Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

2 Normalisierungen der projektiven GeradenSei A ein Integritätsbereich und K der Quotientenkörper von A. Der FunktionenkörperK(S) eines ganzen Schemas S ist der lokale Ring am generischenPunkt von S. Ist S = PAn = Proj(A[X 0, . . . , X n ]) der n-dimensionale projektiveRaum über A, so istK(P n A ) = K(P n K) = K(t 1 , . . . , t n ),der rationale Funktionenkörper in den n Variablen t i = X iX 0(i ≠ 0) über K.Ist n = 1, so setzen wir t := t 1 = X 1X 0und identifizieren K(PA 1) = K(t).2.1 Dedekind-Weber-Äquivalenz über KörpernSei jetzt k ein beliebiger Körper. Eine Kurve über k ist ein reduziertes, separiertesk-Schema von endlichem Typ und reiner Dimension 1. Unter allenKurven über dem Körper k gibt es nun eine gewisse Klasse von Kurven,die durch ihren Funktionenkörper schon (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmtsind. Genauer hat man die Dedekind-Weber-Äquivalenz, die besagt,daß beiden folgenden Kategorien äquivalent sind:(i) Die Kategorie C k• deren Objekte irreduzible, eigentliche, normale k-Kurven sind und• deren Morphismen nicht-konstante k-Morphismen sind.(ii) Die Kategorie F kDie Zuordnung• deren Objekte Funktionenkörper in einer Variablen über k sindund• deren Morphismen k-Körperhomomorphismen sind.C k −→ F kC ↦−→ K(C)einer solchen Kurve zu ihrem Funktionenkörper vermittelt diese Äquivalenz.Speziell ist die projektive Gerade Pk1 = Proj(k[X 0, X 1 ]) eine solche Kurve.Sie ist das Modell des rationalen Funktionenkörpers k(t) in einer Variablenüber k.8