von einigen Sekunden zugelassen werden. Der Generatorschutz muss deshalb 

den Generator nicht unmittelbar nach dem Stabilitätsverlust vom Netz trennen. In günstigen 

Fällen kann nämlich nach einem kurzen Asynchronlauf Resynchronisation auftreten, während 

in ungünstigen Fällen und bei längerer Dauer keine Aussicht auf Resynchronisation besteht. 

Maschinen größerer Leistung müssen wegen der großen mechanischen Beanspruchung der 

Welle sofort bei Stabilitätsverlust vom Netz getrennt werden. 

Diplomarbeit 

27

Grundlagen 

2.2.5 Dynamische Stabilität 

[6] 

Darunter versteht man den Verlust der Stabilität der elektrischen Energieübertragung als 

Folge von raschen Zustandsänderungen wie z.B. Kurzschlüssen, Abschaltungen oder 

Laststößen. 

Da bei solchen Vorgängen, die mit der Erregerwicklung und Dämpferwicklung der Maschine 

verketteteten Flüsse nicht mehr den auftretenden Durchflutungen ohne Zeitverzögerung 

folgen können, sind hier die transienten Maschinenkonstanten maßgebend und für die 

Berechnung der Leistungen die transienten Spannungen als konstant anzunehmen. 

Für das Übertragungsmodell nach 2.2.3 sind also für Berechnung der Kuppel- und 

Eigenimpedanzen die transienten Maschinenreaktanzen Xd’ zu verwenden. Weiters sind auch 

transiente Spannungen zu verwenden (U1=Ed1’). 

Allgemein steht die dynamische Stabilität mit folgenden Fakten im Zusammenhang: 

Lastflusszustand : Die dynamische Stabilität ist umso sicherer gewährleistet, 

• je kleiner die übertragene Leistung ist 

• je kürzer die Übertragungsleitung und damit je kleiner der 

Polradwinkel ist. 

Art der Störung: Nach der Schwere der Störung gilt folgende Reihung 

Kenngrößen der 

• 3-poliger Kurzschluss 

• 2-poliger Erdkurzschluss 

• 2-poliger Kurzschluss ohne Erdberührung 

• 1-poliger Erdfehler 

Es gilt: Je kürzer die Abschaltzeit für den Fehler ist, desto günstiger ist 

die Situation. 

Maschinen : Die dynamische Stabilität ist umso sicherer gewährleistet, 

Diplomarbeit 

• je größer die Anlaufzeitkonstante ist (Trägheitsmoment) 

• je kleiner die transiente Reaktanz Xd’ ist 

• je schneller der Spannungsregler reagiert. 

28

Grundlagen 

Die Aufgabe der dynamischen Stabilitätsuntersuchung ist es festzustellen, in wie weit ein 

System von Synchronmaschinen bei Netzstörungen oder Schalthandlungen stabil bleibt. Das 

dynamische Verhalten eines Turbinen-Generatorsatzes am Netz kann durch folgende 

Differentialgleichungen beschrieben werden. 

ϕ = ϑ + ω 

0 

t 

1 dϕ 

∆f = f − f0 

= 

2π dt 

2 

Θ d ϑ D d ϑ 

+ + M 

2 

p dt p dt 

Für : T 

und C 

D 

A 

2 

n 

ω 

= 

p S 

2 

n 

ω 

= 

p S 

rG 

rG 

Θ 

p 

D 

p 

, 

E 

P 

= M 

T 

T 

ωn 

= 

p 

M 

T 

, 

dϕ 

dϑ 

ω = = + ω 

dt dt 

P 

E 

ωn 

= 

p 

folgt für die Bewegungsgleichung eines Generators am Netz: 

d 

ϑ 

d ϑ 

M 

ω 

T A 

2 

2 

dt 

+ CD 

dt 

+ n PE 

= 

SrG 

E 

0 

ω 

S 

n 

rG 

P 

T 

( 2-36) 

( 2-37) 

( 2-38) 

Die Anlaufzeitkonstante (TA) kennzeichnet jene Zeit, in der die Turbinen-Generatoreinheit 

vom Stillstand, bei konstantem Nenn-Antriebsmoment (MT,n) ohne Belastung, auf 

Nenndrehzahl (ωn) beschleunigt. 

Es gilt: Je größer TA ist, desto mehr kinetische Energie kann die Turbinen-Generatoreinheit in 

ihren Schwungmassen speichern und desto „träger“ bzw. stabiler verhält sich das System in 

bezug auf einwirkende Störungen. 

Turbine Generator 

Θ 

T 

P 

T 

Θ G 

PE 

Leitung 

fo 

Netz 

Abbildung 2-17 Schematisches Ersatzschaltbild zum dynamischen Verhalten eines Kraftwerkes am Netz 

Diplomarbeit 

29

Grundlagen 

2.2.5.1 Beurteilung der dynamischen Stabilität - Der Flächensatz 

Durch Vernachlässigungen der Dämpfung und Verwendung der Leistungen anstatt des 

Momentes, reduziert sich die Bewegungsgleichung des Generators am Netz auf folgende 

Form: 

∆P = P 

A 

T 

ω n c = 

T S 

− P 

Durch Integration erhält man dann: 

rG 

E 

d ϑ 

= 

dt 

2c 

ϑ 

∫ 

ϑ 

0 

∆P 

dϑ 

T 

A 

2 

d ϑ ω 

= 2 

dt S 

2 

d ϑ 

= c ∆P 

2 

dt 

n 

rG 

(P - P ) 

T 

E 

( 2-39) 

( 2-40) 

Das System ist dann als dynamisch stabil anzusehen, wenn der Polradwinkel ϑ (t) nach 

vorübergehender Vergrößerung einen Beharrungspunkt erreicht und dann wieder in seine 

stationäre Endlage zurückkehrt. Dies ist dann der Fall, wenn nach einer gewissen Zeit ein 

Zustand auftritt, für den gilt: 

d ϑ 

= 

dt 

2c 

ϑ 

∫ 

ϑ 

0 

c ∆P 

dϑ 

= 0 

und daraus ergibt sich für den rechten Teil der Gleichung folgende Bedingung, die auch als 

„Flächensatz“ bezeichnet wird: 

ϑ 

2 

∫ 

ϑ 

0 

∆P dϑ 

= 0 

( 2-41) 

( 2-42) 

Findet man jetzt zu einem vorgegebenen Winkel ϑ0 einen Winkel ϑ2, für den das Integral der 

Differenzleistungen über den Polradwinkel zu Null wird, so bezeichnet man den 

elektromechanischen Ausgleichsvorgang als „dynamisch stabil“. Lässt sich hingegen kein 

Winkel ϑ2 finden, so ist der Vorgang dynamisch instabil. 

Diplomarbeit 

30

Grundlagen 

Der geschilderte Flächensatz gestattet somit die Beurteilung der Stabilität mittels eines 

graphischen Verfahren (Planimetrieren der Flächen). Da bei Mehrmaschinenproblemen der 

Flächensatz nicht mehr angewendet werden kann, wird hier zur Integration der 

Differentialgleichung das sogenannte „Teilschrittverfahren“ angewendet. Dies ist ein 

numerisches Verfahren zur Lösung der Differentialgleichung. [6] 

Diplomarbeit 

31

Grundlagen 

2.3 Systeme zur Verbesserung der Stabilität 

2.3.1 Die Serienkompensation mit Fix-Kondensator 

Eine wichtige Möglichkeit, die übertragbare Wirkleistung unter Einhaltung der statischen 

Stabilität zu vergrößern, ist die Kompensation der Leitung durch den Einbau von 

Reihenkondensatoren. Bei einer verlustlosen Leitung ist die Längsimpedanz Z12, die im 

wesentlichen durch die Reaktanz X12 bestimmt wird, zwischen den Klemmen 1 und 2 des 

Übertragungsnetzes für die maximale übertragbare Leistung Pmax entscheidend. Diese 

Reaktanz setzt sich im wesentlichen aus der Synchronreaktanz des Generators, und aus den 

Längsreaktanzen der einzelnen Übertragungselemente zusammen. Durch das 

Zwischenschalten eines Reihenkondensators kann jetzt die resultierende Längsreaktanz durch 

die negative Reaktanz Xc des Kondensators verkleinert werden. 

Die maximale übertragbare Leistung wird so durch die Verminderung der Kuppelreaktanz 

X(12) erhöht. Wegen dieser Erhöhung kann bei gleichem Übertragungswinkel eine größere 

Leistung übertragen werden als ohne den Reihenkondensator. Bei gleicher Leistung ergibt 

sich ein kleinerer Übertragungswinkel und damit eine Verbesserung der statischen Stabilität. 

Rein theoretisch wäre es möglich, durch den Reihenkondensator die Kuppelimpedanz Z12 bis 

auf ihre ohmschen Widerstände zu reduzieren. Eine derartige Verringerung ist aber 

keineswegs erwünscht, da dann im Falle eines Kurzschlusses der Strom nur noch durch die 

geringen ohmschen Widerstände begrenzt würde. Es wird deshalb nur soweit kompensiert, 

wie es für die statische Stabilität nötig ist .[7] 

XC 

Üblicher Kompensationsgrad k = ⋅ 100 ≤ 70% 

X 

Positionierung des Reihenkondensators[12] 

Theoretisch kann der Reihenkondensator überall entlang der Leitung positioniert werden. 

Beeinflussende Faktoren für die Wahl der Positionierung sind: 

� Kosten 

� Zugänglichkeit 

� Zuverlässigkeit 

� Spannungsprofil 

Diplomarbeit 

L 

32

Grundlagen 

In der Praxis jedoch kommen nur folgende Einbauorte in Betracht: 

� In der Mitte der Leitung 

� Am Ende der Leitung 

� Aufteilen (Splitting) am Anfang und am Ende der Leitung 

Mit Hilfe der Serienkompensation ist es also möglich geworden, die Übertragungskapazität 

eines Hochspannungsnetzes durch niedrige Investitionskosten und durch eine kurze 

Installationszeit (im Vergleich zu einem Leitungsneubau! ) zu erhöhen. 

Abbildung 2-18 Typische Reihenkompensationsschaltung mit Reihenfestkondensator, MOV- 

Schutzbeschaltung, Dämpferkreis, Funkenstrecke und Umgehungsschalter; Quelle: [12] 

Der nichtlineare Widerstand (R) hat die Aufgabe, den Kondensator im Fehlerfall gegen 

Überspannung zu schützen. Als Ersatzschutz kann auch eine Funkenstrecke (G) vorhanden 

sein. Der Umgehungsschalter wird benötig, um den Kondensator gezielt in die Leitung oder 

aus der Leitung zu schalten oder um den Lichtbogen an der Funkenstrecke zu löschen. Der 

Dämpferkreis (D) begrenzt den Kondensatorentladestrom und absorbiert die 

Kondensatorenergie. 

Abbildung 2-19 Serienkompensation eines 500- kV-Übertragungsabschnittes in Argentinien 

Diplomarbeit 

33

Grundlagen 

2.3.2 Thyristor gesteuerter Reihenkondensator 

2.3.2.1 Allgemeines 

Die Kompensation von Übertragungsleitungen kann mit festen oder mit steuerbaren 

Reihenkondensatoren erfolgen. Durch die ständige Weiterentwicklung der 

Leistungselektronik (Thyristortechnik) ergab sich auch für die Serienkompensation eine 

weitere Möglichkeit sich zu verbessern. [7] 

Der thyristorgesteuerte Reihenkondensator (Thyristor Controlled Series Capacitor, TCSC) ist 

ein Mitglied der Familie der FACTS - Elemente. Die Abkürzung FACTS steht für Flexible 

AC-Transmission System und ist der Überbegriff von Betriebsmittel, welche durch den 

Einsatz von Leistungselektronik eine sehr schnelle Veränderbarkeit ihrer elektrischen 

Parameter ermöglichen und daher für vielfältige Regelungsaufgaben in elektrischen 

Energieversorgungsnetzen herangezogen werden können. 

Die wesentlichen Vorteile des TCSC gegenüber dem nicht-steuerbaren Reihenkondensator 

sind: 

• Minderung von untersynchronen Resonanzen (Sub Synchronous Resonance) 

• Dämpfung von Leistungspendelungen 

• Dynamische Lastflussregelung 

Minderung von untersynchronen Resonanzen 

Durch den Einsatz von Reihenkompensationsanlagen kann man das Verhalten des 

Hochspannungsnetzes in bezug auf Spannungs- und Winkelstabilität verbessern. Allerdings 

könnte damit gleichzeitig eine elektrische Resonanz in das System eingebracht werden. Die 

Erfahrung hat gezeigt, dass sich eine solche elektrische Resonanz und mechanische 

Drehresonanzen, wie sie im Turbinen - Generator- Wellensystem in thermischen Kraftwerken 

auftreten, unter bestimmten Bedingungen gegenseitig beeinflussen können. Solch eine 

gegenseitige Beeinflussung kann zu einer weitern Steigerung der mechanischen 

Beanspruchung der Welle führen. Bei diesen Resonanzbeeinflussungen spricht man von dem 

Phänomen der untersynchronen Resonanz (Sub Synchronous Resonance, SSR). Heute wird 

das Problem SSR gut beherrscht und bei der Auslegung von Reihenkompensationsanlagen 

berücksichtigt. Manchmal können die SSR-Bedingungen den Kompensationsgrad 

einschränken, der für ein besseres Netzverhalten notwendig wäre. 

Diplomarbeit 

34

Grundlagen 

Durch den Einsatz von TCSC lassen sich nun derartige Einschränkungen mildern, indem der 

TCSC im Bereich des untersynchronen Frequenzbandes ein induktives Verhalten aufweist. 

Dadurch wird die Übertragung von Serienresonanzen im Übertragungssystem für SSR- 

Frequenzen unmöglich. [13] 

Abbildung 2-20 Torsionsschwingungen im Wellenschaft verursacht durch das Resonanzverhalten des 

elektrischen Systems; Quelle: [13] 

Abbildung 2-21 SSR Minderung durch den TCSC; Quelle:[13] 

Diplomarbeit 

35

Grundlagen 

Dämpfung von Leistungspendelungen[13], [14] 

Leistungspendelungen in Hochspannungsnetzen kommen in einem Korridor zwischen 

Erzeugungsgebieten als Resultat einer schwachen Dämpfung der Kuppelleitung, speziell 

während starken Leistungsübertragungen, vor. Die Erregung solcher Schwingungen kann eine 

Vielzahl von unterschiedlichen Ursachen haben. Dazu zählt man z.B. konstruktiver Aufbau 

des Generators, schlecht eingestellte Regelparameter des Spannungsreglers, Schalthandlungen 

im Netz, Laständerungen oder Netzstörungen. Das Vorhandensein von Leistungspendelungen 

führt zu einer Begrenzung der Übertragungskapazität von Kuppelleitungen zwischen 

Bereichen, Regionen und sogar auch Ländern. Es ist natürlich möglich durch Bau neuer 

Übertragungsleitungen oder Ausbau bestehender Systeme eine Behebung dieses Problems zu 

erzielen, aber das kostet viel Zeit und Geld und scheitert sehr oft auch an der Beschaffung der 

notwendigen Genehmigungen. Die Folge von solchen Leistungspendelungen ist im 

schlechtesten Fall (bei einer Aufschaukelung der Schwingungen) der Verlust der Stabilität 

und somit die Trennung des Generators vom Netz. Siehe dazu auch 2.2.4.1.3 und 2.2.4.1.5 . In 

manchen Fällen ist es sinnvoll Netzstabilisatoren (Power System Stabilizer , PSS) an den 

Generatoren zu installieren, aber im Falle von überregionalen Leistungspendelungen (typische 

Frequenz von 0,2 – 0,7 Hz) bietet auch diese Variante keine Abhilfe mehr. Unter einem 

Netzstabilisator versteht man einen Spannungsregler, der neben der Klemmenspannung als 

Reglereingangssignal noch eine zusätzliche Aufschaltung mit Signalen proportional zum 

Schlupf und zur Beschleunigung des Synchrongenerators verwendet. In jedem Fall ist die 

Verwendung eines TCSC eine attraktive Abhilfe zur Lösung dieses Problems. Der TCSC 

bietet somit eine kosteneffektive Dämpfung von Leistungspendelungen. In vielen Fällen ist 

die Verwendung eines TCSC die einzige, durchführbare Lösung des Problems der 

Leistungspendelungen in Hochspannungsnetzen. 

Abbildung 2-22 Durch einen Kurzschluss angeregte Leistungspendelung auf einer 500-k-V Leitung; 

Quelle: [13] 

Diplomarbeit 

36

Grundlagen 

Abbildung 2-23 Gedämpfte Leistungspendelung durch Verwendung eines TCSC; Quelle: [13] 

Lastflussregelung 

In gekuppelten Netzen ist der aktuelle Leistungsaustausch von einer Region zur anderen nur 

von der Impedanz der Übertragungsleitung, welche diese Regionen verbindet, abhängig. 

TCSC erlauben nun den Leistungsfluss zwischen Regionen, bei welchen sich die 

Netzzustände sehr schnell und stark ändern, zu optimieren. Es wird möglich den 

Leistungsfluss zu steuern und somit eine große Anzahl von Vorteilen zu erzielen wie: 

Diplomarbeit 

� Minimierung der Verluste 

� Reduzierung von Kreisströmen 

� Verhinderung von Leitungsüberlastung 

� Steuerung der Leistung entlang eines vorgegebenen Pfades 

� Optimierung von Lastteilung (Umschaltung) zwischen parallelen Leitungen 

37

Grundlagen 

2.3.2.2 Aufbau eines TCSC 

Der thyristorgesteuerte Reihenkondensator (TCSC) besteht aus einer thyristorgesteuerten 

Drosselspule (TCR), welche mit Segmenten einer Kondensatorbatterie (C) parallel geschalten 

ist. Die Kondensatorbatterie für jede Phase ist dabei auf einer Plattform montiert, um die 

notwendige Isolation gegen Erde zu gewährleisten. Die Drosselspule ist als Luftdrosselspule 

ausgeführt und parallel zum Kondensator ist ein Metalloxidvaristor (MOV) geschaltet, der die 

Aufgabe hat den Kondensator gegen Überspannungen zu schützen. 

Abbildung 2-24 Thyristorventile und thyristorgesteuertes Segment von Reihenkondensatoren; 

Quelle:[13] 

Abbildung 2-25 Wesentliche Komponenten eines TCSC 

Diplomarbeit 

38

Grundlagen 

2.3.2.3 Wirkungsweise eines TCSC 

[12], [15] 

Das Herzstück bzw. die Hauptsteuereinheit des TCSC ist eine Drosselspule, die in Serie mit 

zwei antiparallelen Thyristoren geschalten ist. Man nennt diese Anordnung auch TCR 

(Thyristor Controlled Reactor). Der TCR gehört zur Gruppe der statischen Kompensatoren 

und kann durch genügend schnelle Ansteuerung der Thyristoren eine schnelle Bereitstellung 

von Blindleistung ermöglichen. 

Abbildung 2-26 Elektrisches Ersatzschaltbild eines TCR 

Die Thyristoren leiten abwechselnd jeweils in einer halben Periode der Netzfrequenz. Die 

Dauer, welche ein Thyristor im leitenden Zustand verbleibt, hängt vom Zündwinkel α ab. Der 

Zündwinkel des TCR ist definiert als der Winkel in Grad zwischen dem positiven 

Nulldurchgang der Spannung und dem positiven Nulldurchgang des Ventilstromes. 

Diplomarbeit 

39

Grundlagen 

Abb. a) Werden die Thyristorventile bei einem 

Zündwinkel von 90 ° gezündet, so bleibt der 

Stromfluss über die ganze Periode aufrecht. Der Strom 

ist der Spannung um 90° nacheilend und rein 

sinusförmig. 

Abb. b), c) Partiell (teilweise) leitende Ventile erhält 

man bei einem Zündwinkel zwischen 90° und 180°. 

Der Stromflusswinkel des Thyristors wird definiert als 

σ und ergibt sich aus: σ = 2(π-α) 

Abbildung 2-27 Kurvenform des Thyristorstromes bei verschiedenen Zündwinkeln; Quelle: [12] 

Der Augenblickswert des Stromes ist gegeben durch 

⎧ 

⎪ 

i = ⎨ 

⎪ 

⎩ 

2 ⋅ U 

X L 

0 

( cosα − cosωt) 

für 


⎫ 

α < ωt < α + σ ⎪ 

⎬ 

α + σ < ωt < α + π⎪ 

⎭ 

Die Grundkomponente des Stromes erhält man aus der Fourieranalyse des Stromverlaufes : 

Diplomarbeit 

( 2-43) 

U( 

1) 

σ − sin σ 

I 1 = ⋅ 

( 2-44) 

X π 

L 

40

Grundlagen 

Man kann daraus erkennen, dass eine Erhöhung des Zündwinkels α (Reduktion des 

Stromflusswinkels σ) zu einer Verkleinerung der Grundkomponente des Thyristorstromes (I1) 

führt. Das ist aber gleichbedeutend mit einer Vergrößerung der effektiven Induktivität der 

Drosselspule. 

Solange die Grundkomponente der Frequenz des Stromes von diesem Effekt betroffen ist, 

bekommt man durch den TCR eine Einrichtung zur Steuerung des Leitwertes der 

Drosselspule. 

B( 

) 

I 

σ − sin σ 

2( 

π − α) 

+ sin 2α 

1 α TCR = − = − 

( 2-45) 

U( 

1) 

π ⋅ X L π ⋅ X L 

Das Maximum von B ist bei α = 90° (σ = 180°) 

Das Minimum von B ist bei α = 180° (σ = 0°) 

Abbildung 2-28 Leitwert des TCR als Funktion des Zündwinkels; Quelle [17] 

Durch Erweiterung eines TCR mit einer festen Kapazität oder einer Kondensatorbatterie (C) 

ist man in der Lage, neben induktiver Blindleistung auch kapazitive Blindleistung schnell 

bereitzustellen bzw. zu steuern. Man erhält den sogenannten TCSC. 

Diplomarbeit 

41

Grundlagen 

Abbildung 2-29 Elektrisches Ersatzschaltbild eines TCSC 

Das Resultat dieser Schaltung ist ein Instrument zur stufenlosen Steuerung des 

Reihenkondensators durch Summation des fixen Leitwertes des Reihenkondensators mit dem 

steuerbaren Leitwert des TCR. 

Der Gesamtblindleitwert eines TCSC in Abhängigkeit des Zündwinkels ergibt sich aus: 

2( 

π − α) 

+ sin 2α 

BTCSC = ωC 

− 

( 2-46) 

ωLπ 

Der Kehrwert des Gesamtblindleitwertes führt zur Reaktanz des TCSC 

1 

XTCSC = 

( 2-47) 

2( 

π − α) 

+ sin 2α 

− ωC 

+ 

ωLπ 

Die Reaktanz XTCSC hängt jetzt neben dem Zündwinkel noch vom Verhältnis von XC zu XL ab 

Das Verhältnis von XC zu XL wird durch den Faktor ρ ausgedrückt, der folgendermaßen 

definiert ist: 

X 

X 

C ρ = 

( 2-48) 

L 

Den Arbeitbereich eines TCSC bei verschiedenem Zündwinkel und unterschiedlichen 

Verhältnissen von XC zu XL zeigt nächste Abbildung. 

Diplomarbeit 

42

Grundlagen 

Abbildung 2-30 Bezogene Reaktanz eines TCSC bei verschiedenen XC, XL Verhältnissen 

Gliederung der Arbeitsbereiche eines TCSC: 

(siehe Abbildung 2-31) 

Der Sperrbetrieb (Thyristor-blocked-mode) 

Für α = 180° (σ = 0°) befinden sich die Thyristoren im Sperrbetrieb und die wirksame 

Reaktanz entspricht der Reaktanz der Reihenkondensatorbatterie. Der Netzstrom fließt nur 

durch die Reihenkondensatorbatterie 

Der Umgehungsbetrieb (Thyristor-bypass-mode) 

Wenn die Thyristorventile dauernd bei 90° gezündet werden, dann bleibt der Stromfluss über 

die ganze Periode aufrecht erhalten. Der TCSC verhält sich nun wie eine Parallelschaltung 

von Reihenkondensatorbatterie und Drosselspule (|XL|

Grundlagen 

Der kapazitive und induktive Verstärkungsbetrieb 

Durch Variation des Zündwinkels zwischen 90° und 180° kann der TCSC sowohl induktives, 

als auch kapazitives Verhalten aufweisen. 

Zündwinkel α zwischen 90° und oberen Zündgrenzwinkel des induktiven 

Betriebsbereiches: 

Die scheinbare Impedanz des TCSC ist induktiv und kann innerhalb eines bestimmten 

Steuerbereiches stufenlos variiert werden. Dieser Betriebsbereich wird auch als 

„Induktive – Steuerregion“ des TCSC bezeichnet. Begrenzt wird dieser Bereich vom 

oberen Zündwinkel des induktiven Betriebsbereiches, deren Wert vom Verhältnis XC 

zu XL abhängt. 

Zündwinkel α zwischen unteren Zündgrenzwinkel des kapazitiven 

Betriebsbereiches und 180°: 

Die scheinbare Impedanz des TCSC ist hier kapazitiv und kann auch innerhalb eines 

bestimmten Steuerbereiches stufenlos variiert werden. Dieser Betriebsbereich wird als 

„Kapazitive – Steuerregion“ des TCSC bezeichnet. Begrenzt wird dieser Bereich 

vom unteren Zündgrenzwinkel, dessen Wert wiederum vom Verhältnis XC zu XL 

abhängt. 

Resonanzbereich 

Dies ist der Bereich zwischen dem oberen induktiven Zündgrenzwinkel und dem unteren 

kapazitiven Zündgrenzwinkel. 

Abbildung 2-31 Arbeitsbereiche und Impedanz-Strom Diagramm eines TCSC für ρ = 2,06 

Diplomarbeit 

44

Grundlagen 

A, D Grenze der Scheinreaktanz XTCSC aufgrund von Resonanz 

B Zündgrenzwinkel (α=180°, Thyristor-blocked-mode) 

C Zündgrenzwinkel (α=90°, Thyristor-bypass-mode) 

E, F Grenze der Kondensatorspannung für den kapazitiven und induktiven Berieb 

G Maximaler Ventilstrom bei Dauerzündung 

Das Impedanz-Strom Diagramm des TCSC 

Im Impedanz-Stromdiagramm ist der maximal zulässige Leitungsstrom ( in bezug auf 

Kondensatorspannung und Spulenstrom) in Abhängigkeit der Scheinreaktanz des TCSC 

eingetragen. 

TCSC Konfiguration in der Praxis 

Die TCSC Konfiguration besteht in der Praxis aus einem fest angeordneten 

Reihenkondensator, gekoppelt mit mehreren, in Serie geschaltenen TCSC. Jedes TCSC- 

Modul wird dabei unabhängig von den anderen (an)gesteuert. 

Abbildung 2-32 Typische TCSC - Konfiguration in der Praxis; 

Der Hauptvorteil, der sich bei der Aufteilung der TCSC - Reaktanzen ergibt, ist eine 

Vergrößerung des „erlaubten“ Arbeitsbereiches und eine Abdeckung der „Lücke“ des nicht 

erreichbaren Arbeitsbereiches, welche sich im Falle der Einmodul-Variante ergibt. 

Diplomarbeit 

45

Grundlagen 

Abbildung 2-33 XTCSC/XC – I Charakteristik bei Erhöhung der Modulanzahl; Quelle: [15] 

Diplomarbeit 

46

Grundlagen 

2.3.2.4 TCSC - Regelschema zur Bekämpfung von Leistungspendelungen 

und untersynchronen Resonanzen (SSR) 

[16] 

Regelschema zur Dämpfung von Leistungspendelungen 

Die Funktion des TCSC als Einrichtung zur Dämpfung von Leistungspendelungen kann durch 

die Betrachtung der Formel der übertragenen Leistung erklärt werden. 

U1 

⋅ U 2 

Laut Gleichung (2-22) gilt für die übertragene Wirkleistung: P = ⋅ sin ϑ12 

X 

Wenn Leistungspendelungen in einem Übertragungsabschnitt auftreten, spiegeln sich diese in 

einer zeitlich, sich periodisch verändernden Winkeldifferenz zwischen den Spannungszeigern 

U1 und U2 wider. Durch das Einführen einer zweiten zeitabhängigen Größe, welche sich auch 

periodisch mit der Zeit, aber jetzt gegenphasig ändert, können sich diese zeitabhängigen 

Schwingungen unter bestimmten Umständen gegenseitig auslöschen. Diese zweite, 

zeitabhängige Größe könnte z.B. laut (2-22) die Leitungsreaktanz X(12) sein. 

U1 

⋅ U 2 = ⋅ sin ϑ ( t) 

( 2-49) 

X ( t) 

P 12 

( 12) 

Durch entsprechend (schnelle) zeitliche Änderung der Reaktanz XTCSC(t) des TCSC kann 

genau dieser Effekt der Einbringung einer zweiten Schwingung in die Formel (2-22) erreicht 

werden. 

U1 

⋅ U 2 

= ⋅sin 

ϑ( 

12 ( t) 

( 2-50) 

X − X ( t) 

P ) 

( 12) 

TCSC 

Abbildung 2-34 TCSC Regelschema zur Dämpfung von Leistungspendelungen; Quelle: [16] 

Diplomarbeit 

( 12) 

47

Grundlagen 

Regelschema zur Minderung von untersynchronen Resonanzen 

Durch ein spezielles Regelsystem ist man auch in der Lage mit Hilfe eines TCSC eine 

wirksame Minderung von untersynchronen Resonanzen zu erreichen. Dieser neue Steuer- 

Algorithmus für den TCSC trägt den Namen „ Synchronous Voltage Reversal (SVR)“ 

(ABB-Bezeichnung) und bewirkt eine induktive Scheinreaktanz des TCSC im gesamten 

Frequenzband der untersynchronen Resonanzen. Dadurch wird die Eigenschaft von 

Reihenkondensatoren, untersynchrone Resonanzen zu erregen, vollständig ausgelöscht. 

Abbildung 2-35 TCSC Regelschema zur Minderung von SSR; Quelle: [16] 

Diplomarbeit 

48

Das Labormodell 

3 Das Labormodell 

3.1 Allgemeines 

Der praktische Teil der Diplomarbeit befasst sich mit dem Entwurf eines Labormodells zum 

Thema „Stabilitätsprobleme einer Kraftwerkseinspeisung über eine lange Freileitung in ein 

starres Netz“. Zur Verbesserung der Stabilität soll ein eigens für das Labormodell 

dimensionierter, geregelter Serienkondensator verwendet werden. Dieses Labormodell wird 

am Institut für elektrische Anlagen und Hochspannungstechnik im Rahmen der 

Lehrveranstaltung „Energiesysteme-Laborübung“ eingesetzt und gibt somit Studenten die 

Möglichkeit, die Auswirkungen der Freileitungslänge, des Spannungsreglers und eines 

geregelten Serienkondensators auf die statische Stabilität der Versuchsanordnung selbst zu 

erarbeiten. 

Das Energieversorgungssystem bestehend aus Generator (G), Blocktransformator (BT), 

Übertragungsnetz (Freileitung oder Kabel), Netzkuppeltransformator (NT) und starrem Netz 

kann durch folgendes, einphasige Übersichtsschaltbild wiedergegeben werden. 

G BT 

Leitung TCSC NT 

10 kV 230 kV 230 kV 400 kV 

starres Netz 

Abbildung 3-1 Übersichtsschaltbild eines realen Energieversorgungssystems mit typischen Spannungen 

und mit gesteuertem Reihenkondensator 

Um jetzt das elektrische Verhalten dieses Energieversorgungssystems so real wie möglich 

durch ein Labormodell wiederzugeben ist eine Verwendung von definierten Maßstäben 

unumgänglich. Die Maßstäbe des Übertragungsnetzes wurden so gewählt, dass sich ein 

Impedanzmaßstab von 1:1 ergibt. 

Ü-Netz 

Maßstäbe: Spannungsmaßstab 1:1000 1V entspr. 1kV 

Diplomarbeit 

Strommaßstab 1:1000 1A entspr. 1kA 

Leistungsmaßstab 1:1000000 1W entspr.1MW 

Impedanzmaßstab 1:1 1Ω entspr. 1Ω 

49


Nennwerte des Ü-Netz: Spannung 230V 

Generator 

Strom 1A 

Maßstäbe: Spannungsmaßstab 1:25 1V entspr. 25V 

Strommaßstab 1:40000 1A entspr. 40 kA 

Leistungsmaßstab 1:1000000 1VA entspr. 1MVA 

Impedanzmaßstab 1:0,000625 1Ω entspr. 0,625mΩ 

Nennwerte des Generators: Spannung 400 V 

G 

BT 

400/230 V 

Strom 1,52A 

Wirkleistung 0,8 kW 

Scheinleistung 1,05 kVA 

Leitung 

TCSC 

400 V 230 V 230 V 

starres Netz 

Abbildung 3-2 Übersichtsschaltbild des Labormodells mit gesteuertem Reihenkondensator 

Durch Serienschaltung der elektrischen Ersatzschaltbilder des Synchrongenerators, des 

Blocktransformators, der Freileitung und des starren Netzes gelangt man zum vollständigen 

Ersatzschaltbild der Energieübertragung des Labormodells. Weiters ist im Ersatzschaltbild 

auch schon der gesteuerte Reihenkondensator (TCSC) zur Kompensation der Längsreaktanz 

vorhanden. 

Abbildung 3-3 Vollständiges Ersatzschaltbild der Energieübertragung wobei ein Generator über einen 

Transformator und eine Freileitung in ein starres Netz speist (mit Berücksichtigung des TCSC) 

Für die Ersatzschaltung wird alles auf die Nennspannung des starren Netzes (230 V) 

umgerechnet. 

Diplomarbeit 

50


3.1.1 Das Antriebssystem (Turbinenmodell) 

Es handelt sich hier um ein Servo-, Antriebs- und Bremssystem der Firma Lucas-Nülle. 

Dieses System ist in der Lage verschiedene Schwungmassen und Arbeitsmaschinen zu 

simulieren. Das Antriebssystem besteht im wesentlichen aus zwei Komponenten, nämlich 

eine Asynchron – Servomaschine und einem digitalen Steuergerät für den Servoantrieb bzw. 

die Servobremse. Damit ist man in der Lage Motore bis zum Stillstand abzubremsen oder 

auch Generatoren mit bestimmter Drehzahl anzutreiben. Das System kann sowohl 

motorisches, als auch generatorisches Drehmoment ermitteln und anzeigen. Gekoppelt wird 

dieser Antriebssatz mit einem Synchrongenerator, welcher im Kapitel 3.1.2 näher beschrieben 

wird. 

3.1.2 Der Synchrongenerator 

Der Generator ist eine Innenpol-Synchronmaschine mit folgenden Nenndaten: 

Un=400/230V In=1,52 / 2,66A 

Pn=0,8kW nn=1500 Upm 

Ue=220V Ie.max=1,6A 

Sn=1,05 kVA 

Mit den gewählten Generatormaßstäben erhält man eine reale Maschine mit Un=10 kV und 

Sn=1050 MVA. 

Ständerwicklungswiderstand R1=10,8Ω in allen Phasen. 

Aus Leerlauf- und Kurzschlussversuch wurde bei: 

� Ie = 900 mA 

� I1 = 1 A 

� Ep = 375 V 

� U1 = 220 V, U1∆=380V 

die Synchronreaktanz Xd zu 352 Ω ( 2,3 p.u) ermittelt, welche sich in der Größenordnung 

einer realen Maschine befindet (bei zweipoligen Turbogeneratoren mit massivem 

Vollpolläufern 1,2-2,3 p.u). Die Berechnung der transienten Synchronreaktanz Xd’ ergab 

einen Wert von 105 Ω (0,69 p.u). Dieser Wert liegt jedoch über dem Wert einer realen 

Maschine (0,15-0,35 p.u bei zweipoligen Turbogeneratoren mit massivem Vollpolläufer). 

Diplomarbeit 

51


Bezogen auf 230 V ergibt sich: 

X 

X ' 

d230 

d230 

= X 

d400 

= X ' 

d400 

⋅ ü 

2 

⋅ü 

2 

⎛ 230 ⎞ 

= 352 ⋅ ⎜ ⎟ 

⎝ 400 ⎠ 

⎛ 230 ⎞ 

= 105⋅ 

⎜ ⎟ 

⎝ 400 ⎠ 

2 

2 

= 116 Ω 

= 

34 Ω 

3.1.3 Das Freileitungsmodell 

Hierbei handelt es sich um das Freileitungsmodell einer 220-kV, 2er-Bündel Freileitung mit 

folgenden Betriebsparametern: 

• Widerstandsbelag des Leiters RL’=0,03 Ω/km 

• Reaktanzbelag des Leiters XL’=0,3 Ω/km 

• Leiter-Leiterkapazität Cg’=2 nF/km 

• Leiter-Erdkapazität CE’=6,6 nF/km 

• Betriebskapazität des Leiters Cb’=12,6 nF/km 

• Wellenwiderstand: 

L 

C 

= 274Ω 

Modell mit 100 km Freileitungslänge: 

RL= 3 Ω Cg=200 nF 

XL= 30 Ω CE=660 nF 

b 

Cb= CE+3 Cg=660+3 200 =1260 nF 

Cb/2=0,63 µF 

Abbildung 3-4 Ersatzschaltbild des Freileitungsmodells für eine Leitungslänge von 100 km 

Diplomarbeit 

52


3.1.4 Der Blocktransformator 

Die von Drehstromtransformatoren in Kraftwerken erzeugte Spannung und die bei großen 

Leistungen dazugehörigen Ströme sind für eine wirtschaftliche Energieübertagung und 

Verteilung ungeeignet. In den Kraftwerken werden deswegen Blocktransformatoren 

(Maschinentransformatoren) eingesetzt, um die Spannung des Generators auf die zur 

Übertragung gewünschte Spannung zu transformieren z.B. 110 kV, 220 kV oder 380 kV. Der 

Blocktransformator im Labor ist ein Drehstromexperimentiertransformator mit einer variablen 

Wicklungsverschaltung der Primärwicklung als auch der Sekundärwicklung und erfüllt die 

Aufgabe, die 400-V-Maschinenspannung auf die 230-V-Netzspannung anzupassen. 

Trafospannung primär :400 V ∆ (im Modell ) 

Trafospannung sekundär :230 V ∆ (im Modell ) 

Nennscheinleistung :1350 VA 

Übersetzungsverhältnis : 230/400 = 0,575 

Der Kurzschlussversuch bei Stern-Sternschaltung von 230V auf 400V ergab eine relative 

Kurzschlussspannung von uk=16 %.Daraus folgt für die Impedanz des Transformators 

bezogen auf die Unterspannungsseite (230 V∆): 

X 

T 

u k ⋅ U 

= 

S 

T 

2 

n 

0,16 ⋅ 230 

= 

1350 

2 

= 6,26 Ω 

200 55 

115 

30 

100 100 

Sekundär: 230 V 

Primär: 400 V 

Abbildung 3-5 Verschaltung des Blocktransformators 

Diplomarbeit 

100 100 

53


3.1.5 Das starre Netz 

„Starres Netz“ bedeutet, dass sich die Netzspannung weder in ihrem Betrag (U2 = 230 V∆) 

noch in ihrer Phasenlage durch die Einspeisung des betrachteten Synchrongenerators 

wesentlich ändert. Für weitere Betrachtungen und Herleitungen wurde als Bezugsgröße 

immer die starre Netzspannung herangezogen. ( U = UN, ϕ = 0°). 

3.1.6 Dimensionierung des TCSC 

Der TCSC für das Labormodell soll in der Lage sein, eine Leitungsreaktanz von j100 Ω noch 

vollständig kompensieren zu können. Das entspricht einer Freileitungslänge von etwa 300 km. 

Der Arbeitspunkt des steuerbaren Reihenkondensators muss daher bei einem XTCSC=-100Ω 

liegen. Da nur induktive Reaktanzen kompensiert werden sollen, muss sich der 

Betriebsbereich des TCSC nur auf die kapazitive Steuerregion beschränken. Das Verhältnis 

von XC zu XL wurde mit 2 angenommen, damit ergibt sich für ρ ein Wert von 2 . Der 

Kondensator wurde mit einer Kapazität von C=40µF gewählt. Der maximale Laststrom des 

Leitungsmodells beträgt 1,5 A. 

Angaben: XTCSC = -100 Ω, BTCSC = 0,01S, |XC|/|XL| = 2, ρ = 2 

Arbeitspunkt 


A : 

B 

X 

X 

C = 40 µF, UCmax= 230 V, I = 1,5 A 

Dimensionierung 

der Spule und des Kondensators 

1 

1 

XC 

− = − 

ω ⋅ C 2 ⋅ π ⋅50 

⋅ 40 ⋅10 

XC 

79.57 

X L = − = = 39,78Ω 

2 2 

X L 39,78 

L = = = 126,65 mH 

ω 2 ⋅ π ⋅50 

= −6 

X 

−100 

= = 1,25 

− 79,57 

-100Ω 

: 

= - 

1 

X 

Zündwinkel zum Erreichen des Arbeitspunktes: 

TCSC 

TCSC 

C 

TCSC 

= 

2 ⋅ (π − α) + sin(2 ⋅ α) 

= ω ⋅ C − 

→ α = 143,3° 

= 

π ⋅ ω ⋅ L 

Diplomarbeit 

B 

= − 79,7Ω 

TCSC 

TCSC 

= 

1 

100 

= 

0, 

01S 

2,501rad 

54


Spannung am TCSC im Arbeitspunkt: 

U=XTCSC⋅I=-100⋅1,5=-150 V 

Diese Spannung am TCSC im Arbeitspunkt liegt unter der höchstzulässigen Spannung des 

Kondensators, welche bei 230 V liegt � 

Strom durch 

2 ⋅ (π − α) + sin(2 ⋅ α) 2 ⋅ (π − 2,501) + sin(2 ⋅ 2,501) 

BTCR 

= − 

= − 

= − 2,58mS 

−3 

π ⋅ ω ⋅ L 

π ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅126,65⋅ 

10 

1 

XTCR 

= − 

−3 

− 2,58 ⋅10 

= 387,3 Ω 

U 

I L = 

X 

= 

−150 

= −0,38 

A 

387,3 

B 

B 

X 

I 

C 

TCSC 

C 

C 

= B 

= B 

1 

= − 

B 

= 

U 

X 

TCR 

TCSC 

C 

TCR 

C 

den TCR und durch den Kondensator 

im Arbeitspunkt 

: 

+ B 

− B 

C 

TCR 

1 

= − 

12,58 ⋅10 

−150 

= = 

- 79,49 

= 1⋅10 

1, 

89 

−2 

-3 

A 

− ( − 2,582 ⋅10 

= −79, 

49 Ω 

−3 

) = 

12, 

58mS 

Die Arbeitsdiagramme des Labor-TCSC (siehe Abbildung 3-6) 

Darin sind der Kondensatorstrom (IC), der Spulenstrom (IL), die Scheinreaktanz des TCSC 

XTCSC 

(XTCSC), die bezogene Reaktanz des TCSC ( X bez = ) und die Kondensatorspannung 

X 

(UC) in Abhängigkeit des Zündwinkels (α) eingetragen. Der Zusatzindex „A“ bezeichnet den 

Arbeitspunkt. Es ist ersichtlich, dass bei einer maximalen Kondensatorspannung von 230 V 

der Zündwinkel nicht kleiner als 130° werden darf. In bezug auf den maximalen Spulenstrom, 

welcher mit 2 A angenommen wurde, liegt der Zündgrenzwinkel bei 127 °. 

� Der maximale Zündgrenzwinkel für den kapazitiven Betriebsbereich liegt bei 130°. 

Diplomarbeit 

C 

55


Abbildung 3-6 Arbeitsbereich des Labor-TCSC für XC/XL = 1,25 oder ρ = 1,118 

Das Impedanz-Stromdiagramm des Labor-TCSC (siehe Abbildung 3-7) 

Berechnungsschema: Bei einer vorgegebenen Scheinreaktanz XTCSC (XTCR) wird der 

Leitungsstrom (I) solange erhöht, bis entweder der Maximalwert des Spulenstromes oder der 

Maximalwert der Kondensatorspannung erreicht wird. 

Grenzwerte der verwendeten Bauteile: 

UC,max = 230 V 

Ispule,max = 2 A (Dauerstrom) 

Ispule,max = 5 A ( für eine Dauer von 1s) 

Aus der Abbildung 3-7 ist ersichtlich, dass sich der Arbeitspunkt im „erlaubten“ Bereicht des 

Impedanz-Stromdiagramms befindet� 

Diplomarbeit 

56


α[°] XTCR[Ω] XTCSC[Ω] Imax[A],IL


Gewählte Thyristoren: Crydom – Moduleinheit, bestehend aus einem Steuer- und einem 

Leistungsteil. Diese elektronische Phasenanschnittsteuerung erlaubt es, durch Veränderung 

der Steuerspannung 0...5V den Stromflusswinkel am Leistungsteil kontinuierlich von 0 bis 

100% zu regeln. 

Technische Daten: Versorgungsspannung: 3,5...10 VDC 

Abbildung 3-8 Phasenanschnittsmodule 

Diplomarbeit 

Steuerspannung: 0...5 VDC / 0...100 % 

Anschlussspannung Last: 180...280 VAC 

Betriebsfrequenz: 48...63 Hz 

Maximaler Strom: 25 A 

58


3.2 Impedanztransformation 

Um die vom Generator ins starre Netz übertragene Leistung mit Gleichung (2-18) ermitteln zu 

können, muss das vollständige Ersatzschaltbild (bestehend aus Synchrongenerator, 

Transformator und Freileitung) in ein Ersatzschaltbild übergeführt werden, in welchem laut 

Abbildung 2-8 nur mehr Kuppel- und Eigenimpedanzen vorkommen. 

� Transformation der Π-Ersatzschaltung der Leitung in eine äquivalente T- 

Ersatzschaltung 

C b/2 

X L R L Y 3p 

Abbildung 3-9 Impedanztransformation der Leitung von einer Π-Ersatzschaltung in eine T- 


Z 

Z 

Z 

Diplomarbeit 

1t 

2t 

3t 

Y 

Y 

1p 

1p 

1p 

⋅ Y 

⋅ Y 

2p 

2p 

2p 

+ Y 

+ Y 

2p 

2p 

2p 

Y 

Y 

2p 

⋅ Y 

3p 

⋅ Y 

3p 

3p 

3p 

1p 

+ Y 

+ Y 

1p 

1p 

C b/2 

Y1p 

= 

Y ⋅ Y + Y ⋅ Y + Y ⋅ Y 

= 

= 

⋅ Y 

⋅ Y 

3p 

3p 

3p 

Z 1t 

Y 2p 

Z 3t 

Z 2t 

Index t...T-Ersatzschaltung 

Index p...Π-Ersatzschaltung 

Y 1p 

( 3-1) 

59


Achtung : Die Ersatzschaltung einer Freileitung mit konzentrierten Elementen gilt bei einer 

Frequenz von 50 Hz nur bis zu einer Leitungslänge von ca. 300 km. Bei größeren 

Leitungslängen müssen entweder mehrere Π -Ersatzschaltungen in Serie geschalten werden 

oder ein Π -Glied mit korrigierten Impedanzen verwendet werden. 

Impedanzkorrektur der Leitung bei Leitungslängen größer 300 km: 

Z 

Z 

3p 

2p 

korr 

korr 

= Z 

= Z 

3p 

2p 

⋅ 

⋅ 

sinh 

tanh 

2 ⋅ Z 

2 ⋅ Z 

Z 

Z 

Z 

2p 

3p 

2 ⋅ Z 

3p 

2p 

2p 

Z 

3p 

2 ⋅ Z 

3p 

2p 

→ Y 

3p 

→ Y 

2p 

korr 

korr 

→ Z 

3t 

→ Z 

� Einbeziehen der Synchronreaktanz und der Transformatorimpedanz 

Z 1t 

Z d Z T Z 1t 

Abbildung 3-10 Zusammenfassung der Impedanzen in der T-Ersatzschaltung 

Diplomarbeit 

Z ~ 

Z ~ 

Z ~ 

1t 

2t 

3t 

= Z 

= Z 

= Z 

1t 

2t 

3t 

+ Z 

d 

+ Z 

T 

Z 3t 

Z 2t 

2t 

korr 

korr 

Z 3t 

( 3-2) 

Z 2t 

( 3-3) 

60


� (Rück) Transformation der neuen T-Ersatzschaltung in eine äquivalente Π- 


Abbildung 3-11 Impedanztransformation der neuen T-Ersatzschaltung in eine Π-Ersatzschaltung 

Y ~ 

Y ~ 

Y ~ 

1p 

2p 

3p 

Z ~ 

= 

Z ~ 

= 

1t 

Z ~ 

= 

1t 

1t 

Z ~ 

⋅ 

Z ~ 

⋅ 

Z ~ 

⋅ 

2t 

2t 

2t 

Z ~ 

+ 

Z ~ 

2t 

1t 

2t 

Z ~ 

Z ~ 

Z ~ 

+ ⋅ 

2t 

2t 

Z ~ 

Z ~ 

Z ~ 

+ ⋅ 

3t 

Z ~ 

⋅ 

3t 

3t 

3t 

Z ~ 

+ 

Z ~ 

+ 

1t 

1t 

Z ~ 

+ 

1t 

Z ~ 

⋅ 

Z ~ 

⋅ 

Z ~ 

⋅ 

� Matrixdarstellung der Admittanzen 

Die Kuppelimpedanz Z (12) 

~ 

Y ~ 

Π 

3t 

3t 

3t 

⎡ 

⎢ 2p+ 

= ⎢ 

⎢ − Y 3p ⎣ 

~ 

Y ~ 

Y ~ 

3p 

Y ~ 

− Y ~ 

1p 

3p 

+ Y ~ 

3p 

⎤ ⎡ 

⎥ ⎢ 

⎥ → 

⎢ 

⎥ 

⎦ 

⎢⎣ 

Y ~ 

Y ~ 

und die Eigenimpedanzen Z (11) 

~ 

11 

21 

Y ~ 

Y ~ 

12 

22 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦ 

und Z (22) 

~ 

( 3-4) 

( 3-5) 

bilden nun zusammen 

mit der Polradspannung (Ep) und der starren Netzspannung (U2) die Grundlage zur 

Berechnung der Leistungen P1 und P2 als Funktion des Polradwinkels, 

(νν) = 

(νµ 

) = − 

Y ~1 Z ~ 

und 

Y ~1 Z ~ 

wobei . ( 3-6) 

Diplomarbeit 

νν 

νµ 

61


P 

P 

1 

2 

= 

Z ~E 

2 

p 

(11) 

Z ~U = − 

(22) 

sinα 

2 

2 

(11) 

sinα 

U 

~ 

Z E p 

+ 

(22) 

(12) 

2 

U 

~ 

Z E p 

+ 

(12) 

sin( ϑ 

2 

12 

sin( ϑ 

− α 

12 

(12) 

+ α 

EP und U2 stellen Effektivwerte dar und Z und Z sind die Beträge von 

und Z ( ) 

~ νµ . 

) 

(12) 

~ ~ 

( νν ) 

( νµ ) 

Z ( ) 

~ νν 

Die in das System gelieferte Blindleistung Q1 und die aus dem System herauskommende 

Blindleistung Q2 als Funktion des Polradwinkels berechnen sich aus: 

Q 

Q 

1 

2 

= 

Z ~E 

2 

p 

(11) 

Z ~U = − 

cos α 

2 

2 

(22) 

(11) 

cos α 

U 

~ 

Z E p 

− 

(22) 

(12) 

2 

U 

~ 

Z E p 

+ 

(12) 

cos( ϑ 

2 

12 

cos( ϑ 

In dieser errechneten Blindleistung ist nicht nur die Blindleistung der Freileitung und des 

Transformators, sondern auch die Blindleistung der Synchronmaschine enthalten. Ist hingegen 

nur der Blindleistungsumsatz von Freileitung und Transformator gefragt, so ist, anstatt der 

− α 

12 

(12) 

+ α 

Polradspannung EP die Generatorklemmenspannung U1 zu verwenden. 

Laut Verbraucherzählpfeilsystem gilt für die Leistungen: 

P>0 Wirkleistungsverbraucher(Aufnahme von Wirkleistung) 

P0 Blindleistungsverbraucher (Aufnahme von induktiver Blindleistung) 

Q


3.3 Künstlich statische Stabilität - Berücksichtigung des 

Spannungsreglers 

Der Spannungsregler hat die Aufgabe, die Generatorklemmenspannung (U1) unabhängig vom 

Belastungszustand in einem bestimmten Bereich konstant zu halten. Dadurch ergibt sich dann 

eine Verbesserung der statischen Stabilitätsverhältnisse 

Abbildung 3-12 Ersatzschaltung zur Simulation der künstlich statischen Stabilität 

Berechnet wird die übertragene Leistung bei konstanter Spannung U1 , d.h. je nach 

Belastungszustand P2 ,muss zur Stabilisierung von U1 die Generatorpolradspannung Ep bis 

zum Erreichen ihrer Grenzspannung Epmax immer nachgeregelt bzw. korrigiert werden. 

Berechnung des Stromes I1: 

⎡I1 

⎤ ⎡Y 

⎢ 

I 

⎥ = ⎢ 

⎣ 2 ⎦ ⎣ 

Y 

daraus 

11 

21 

folgt 

Y 

Y 

I 

1 

12 

22 

⎤ ⎡ U 

⎥ ⋅ ⎢ 

⎦ ⎣ 

U 

= Y 

11 

U 1 

1 

N 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⋅ U 

1 

+ Y 

12 

⋅ U 

Abbildung 3-13 Vierpol zur Ermittlung von I1 

N 

I 1 I2 

Y-Matrix 

(Leitung,Transformator) 

U N 

( 3-9) 

( 3-10) 

Für die Berechnung mit konstanter Generatorklemmenspannung U1 wird der Winkel ϑ1 von 

0° schrittweise vergrößert, wobei der Winkel von UN als Bezugswinkel definiert worden ist. 

Diplomarbeit 

63


U 1 

Abbildung 3-14 Zeigerdiagramm der Generatorklemmenspannung U1 und der Netzspannung UN 

U N 

Mit Hilfe von I1 und U1 und Xd kann jetzt auf die notwendige Polradspannung Ep 

zurückgerechnet werden. 

E P 

X d 

U d 

I 1 

U 1 

Abbildung 3-15 Ersatzschaltbild des Generators mit Zeigerdiagramm zur Ermittlung von Ep 

U 

E 

d 

P 

→ E 

→ ϑ 

I 

= U 

⋅ X 

= ( 3-11) 

P 

1 

= 

d 

d 

+ U 

1 

arg( E 

P 

) 

ϑ L 

E P 

Im 

U d 

I 1 

U 1 

U N 

ϑ 

Re 

( 3-12) 

Mit dem Zusammenhang zwischen EP und ϑ kann wieder die vom System übertragene 

Leistung berechnet werden, aber bei konstanter Generatorklemmenspannung U1. Die 

Berechnungen erfolgen laut Gleichungen (3-7) und (3-8). 

Ist die maximale Polradspannung EPmax erreicht, so kann bei weiterer Steigerung der 

Belastung (Vergrößerung des Polradwinkels) nicht mehr von einer konstanten 

Generatorklemmenspannung ausgegangen werden. Die Generatorklemmenspannung U1 

verhält sich jetzt wie bei der Betrachtung ohne Spannungsregler wie eine „normale“ 

Klemmenspannung einer Spannungsquelle, deren Größe mit steigender Belastung kleiner 

wird. 

Diplomarbeit 

64


Mit EP = EPmax wird die Simulation bis zu einem Polradwinkel von 180° fortgesetzt. 

Um weiterhin die Blindleistungsbilanz von Leitung und Transformator zu bilden, muss von 

der Polradspannung EP = EPmax auf die Generatorklemmenspannung U1 zurückgerechnet 

werden. 

E 

Pmax 

⎡I1 

⎤ ⎡Y 

⎢ 

I 

⎥ = ⎢ 

⎣ 2 ⎦ ⎣ 

Y 

daraus 

= E 

Pmax 

11 

21 

folgt 

⋅ 

( cosϑ 

+ jsinϑ) 

Y 

Y 

I 

12 

22 

1 

⎤ ⎡E 

⎥ ⋅ ⎢ 

⎦ ⎣ 

U 

= Y 

11 

P max 

N 

⋅ E 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

Pmax 

+ Y 

12 

⋅ U 

Die Generatorklemmenspannung ergibt sich aus: 

U = E − U = E − I ⋅ jX 

1 

p 

d 

Für die Blindleistungsbetrachtung nur für Leitung und Transformator gilt: 

Diplomarbeit 

Q 

Q 

1, L+ 

Tr. 

2, L+ 

Tr. 

U 

= 

Z 

2 

1 

( 11) 

U 

= − 

Z 

N 

p 

cos α 

2 

2 

( 22) 

( 11) 

cos α 

1 

d 

U1U 

− 

Z 

( 22) 

2 

( 12) 

U1U 

+ 

Z 

cos( ϑ 

2 

( 12) 

12 

cos( ϑ 

− α 

12 

( 12) 

+ α 

) 

( 12) 

) 

( 3-13) 

( 3-14) 

( 3-15) 

65

Simulation des theoretischen Modells 

4 Simulation des theoretischen Modells mit dem 

Programm Matlab 6.0 

4.1 Kuppel- und Eigenimpedanzen der vollständigen Π-Matrix als 

Funktion der Leitungslänge 

Y 

Π 

⎛ Y2 

+ Y 

= ⎜ 

⎝ 

− Y3 

wobei 

Z 

(νν) 

3 

= 

− Y3 

⎞ ⎛ Y 

⎟ → ⎜ 

Y + ⎟ ⎜ 

1 Y3 

⎠ ⎝ 

Y 

νν 

und Z 

(νµ 

) 

11 

21 

= − 

Abbildung 4-1 Kuppelimpedanz Z(12) und Eigenimpedanz Z(11) als Funktion der Leitungslänge 

(lmax=1000 km) 

Diplomarbeit 

1 

Y 

Y 

Y 

1 

Y 

12 

22 

νµ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

66


Abbildung 4-2 Kuppelimpedanz Z(12) und Eigenimpedanzen Z(11) und Z(22) als Funktion der Leitungslänge 

(lmax=2000 km) 

Obwohl die Freileitungslänge unseres Modells bei weitem nicht in der Nähe der kritischen 

Leitungslänge liegt, bei welcher ja eine Untersuchung mit kontinuierlich verteilten 

Impedanzen angebracht wäre, ergaben sich ab einer Leitungslänge von ca. 1000 km trotz 

Impedanzkorrektur störende Resonanzstellen der Kuppel- und Eigenimpedanzen.Schuld an 

dieser eingeschränkten Verwendbarkeit des Modells ist jedoch nicht die Modellierung der 

Freileitung, des Trafos oder der Synchronmaschine, sondern vielmehr die 

Zusammenschaltung der verhältnismäßig großen Reaktanz der Synchronmaschine mit der 

konzentrierten Kapazität der Freileitung.Eine Simulation durch MATLAB (Abbildung 4-3) 

zeigt, wie sich die Resonanzstellen mit steigenden Xd in Richtung kleineren Leitungslängen 

bewegen. Jedoch die Lage der Resonanzstelle von Z(11) (sie befindet sich bei einer 

Leitungslänge von 1400 km) blieb von der Änderung der Größe von Xd unbeeinflusst. 

Diplomarbeit 

67


Abbildung 4-3 Kuppel- und Eigenimpedanz als Fkt. der Leitungslänge und der Synchronreaktanz; 

Strichlierte Kurven: Xd = 352 Ω; durchgezogene Kurven: Xd=117,9 Ω 

Eine weitere Möglichkeit lange Freileitungen ohne Impedanzkorrektur und Verwendung von 

konzentrierten Elementen zu modellieren, ist die Anordnung von mehreren Leitungs-Π- 

Gliedern in Serie. Je größer dabei die Anzahl der in Serie geschaltenen Π-Gliedern gewählt 

wird, umso mehr nähert man sich an das Übertragungsverhalten von einem korrigierten 

Leitungs-Π-Glied an. Kuppel- und Eigenimpedanz in Abhängigkeit der Leitungslänge bei 

verschieden Leitungsmodellen (Leitung mit einem korrigierten Π-Glied und Leitung mit drei, 

nicht korrigierten Π-Gliedern) zeigt die nächste Abbildung. Daraus ist ersichtlich, dass es 

bereits ab 3 in Serie geschaltenen Π-Gliedern praktisch keinen Unterschied zu einem 

korrigierten Leitungs-Π-Glied gibt . 

Diplomarbeit 

68


Abbildung 4-4 Kuppel- und Eigenimpedanzen bei unterschiedlichen Leitungsmodellen 

Diplomarbeit 

69


4.2 Übertragene Leistung als Funktion des Polradwinkels bei 

unterschiedlichen Leitungslängen und ohne Spannungsregler 

Abbildung 4-5 Übertragene Leistung als Funktion des Polradwinkels (l=100 km) 


Diplomarbeit 

70




Diplomarbeit 

71


Aus den Kurven ist ersichtlich, dass die übertragene Leistung einen sinusförmigen Verlauf 

aufweist und somit bei einem bestimmten Polradwinkel ihr Maximum besitzt. Da dieses 

Maximum bei konstanter Polrad- und Netzspannung im wesentlichen nur von der 

Kuppelimpedanz abhängt, und diese Kuppelimpedanz laut Abbildung 4-1 mit steigender 

Leistungslänge auch größer wird, nimmt die übertragene Leistung mit größer werdender 

Leistungslänge kontinuierlich ab. 

Diplomarbeit 

72


4.3 Übertragene Wirk- und Blindleistung als Funktion des 

Polradwinkels bei unterschiedlichen Leistungslängen mit 

Verwendung eines Spannungsreglers 

In den folgenden Kurven sind neben den Wirk- und Blindleistungen auch noch die 

Polradspannung Ep und die Generatorklemmenspannung Ukl als Funktion der Leistungslänge 

eingetragen, um somit die Funktionsweise des Spannungsreglers noch deutlicher zu 

veranschaulichen. 

Abbildung 4-9 Übertragene Wirk- und Blindleistung als Funktion des Polradwinkels (l=100 km) mit 

Berücksichtigung des Spannungsreglers 

Diplomarbeit 

73






Diplomarbeit 

74




Gegenüber dem Modell ohne Spannungsregler ist eine enorme Steigerung der maximal 

übertragbaren Leistung ersichtlich. Auch sehr gut zu erkennen ist der Übergang (Sprung) der 

Leistungskennlinien bei nachgeführter Polradspannung (Leistungskennlinie Ep < 288 V) auf 

die Leistungskennlinien bei voll ausgeregelter Polradspannung ( Ep= 288 V). 

Alle Kurven weisen auch eine wesentliche Vergrößerung des statisch stabilen Bereiches 

gegenüber dem Modell ohne Spannungsregler auf. Mit steigender Leitungslänge nimmt auch 

die Wirkung des Spannungsreglers zu d.h. er kann die Generatorklemmenspannung auch bei 

großen Belastungen (Polradwinkel) noch konstant halten. Bis zum Punkt der natürlichen 

Leistung ( cos ϕ = 1 oder Schnittpunkt von Q1 und Q2 ) wirkt die Leitung als kapazitiver 

Verbraucher Q1 < 0, Q2 > 0 .Wird ab dem Punkt der natürlichen Leistung der Polradwinkel 

weiter vergrößert, so wechselt die Blindleistung Q1 ihr Vorzeichen und ist jetzt positiv. Laut 

Verbraucherzählpfeilsystem wirkt die Leitung nun als induktiver Blindleistungsverbraucher. 

Diplomarbeit 

75


4.4 Übertragene Wirk- und Blindleistung als Funktion des 

Polradwinkels bei unterschiedlichen Leistungslängen mit 

Verwendung eines Spannungsreglers und Reihenkondensators 

Für alle Untersuchungen wurde der Reihenkondensator XC am Ende der Leitung angeordnet. 

Kompensiert wurde die mit steigender Leitungslänge immer größer werdende Längsreaktanz 

XL. 

X 

C 

X L 

= Kompensationsgrad k = 50% 

2 


Berücksichtigung des Spannungsreglers und Kompensation der Längsreaktanz 

Diplomarbeit 

76






Diplomarbeit 

77




Es kommt zu einer weiteren Steigerung der maximal übertragbaren Leistung und somit auch 

zu einer Verbesserung der statischen Stabilität gegenüber dem Modell mit Spannungsregler. 

Diplomarbeit 

78


4.5 Gegenüberstellung der maximal übertragbaren Leistung 

Länge/[km] EUOR/[W] EUMR/[W] EUMRC/[W] 

100 310 711 784 

200 260 585 701 

300 226 463 623 

400 203 359 545 

500 186 296 471 

600 174 265 398 

Tabelle 4-1 Gegenüberstellung der Übertragungsmodelle 

Legende: EUOR Energieübertragung ohne Spannungsregler (EP=127V) 

EUMR Energieübertragung mit Spannungsregler(EP=288V) 

EUMRC Energieübertragung mit Spannungsregler und 

Kompensation am Leitungsende(EP=288V) 

Abbildung 4-17 Gegenüberstellung der maximal übertragbaren Leistung der verschiedenen 

Übertragungsmodelle 

Diplomarbeit 

79


Beschreibung des Bildes 

EUOR: Die Maximalwerte der übertragbaren Leistung bei Einhaltung der Stabilitätsgrenzen 

nehmen kontinuierlich mit steigender Leitungslänge ab. 

EUMR: Durch Verwendung eines Spannungsreglers erhält man eine wesentliche Erhöhung 

der maximal übertragbaren Leistung im Vergleich zu EUOR. 

EUMRC: Man erhält eine weitere Steigerung der maximal übertragbaren Leistung durch 

Kompensation der Leitungsreaktanz mittels TCSC. 

Wie sich der Polradwinkel als Funktion der Leitungslänge bei einer konstanten 

Übertragungsleistung von 175 W verändert zeigt die Abbildung 4-18. 

Abbildung 4-18 Polradwinkel als Fkt. der Leitungslänge bei konstanter Übertragungsleistung 

Aus dem Bild ist ersichtlich, dass sich der beste Zustand betreffend statischer Stabilität der 

Energieübertragung beim Modell mit Spannungsregler plus TCSC (EUMRC) ergibt. Egal was 

man für eine Leitungslänge betrachtet, der Polradwinkel der Übertragung ist dabei immer ( im 

Vergleich zu EUOR und EUMR) am weitesten von der Stabilitätsgrenze (90 °) entfernt. 

Etwas schlechter, betreffend statischer Stabilität der Energieübertragung ist das Modell nur 

Diplomarbeit 

80


mit Spannungsregler, und das schlechteste Verhalten bezüglich stabiler Energieübertagung 

ergab das Modell ohne Spannungsregler (EUOR). 

Vergleich der Polradwinkel bei einer übertragenen Leistung von 175 W und Leitungslänge 

400 km : 

Diplomarbeit 

�ϑEUOR=58° 

�ϑEUMR=51° 

�ϑEUMRC=40° 

81

Zusammenfassung 

5 Zusammenfassung 

Die Liberalisierung des Strommarktes und der ständig wachsender Energiebedarf sind die 

Gründe, dass Netzbetreiber danach trachten, die vorhandenen Leitungen immer besser 

ausnützen zu wollen. Der wesentlicher Faktor, der die Belastbarkeit einer (langen) 

Übertragungsleitung begrenzt ist dabei die statische und dynamische Stabilität der 

Übertragung. Ziel der Netzbetreiber muss es also sein, die Stabilitätsgrenze der 

Übertragungsleitungen bei gleichzeitiger Steigerung der Power Quality zu vergrößern. 

In dieser Arbeit geht es um die Untersuchung, wie die übertragene Leistung eines 

Elektrizitätsversorgungssystems mit der Freileitungslänge und dem Belastungszustand des 

Systems zusammenhängt und wie man sie steigern kann. 

Zur theoretischen Untersuchung des Sachverhaltes wird das Elektrizitätsversorgungssystem, 

bestehend aus Turbine, Synchrongenerator, Blocktransformator, Freileitung und dem starren 

Netz, zuerst durch entsprechende „elektrotechnische“ Ersatzschaltungen beschrieben. Es folgt 

die Aufstellung der Systemgleichungen, wobei der gesuchte Zusammenhang die Verbindung 

von übertragener Leistung mit der Leitungslänge und dem Belastungszustand (Polradwinkel) 

war. Anhand dieses Zusammenhangs ist man in der Lage, bei gegebenen Systemgrößen die 

statische Stabilitätsgrenze des Übertragungssystems zu ermitteln bzw. Aussage darüber zu 

treffen, wie lange die Leitung höchstens werden darf um eine vorgegebene Leistung ohne 

Stabilitätsverlust noch übertragen zu können. Um die Stabilitätsverhältnisse der 

Energieübertragung zu verbessern, wurde der Synchrongenerator mit einem Spannungsregler 

erweitert und die Freileitung in Verbindung mit einem Thyristor gesteuerten 

Reihenkondensator (TCSC) betrieben. 

Die Simulation der unterschiedlichen Übertragungsmodelle 

a) Synchronmaschine ohne Spannungsregler 

b) Synchronmaschine mit Spannungsregler 

c) Synchronmaschine mit Spannungsregler und gesteuerten Reihenkondensator 

erfolgte mit Hilfe des Programms MATLAB 6.0. 

Diese Simulationsmodelle bzw. deren Ergebnisse bildeten dann die Grundlage zum Entwurf 

eines Labormodells, durch deren Hilfe die Studierenden die Auswirkungen des 

Spannungsreglers, der Freileitung (Leitungslänge) und des Thyristor gesteuerten 

Reihenkondensators in bezug auf die Stabilität der Energieübertragung selbst untersuchen und 

Diplomarbeit 

82

Zusammenfassung 

somit erarbeiten können. Zu diesem Zweck wurde auch eine vollständige Dimensionierung 

des Thyristor gesteuerten Reihenkondensators vorgenommen. 

Es stellte sich heraus, dass die Variante c) den besten Zustand betreffend Stabilität der 

Energieübertragung ergab bzw. die größte Leistung bei Einhaltung der Stabilitätsgrenzen 

übertragen werden kann. 

Danach folgte die Variante b) und das schlechteste Übertragungsverhalten bezogen auf die 

Stabilität der Energieübertragung ergab die Variante a). 

Das heißt, neben dem (teuren) Leitungsneubau sind die zwei wichtigsten und natürlich auch 

preisgünstigsten Maßnahmen zur Erhöhung der Stabilität und damit auch der übertragbaren 

Leistung die Erhöhung der Übertragungsspannung und Reduktion der Kuppelimpedanz durch 

fixe oder steuerbare Reihenkondensatoren. 

Ausblick in die Zukunft 

Durch Entwicklung eines Regelschemas für den TCSC zur Bekämpfung von untersynchronen 

Resonanzen sowie zur aktiven Dämpfung von Leistungspendelungen würde sich der 

Anwendungsbereich des TCSC wesentlich vergrößern. 

Diplomarbeit 

83

Literaturverzeichnis 

6 Literaturverzeichnis 

[1] GRÜNBAUM Rolf, MOJTABA Noroozian, BJÖRN Thorvaldsson 

„FACTS – powerful systems for flexible power transmission” 

Fachartikel, ABB Review 5/1999 

[2] MUCKENHUBER Richard 

[3] FRIEDRICH Kurt 

“Elektrische Energieerzeugung” 

Vorlesungsskriptum, TU-Graz 1994 

“Begriffsbestimmungen für die österreichische Elektrizitätswirtschaft” 


[4] CONSTANTINESCU Liviu 

„Handbuch elektrischer Energietechnik“ 

Vieweg Verlag, 1996 

[5] FLOSDORFF Rene, HILGARTH Günther 

„Elektrische Energieverteilung“ 

Teubner Stuttgart, 1986 

[6] MUCKENHUBER Richard 

„Elektrische Energieübertragung“ 


[7] HANDSCHIN Edmund 

„Elektrische Energieübertragungssysteme“ 

Huethig, 1997 

[8] FISCHER Rolf 

„Elektrische Maschinen“ 

Hanser, 1989 

[9] HAPPOLD Hans, OEDING Dietrich 

Diplomarbeit 

„Elektrische Kraftwerke und Netze“ 

Springer, 1978 

84

Literaturverzeichnis 

[10] HOSEMANN Gerhard 

„HÜTTE - Elektrische Energietechnik - Band 3 - Netze “ 

Springer, 1988 

[11] RENTMEISTER Manfred 

[12] PRABHA Kundur 

„Elektrische Maschinen 1“ 


„Power System Stability and Control“ 

EPRI, 1994 

[13] GRÜNBAUM Rolf, NOROOZIAN Mojtaba, THORVALDSSON Björn 

„TCSC - Thyristor Controlled Series Capacitors“ 

Fachartikel, ABB Power Transmission, 

www.abb.com/powersystems 

[14] FORK Kurt, JULING Werner 

“Dämpfung von Leistungspendelungen durch Beeinflussung der 

Generatorregelung” 

Siemens Energietechnik 3, 1981, Seite 9-12 

[15] ORFANNOGIANNI Tina 

„A flexible software environment for steady state power flow optimisation with 

series FACTS devices” 

[16] GRÜNBAUM Rolf 

Dissertation, ETH-Zürich, 2000 

“Enhancing of transmission capability of power corridors by means of series 

compensation “ 

[17] RENNER Herwig 

Diplomarbeit 

CEPLEX 99 Conference, Poznan, March 1999 

“Netzregelung und Stabilität” 


85

Abkürzungen 

7 Abkürzungen 

In der Diplomarbeit verwendete Abkürzungen 

AC Alternating Current 

Al Aluminium 

FACTS Flexible AC Transmission System 

Fkt. Funktion 

MOV Metalloxid Varistor 

P-Regler Proportional-Regler 

PID-Regler Proportional-Integral-Differential-Regler 

p.u. per unit 

SSR Sub Synchronous Resonance 

St Stahl 

SVR Synchronous Voltage Reversal 

TCR Thyristor Controlled Reactor 

TCSC Thyristor Controlled Series Capacitor 

Tu Umgebungstemperatur 

UCTE Union pour la coordination du transport de l’électricité 

Z1,Z2 

Querimpedanzen der Π-Ersatzschaltung 

Z3 Längsimpedanz der Π-Ersatzschaltung 

Y1,Y2 

Queradmittanzen der Π-Ersatzschaltung 

Y3 Längsadmittanz Π-Ersatzschaltung 

Yνµ Element der Systemadmittanzmatrix 

1 

Z ( νν ) = Eigenimpedanz 

Yνν 

1 

Z ( νµ ) = − Kuppelimpedanz 

Yνµ 

ωm mechanische Drehzahl 

ω0 Netzkreisfrequenz 

Diplomarbeit 

86

Anhang 

8 Anhang 

8.1 Matlab – M.Files 

8.1.1 Vergleich der Maximalwerte der übertragbaren Leistung 

% Vergleich der Maximalwerte der Übertragbaren Leistung 

hold on; 

%Array von EUOR, EUMR und EUMRCE initialisieren 

%Array der Längenwerte initialisieren 

L=[100 200 300 400 500 600]; 

EUOR=[310.44 260.28 226.71 203.23 186.38 174.20]; 

EUMR=[711.13 585.10 463.57 359.86 296.51 265.78]; 

EUMRCE=[877.41 796.37 743.79 711.53 667.11 608.16]; 

%Plotbefehl 

plot(L,EUOR,'-',L,EUMR,'--',L,EUMRCE,':') 

grid on 

legend('Energieübertragung ohne Spannungsregler','Energieübertragung mit Spannungsregler','Energieübertragung mit 

Spannungsregler und TCSC ') 

xlabel('Leitungslänge [km]') 

ylabel('max. übertragbare Leistung [Watt]') 

title('Maximal übertragbare Wirkleistung in Abh. der Leitungslänge') 

8.1.2 Kuppel- und Eigenimpedanz als Funktion der Leitungslänge 

%Programm zur Berechung der Kuppel- und Eigenimpedanzen als Fkt. der Leistungslänge 

format long 

z12abs_m=[]; 

z11abs_m=[]; 

z22abs_m=[]; 

X_m=[]; 

for X= 0 : 10 : 2000 

% Berechnung von Omega 

w=2*pi*50; 

% Widerstandsbelag der Freileitung 

Rstrich=0.03; 

% Induktivitätsbelag der Freileitung 

XLstrich=0.3; 

% Berechnung der Betriebsreaktanz XL und der Induktivität L 

XL=(XLstrich*X); 

L=(XL/w); 

% Halber wert der Betriebskapazität, laut Ifea Modell 

cbh=L/(2*274*274); 

% Berechnung des Betriebswiderstandes RL 

RL=Rstrich*X; 

% Berechnung der Suszeptanzen der Freileitung, wobei der Index p für Pi-Ersatzschaltung steht 

y1p=w*cbh*i; 

y2p=y1p; 

% Berechnung der Betriebsimpedanz der Freileitung bzw. der Betriebsadmittanz 

z3p=RL+XL*i; 

y3p=1/(z3p); 

% Umrechnung Admittanz-Impedanz 

z1p=1/(y1p); 

z2p=z1p; 

% Impedanzkorrektur 

z3pk=((sinh(sqrt(2*z3p/z2p)))/(sqrt(2*z3p/z2p)))*z3p; 

z2pk=((sqrt(z3p/(2*z2p)))/(tanh(sqrt(z3p/(2*z2p)))))*z2p; 

z1pk=z2pk; 

% Umrechnung Impedanz-Admittanz 

y1pk=inv(z1pk); 



Diplomarbeit 

87

Anhang 

% Vereinfachung-Faktorisierung 

k1=y1pk*y2pk; 

k2=y2pk*y3pk; 

k3=y1pk*y3pk; 

k=k1+k2+k3; 

% Berechnung der Ersatzimpedanzen der T Ersatzschaltung 

z1t=y1pk/k; 

z2t=y2pk/k; 

z3t=y3pk/k; 

% Parameter der Trafo und Synchronreaktanz 

zd=117.9*i; 

zt=5.74*i; 

zc=-100*i; 

% Zusammenfassung der Impedanzen 

z1g=z1t+zt+zc; 

z2g=z2t; 

z3g=z3t; 


k4=z1g*z2g; 

k5=z2g*z3g; 

k6=z1g*z3g; 

k7=k4+k5+k6; 

% Berechnung der Ersatzadmittanzen der Pi Ersatzschaltung 

y1pg=z1g/k7; 

y2pg=z2g/k7; 

y3pg=z3g/k7; 

zz1=1/y1pg 

zz2=1/y2pg 

zz3=1/y3pg 

% Anschreiben in Matrixform 

y11=y3pg+y2pg; 

y12=-(y3pg); 

y21=-(y3pg); 


% Umrechnung auf Kuppel und Eigenimpedanzen der Pi Ersatzschaltung 

z11=1/(y11); 

z12=-(1/(y12)); 

z21=-(1/(y21)); 

z22=1/(y22); 


format long; 

z11abs=abs(z11); 



z12abs_m=[z12abs_m z12abs]; 



X_m=[X_m X]; 

grid on 

end 

plot(X_m,z12abs_m,'-',X_m,z11abs_m,'--',X_m,z22abs_m,'-.') 

title('Kuppel- und Eigenimpedanz als Fkt. der Leitungslänge') 

legend('Impedanz Z12') 

xlabel('Leitungslänge [km]') 

ylabel('Z12 [Ohm]') 

hold on; 

8.1.3 Energieübertragung ohne Spannungsregler 

function EUOR (X); 

%EUOR...Energieübertragung ohne Regler 

%Festlegung des Zahlformates 

format long 


w=2*pi*50 


Rstrich=0.03; 

Diplomarbeit 

88

Anhang 


XLstrich=0.3; 



L=(XL/w); 


cbh=L/(2*274*274) 


RL=Rstrich*X; 

% Berechnung der Suszeptanzen der Freileitung, wobei der Index p für Pi-Ersatzschaltung steht 

y1p=w*cbh*i; 

y2p=y1p 

% Berechnung der Betriebsimpedanz der Freileitung bzw. der Betriebsadmittanz 

z3p=RL+XL*i 

y3p=inv(z3p) 

% Umrechnung Admittanz-Impedanz 

z1p=inv(y1p) 

z2p=z1p 

% Impedanzkorrektur 

z3pk=((sinh(sqrt(2*z3p/z2p)))/(sqrt(2*z3p/z2p)))*z3p 

z2pk=((sqrt(z3p/(2*z2p)))/(tanh(sqrt(z3p/(2*z2p)))))*z2p 

z1pk=z2pk 


y1pk=inv(z1pk) 




k1=y1pk*y2pk 

k2=y2pk*y3pk 

k3=y1pk*y3pk 

k=k1+k2+k3 

% Berechnung der Ersatzimpedanzen der T Ersatzschaltung 

z1t=y1pk/k 

z2t=y2pk/k 

z3t=y3pk/k 


zd=118*i; 

zt=5.74*i; 

% Zusammenfassung der Impedanzen 

z1g=z1t+zd+zt 

z2g=z2t 

z3g=z3t 


k4=z1g*z2g 

k5=z2g*z3g 

k6=z1g*z3g 

k7=k4+k5+k6 

% Berechnung der Ersatzadmittanzen der Pi Ersatzschaltung 

y1pg=z1g/k7 

y2pg=z2g/k7 

y3pg=z3g/k7 


y11=y3pg+y2pg 

y12=-(y3pg) 

y21=-(y3pg) 

y22=y1pg+y3pg 

Y=[y11 y12;y21 y22] 

% Umrechnung auf Kuppel und Eigenimpedanzen der Pi Ersatzschaltung 

z11=inv(y11) 

z12=-(inv(y12)) 

z21=-(inv(y21)) 

z22=inv(y22) 


z=[z11 z12;z21 z22] 

%Initialisierung der Spannungen 

u1=127 

u2=127 

% Berechnung des Leitungswinkels in Bogenmaß 

psi11=angle(z11) 

Diplomarbeit 

89

Anhang 




% Berechnung der Komplementärwinkel 

a11=(pi/2) - psi11 

a12=(pi/2) - psi12 

a21=(pi/2) - psi21 

a22=(pi/2) - psi22 

% Umrechnung rad-grad 

a11g=a11 * 360 / (2*pi) 

a12g=a12 * 360 / (2*pi) 

a21g=a21 * 360 / (2*pi) 

a22g=a22 * 360 / (2*pi) 

% Berechnung des Betrages der komplexen Impedanzen 

z11abs=abs(z11) 



% Berechnung der Faktoren A1,A2,B zur Berechnung der Leistungen 

A1=(u1*u1*sin(a11)) / z11abs 

A2=(u2*u2*sin(a22)) / z22abs 

B=(u1*u2) / z12abs 

% Laufvariable des Polradwinkels 

thetag= 0 : 5 : 180 

thetar=thetag*pi/180; 

% Berechnung der Leistungen 

P1ges=3* ( A1 + (B*sin(thetar-a12))) 

P2ges=3* (-A2 + (B*sin(thetar+a12))) 

% Achsenbeschriftung und Plotkonfiguration 

plot(thetag,P1ges,'-',thetag,P2ges,'--') 

grid on 

legend('In die Leitung hineingeschickte Leistung P1','Aus der Leitung herauskommende Leistung P2') 

xlabel('Theta [°] (Winkel zwischen Polradspannung Ep und Netzspannung U2)') 

ylabel('Wirkleistung [W]') 

title('Übertragene Leistung als Fkt. des Polradwinkels') 

% Maximalwert der übertagbaren Leistung 

% p2max=max(P2ges); 

p2max=3*(-A2+B); 

P2MAX=p2max; 

% Anzeigen der berechneten Werte am Bildschirm (Ep) 

Teilung=p2max/10; 

[a,erromsg]=sprintf('%5.2f',u1) 

U1='Ep='; 

V=' V'; 

k=strcat(U1,a,V); 

text(60, Teilung*7,k) 

% Anzeigen der berechneten Werte am Bildschirm (U2) 

[u,erromsg]=sprintf('%5.2f',u2) 

U2='U2='; 

V=' V'; 

k=strcat(U2,u,V); 


% Anzeigen der berechneten Werte am Bildschirm (Länge) 

Teilung=p2max/10; 

[s,erromsg]=sprintf('%5.2f',X) 

L='Länge='; 

KM=' km'; 

k=strcat(L,s,KM); 


% Anzeigen der berechneten Werte am Bildschirm (Cbh) 

[d,erromsg]=sprintf('%5.9f',cbh) 

CBH='Cbh='; 

F=' F'; 

k=strcat(CBH,d,F); 


% Anzeigen der berechneten Werte am Bildschirm (RL) 

[f,erromsg]=sprintf('%5.2f',RL) 

RL='RL='; 

O=' Ohm'; 

k=strcat(RL,f,O); 

Diplomarbeit 

90

Anhang 


% Anzeigen der berechneten Werte am Bildschirm (XL) 

[g,erromsg]=sprintf('%5.2f',XL) 

XL='XL='; 

O=' Ohm'; 

k=strcat(XL,g,O); 


% Anzeigen der berechneten Werte am Bildschirm (P2max) 

[h,erromsg]=sprintf('%5.2f',P2MAX) 

P2MAX='P2max='; 

W=' Watt'; 

k=strcat(P2MAX,h,W); 

text(60, Teilung,k) 

hold on; 

8.1.4 Energieübertragung mit Spannungsregler und Kompensation 

(Blindleistungsbetrachtung nur für die Leitung und Transformator) 

function EUMRCBL (X); 

%EUMRCBL ... Energie Übertragung mit Regler und Blindleistungsbetrachtung nur für die Leitung mit Kompensation der 

Längsreaktenz 

format long e ; 


w=2*pi*50; 


Rstrich=3e-002; 


XLstrich=3e-001; 



L=(XL/w); 


cbh=L/(2*274^2); 


RL=Rstrich*X; 

% Berechnung der Suszeptanzen der Freileitung ,wobei der Index p für Pi-Ersatzschaltung steht 

y1p=w*cbh*i; 

y2p=y1p; 

% Berechnung der Betriebsimpedanz der Freileitung 

z3p=RL+XL*i; 

z1p=inv(y1p); 

z2p=z1p; 

% Korrektur der Impedanzen für Feileitungslängen größer 300km 

z3pk=((sinh(sqrt(2*z3p/z2p)))/(sqrt(2*z3p/z2p)))*z3p; 

z2pk=((sqrt(z3p/(2*z2p)))/(tanh(sqrt(z3p/(2*z2p)))))*z2p; 

z1pk=z2pk; 





% Vereinfachung-Faktorisierung (Beginn der Umrechnung Pi-Ersatzschaltung in die T-Ersatzschaltung) 

k1=y1pk*y2pk; 

k2=y2pk*y3pk; 

k3=y1pk*y3pk; 

k=k1+k2+k3; 

% Berechnung der Ersatzimpedanzen der T-Ersatzschaltung 

z1t=y1pk/k; 

z2t=y2pk/k; 

z3t=y3pk/k, 


zd=117.9*i; 

zt=5.74*i; 

%Parameter des Serienkondensators 

zc=-XL*i 

% Zusammenfassung der Impedanzen der T-Ersatzschaltung 

z1g=z1t+zd+zt; 

Diplomarbeit 

91

Anhang 

z2g=z2t+zc; % Kompensation der Längsreaktanz am Leitungsende 

z3g=z3t; 

% Vereinfachung-Faktorisierung (Beginn der Umrechnung T-Ersatzschaltung in die Pi-Ersatzschaltung) 

k4=z1g*z2g; 

k5=z2g*z3g; 

k6=z1g*z3g; 

k7=k4+k5+k6; 

% Berechnung der Ersatzadmittanzen der Pi-Ersatzschaltung 

y1pg=z1g/k7; 

y2pg=z2g/k7; 

y3pg=z3g/k7; 



y12=-y3pg; 

y21=-y3pg; 


Y=[y11 y12;y21 y22] 

% Umrechnung auf Kuppel- und Eigenimpedanzen der Pi-Ersatzschaltung 

z11=inv(y11); 

z12=-inv(y12); 

z21=-inv(y21); 

z22=inv(y22); 


z=[z11 z12;z21 z22] 

% Berechnung der Leitungswinkel in Bogenmaß 

psi11=angle(z11); 




% Berechnung der Komplementärwinkel in Bogenmaß 

a11=(pi/2) - psi11; 

a12=(pi/2) - psi12; 

a21=(pi/2) - psi21; 

a22=(pi/2) - psi22; 

% Umrechnung von rad auf grad 

format long e; 

a11g=a11 * 360 / (2*pi); 

a12g=a12 * 360 / (2*pi); 

a21g=a21 * 360 / (2*pi); 

a22g=a22 * 360 / (2*pi); 

% Betragsberechnung der Kuppel- und Eigenimpedanzen 




% Berechnung der Pi-Ersatzschaltung ohne Synchronreaktanz zur Ermittlung von I1 

z1gm=z1t+zt; 

z2gm=z2t+zc; 

z3gm=z3t; 

% Vereinfachung-Faktorisierung (Beginn der Umrechnung Pi-Ersatzschaltung in die T-Ersatzschaltung) 

k4m=z1gm*z2gm; 



k7m=k4m+k5m+k6m; 

% Berechnung der Ersatzadmittanzen der Pi-Ersatzschaltung 

y1pgm=z1gm/k7m; 




y11m=y3pgm+y2pgm; 

y12m=-y3pgm; 

y21m=-y3pgm; 

y22m=y3pgm+y1pgm; 

% Umrechnung auf Kuppel- und Eigenimpedanzen der Pi-Ersatzschaltung 

z11m=inv(y11m); 

z12m=-inv(y12m); 

z21m=-inv(y21m); 

z22m=inv(y22m); 


z=[z11m z12m;z21m z22m] 

Diplomarbeit 

92

Anhang 

% Berechnung der Leitungswinkel in Bogenmaß 

psi11m=angle(z11m); 




% Berechnung der Komplementärwinkel in Bogenmaß 

a11m=(pi/2) - psi11m; 

a12m=(pi/2) - psi12m; 

a21m=(pi/2) - psi21m; 

a22m=(pi/2) - psi22m; 

% Betragsberechnung der Kuppel- und Eigenimpedanzen 

z11mabs=abs(z11m) 



% Array-Initialisierung von Epeff,P1tges,P2tges,Q1mges,Q2mges,thetagesg,u1eff 

Epeff_m=[]; 

P1tges_m=[]; 

P2tges_m=[]; 

Q1mges_m=[]; 

Q2mges_m=[]; 

thetagesg_m=[]; 

ukleff_m=[]; 

% Beginn der ersten While Schleife zur Berechnung der Leistungen bei konstanter Generatorklemmenspannung Ukl 

%Initialisierung des Polradwinkels und der Polradspannung 

thetalg=0; 

Epeff=0; 

%Solange die Polradspannung kleiner 288 V ist wird in der Schleife 

%in Abhängigkeit des Polradwinkels die Polradspannung bei konstanter Generatorklemmenspannung berechnet. 

while Epeff < 288 

thetalg = thetalg +0.1; 

thetalr=thetalg*pi/180; 

%Solange die maximale Polradspannung nicht erreicht ist ,soll die Klemmenspannung des Generators auf konstante 127 V 

gehalten werden. 

ukleff=127; 

%Die Netzspannung ist betragsmäßig und winkelmäßig Bezugsgröße (127 Veff,Winkel=0 Grad) 

u2eff=127; 

%Generatorklemmenspannung komplex (Index k ... komplex) 

uklk=(ukleff*cos(thetalr))+(i*ukleff*sin(thetalr)); 

%Netzspannung komplex 

u2k=u2eff; 

% Berechnung des in die Leitung fließenden (komplexen) Stromes I1 

I1k=y11m*uklk+y12m*u2k; 

%Komplexer Spannungsabfall an der Synchronreaktanz 

duk=I1k*zd; 

%Rückgerechnete komplexe Polradspannung 

Epk=duk+uklk; 

%Effektivwert der Polradspannung 

Epeff=abs(Epk); 

%Berechnung des gesamten Polradwinkels (zwischen Ep und U2=Unetz) 

thetagesr=atan2(imag(Epk),real(Epk)); 

thetagesg=(thetagesr*180)/pi; 

% Berechnung der ges. Wirkleistungen P1 und P2 für die gesamten Übetragungsstrecke (a12,a11,a22 und z11abs usw.) 

% Berechnung der ges. Blindleistungen Q1 und Q2 nur für die Leitung und Transformator (a12m,a11m,a22m und 

z11mabs usw.) 

%Solange Polradspannung nicht ganz ausgeregelt ist (kleiner 288 V) , ist u1eff auf konstante 127 V 

ukleff=127; 

%Berechnung der Faktoren A1t, A2t und Bt zur Ermittlung der übertragbaren Wirkleistungen 

A1t=(Epeff*Epeff*sin(a11)) / z11abs; 

A2t=(u2eff*u2eff*sin(a22)) / z22abs; 

Bt=(Epeff*u2eff) / z12abs; 

%Berechnung der Faktoren A1m, A2m und Bm zur Ermittlung der übertragbaren Blindleistung (nur Leitung und 

Transformator!) 

A1m=(ukleff*ukleff*cos(a11m)) / z11mabs; 

A2m=(u2eff*u2eff*cos(a22m)) / z22mabs; 

Bm=(ukleff*u2eff) / z12mabs; 

%Berechnung der übetragbaren Wirk und Blindleistung 

P1tges=3*(A1t + (Bt*sin(thetagesr-a12))); 

P2tges=3*(-A2t +(Bt*sin(thetagesr+a12))); 

Q1mges=3*(A1m - (Bm*cos(thetalr-a12m))); 

Diplomarbeit 

93

Anhang 

Q2mges=3*(-A2m +(Bm*cos(thetalr+a12m))); 

ukleff_m=[ukleff_m ukleff]; 

Epeff_m=[Epeff_m Epeff]; 

P1tges_m=[P1tges_m P1tges]; 


Q1mges_m=[Q1mges_m Q1mges]; 


thetagesg_m=[thetagesg_m thetagesg]; 

%Ende erste While Schleife 

end 

% Begin der zweiten while Schleife 

% Ab EP = 288 V kann nicht mehr von konstanter Generatorklemmenspannung ausgegengen werden. Es wird nun, solange 

%der Polradwinkel kleiner 180 Grad ist 

% von Ep auf ik zurückgerechnet, um dann auf die tatsächliche Generatorklemmenspannung rückzurechnen. 

% Danach folgt wieder die Berechnung von Wirk und Blindleistung 

while thetagesg < 180 

thetagesg=thetagesg + 0.1; 

thetagesr=thetagesg*pi/180; 

Epeff=288; 

u2eff=127; 

%Netzspannung komplex 

u2k=u2eff; 

Epk=(Epeff*cos(thetagesr))+(i*Epeff*sin(thetagesr)); 

I1k=y11*Epk+y12*u2k; 

duk=I1k*zd; 

uklk=Epk-duk; 

ukleff=abs(uklk); 

%Berechnung der Faktoren A1t, A2t und Bt zur Ermittlung der übertragbaren Wirkleistungen 

A1t=(Epeff*Epeff*sin(a11)) / z11abs; 

A2t=(u2eff*u2eff*sin(a22)) / z22abs; 

Bt=(Epeff*u2eff) / z12abs; 

%Berechnung der Faktoren A1m, A2m und Bm zur Ermittlung der übertragbaren Blindleistung (nur Leitung und 

Transformator!) 

A1m=(ukleff*ukleff*cos(a11m)) / z11mabs; 

A2m=(u2eff*u2eff*cos(a22m)) / z22mabs; 

Bm=(ukleff*u2eff) / z12mabs; 

%Berechnung der übetragbaren Wirk- und Blindleistung 

P1tges=3*(A1t + (Bt*sin(thetagesr-a12))); 

P2tges=3*(-A2t +(Bt*sin(thetagesr+a12))); 

Q1mges=3*(A1m - (Bm*cos(thetalr-a12m))); 

Q2mges=3*(-A2m +(Bm*cos(thetalr+a12m))); 

ukleff_m=[ukleff_m ukleff]; 

Epeff_m=[Epeff_m Epeff]; 





thetagesg_m=[thetagesg_m thetagesg]; 

%Ende zweite While Schleife 

end 

% Maximalwert der übertagbaren Leistung,der Polradspannung und der Generatorklemmenspannung 

p2maxt=max(P2tges_m); 

epmax=max(Epeff_m); 

uklmin=min(ukleff_m); 


hold on; 

plot(thetagesg_m,P1tges_m,'-',thetagesg_m,P2tges_m,'--') 

plot(thetagesg_m,Q1mges_m,'-.m',thetagesg_m,Q2mges_m,':k') 

plot(thetagesg_m,Epeff_m,'-c') 

plot(thetagesg_m,ukleff_m,':b') 

grid on 

legend('In die Leitung hineingeschickte Wirkleistung P1','Aus der Leitung herauskommende Wirkleistung P2','In die Leitung 

hineingeschickte Blindleistung Q1','Aus der Leitung herauskommende Blindleistung Q2','Polradspannung 

Ep','Generatorklemmenspannung Ukl') 

xlabel('Theta [°] (Winkel zwischen Polradspannung Ep und Netzspannung U2)') 

ylabel('Wirkleistung [W],Blindleistung [Var],Polradspannung [V],Generatorklemmenspannung [V]') 

title('Übertragene Leistung als Funktion des Polradwinkels (mit kompensierter Längsreaktanz der Leitung)') 

% Anzeigen der berechneten Werte am Bildschirm (Epmax) 

Teilung=p2maxt/10; 

Diplomarbeit 

94

Anhang 

[e,erromsg]=sprintf('%5.2f',epmax) 

Epmax='Epmax='; 

V=' V'; 

k=strcat(Epmax,e,V); 

text(20, Teilung*(-0),k) 

% Anzeigen der berechneten Werte am Bildschirm (u1) 

[a,erromsg]=sprintf('%5.2f',uklmin) 

Ukl='Uklmin='; 

V=' V'; 

k=strcat(Ukl,a,V); 


% Anzeigen der berechneten Werte am Bildschirm (U2) 

[u,erromsg]=sprintf('%5.2f',u2eff) 

U2='U2='; 

V=' V'; 

k=strcat(U2,u,V); 


% Anzeigen der berechneten Werte am Bildschirm (P2max) 

[c,erromsg]=sprintf('%5.2f',p2maxt) 

p2maxt='P2max='; 

O=' Watt'; 

k=strcat(p2maxt,c,O); 


% Anzeigen der berechneten Werte am Bildschirm (Länge) 

[s,erromsg]=sprintf('%5.2f',X) 

L='Länge='; 

KM=' km'; 

k=strcat(L,s,KM); 


% Anzeigen der berechneten Werte am Bildschirm (Cbh) 

[d,erromsg]=sprintf('%5.9f',cbh) 

CBH='Cbh='; 

F=' F'; 

k=strcat(CBH,d,F); 


% Anzeigen der berechneten Werte am Bildschirm (RL) 

[f,erromsg]=sprintf('%5.2f',RL) 

RL='RL='; 

O=' Ohm'; 

k=strcat(RL,f,O); 


% Anzeigen der berechneten Werte am Bildschirm (XL) 

[g,erromsg]=sprintf('%5.2f',XL) 

XL='XL='; 

O=' Ohm'; 

k=strcat(XL,g,O); 


hold off 

Diplomarbeit 

95

Anhang 

8.1.5 Simulation des Arbeitsbereiches eines TCSC 

%Programm zur Simulation des Arbeitsbereiches des Labor-TCSC 

format long e ; 

%Berechnung der Kreisfrequenz Omega 

w=2*pi*50; 

%Vorgabe der KapazitätC=40e-006 F 

l=127e-003; 

c=40e-006; 

s=1.5; 

thetag=90; 

% Initialisierung des Arrays der Impedanzwerte des TCSC und des Zündwinkels 

xtcsc_m=[]; 

xbez_m=[]; 

xtcr_m=[]; 

thetag_m=[]; 

u_m=[]; 

il_m=[]; 

ic_m=[]; 

hlx_m=[]; 

hlu_m=[]; 

hla_m=[]; 

hlw_m=[]; 

hlil_m=[]; 

hlic_m=[]; 

% Begin der while Schleife zur Berechnung von Xtcsc als Fkt. des Zündwinkels 

while thetag < 180 

thetag = thetag +1; 

thetar=thetag*pi/180; 

k=((2*pi)-(2*thetar)+sin(2*thetar))/(pi*w*l); 

btcsc=(w*c)-k; 

btcr=-k; 

xtcr=-1/btcr; 

bc=btcsc-btcr; 

xtcsc=-1/(btcsc); 

xbez=xtcsc/(-1/(w*c)); 

u=xtcsc*s; 

xc=-1/bc; 

xl=-1/btcr; 

il=u/xl; 

ic=u/xc; 

hlx=-100; 

hlu=-150; 

hla=1.25; 

hlw=143.4; 

hlil=-0.38; 

hlic=1.89; 

xtcsc_m=[xtcsc_m xtcsc]; 

xbez_m=[xbez_m xbez]; 

xtcr_m=[xtcr_m xtcr]; 

u_m=[u_m u]; 

il_m=[il_m il]; 

ic_m=[ic_m ic]; 

thetag_m=[thetag_m thetag]; 

hlx_m=[hlx_m hlx]; 

hlu_m=[hlu_m hlu]; 

hla_m=[hla_m hla]; 

hlw_m=[hlw_m hlw]; 

hlil_m=[hlil_m hlil]; 

hlic_m=[hlic_m hlic]; 

end 

%Ende der while Schleife 


%hohe Aufloesssung 

subplot(2,1,1) 

plot(thetag_m,xbez_m,'-',thetag_m,il_m,'-',thetag_m,ic_m,'-.',thetag_m,hla_m,'k-',hlw_m,u_m,'k-',thetag_m,hlil_m,'k- 

',thetag_m,hlic_m,'k-') 

Diplomarbeit 

96

Anhang 

legend('xbez','IL','IC'); 

axis([90 180 -5 5]) 

title('Arbeitsdiagramme des Labor-TCSC') 

ylabel('Xbez.[],IL[A],IC[A]'); 

grid off; 

%niedere Aufloessung 

subplot(2,1,2) 

plot(thetag_m,xtcsc_m,'-',thetag_m,u_m,'r-.',thetag_m,hlx_m,'k-',thetag_m,hlu_m,'k-',hlw_m,u_m,'k-') 

legend('Xtcsc','U',4) 

axis([90 180 -350 0]) 

xlabel('Thyristor Zündwinkel [°]'); 

ylabel('Xtcsc [Ohm],U[V]') 

Diplomarbeit 

97

Modelluntersuchungen betreffend die Stabilität - Institut für ...

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