Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

Besteht T wieder aus den n verschiedenen k-wertigen Punkten P 1 , . . . , P n ∈C, so gibt es nach dem Henselschen Lemma (vgl. Satz 5) R-wertige PunkteQ 1 , . . . , Q n von C derart, daß Q i nach P i spezialisiert. Sei ¯Q i := Q i ×Spec( ¯K)gesetzt.Für jede Primzahl p sei G p die abgeschlossene Untergruppe von π 1 (C \T ),die von den p-Sylowuntergruppen erzeugt wird. Man setztπ (p′ )1 (C \ T ) := π 1 (C \ T )/G p .Es sei weiter E (p′) (C \ T ) die Teilkategorie von E(C \ T ), die aus den galoischen,unverzweigten, irreduziblen Überlagerungen von C \ T von einemGrad prim zu p besteht. Dann entsprechen diese Überlagerungen den normalenUntergruppen von π (p′ )1 (C \ T ) von endlichem Index. Es gilt nun der vonGrothendieck stammendeSpezialisierungssatz. Die KategorienE (p′) (C \ {P 1 , . . . , P n }) und E (p′) (¯C \ { ¯Q 1 , . . . , ¯Q n })sind äquivalent. Insbesondere hat man eine Isomorphie von proendlichenGruppenπ (p′ )1 (C \ {P 1 , . . . , P n }) ∼ = π (p′ )1 (¯C \ { ¯Q 1 , . . . , ¯Q n }).Bemerkung. Tatsächlich gilt noch mehr: Bezeichnet π t 1(C \T ) die zahme Fundamentalgruppe,die man erhält, wenn man über T nur zahme Verzweigungzuläßt, so gibt es einen surjektiven Homomorphismus proendlicher GruppenˆΓ g,n −→ π t 1(C \ {P 1 , . . . , P n }),den sog. Spezialisierungshomomorphismus, der auf den prim-zu-p-Quotientenden obigen Isomorphismus induziert ([Mur, Chapter IX]).1.3 Beweisskizze der Lösung des HochhebeproblemsDas Hauptresultat dieser Arbeit wird mit Satz 6 die Lösung des obigen Hochhebeproblemssein. Wir werden das Problem auf das Hochheben von ebenenKurven zurückführen. Betrachten wir zunächst einen Spezialfall:1.3.1 Der nicht-singuläre FallSei also C ⊂ Pk2über k. Dann isteine ebene, irreduzible, projektive, nicht-singuläre KurveC = Proj (k[X, Y, Z]/(F ))5