Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE
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1.2 Anwendung: Die algebraische Fundamentalgruppe<strong>in</strong> <strong>positiver</strong> <strong>Charakteristik</strong>E<strong>in</strong>e Lösung des obigen Problems f<strong>in</strong>det se<strong>in</strong>e Anwendung bei gewissen Problemstellungen,die man zunächst nur <strong>in</strong> <strong>Charakteristik</strong> 0 lösen kann unddann im Fall <strong>positiver</strong> <strong>Charakteristik</strong> auf den Fall der <strong>Charakteristik</strong> 0zurückführen möchte. Wir betrachten dazu e<strong>in</strong> Beispiel (s. [Po2]). Sei C e<strong>in</strong>irreduzibles, reduziertes, noethersches, normales Schema über e<strong>in</strong>em Körperk, K(C) der Funktionenkörper <strong>von</strong> C und Ω e<strong>in</strong> fest gewählter algebraischerAbschluß <strong>von</strong> K(C). Dann ist die Kategorie E(C) der irreduziblen, etalenÜberlagerungen <strong>von</strong> C äquivalent zu der Kategorie K(C) der endlichen, separablenKörpererweiterungen F/K(C), die <strong>in</strong> Ω enthalten s<strong>in</strong>d und für dieaußerdem die Normalisierung ˜C −→ C <strong>von</strong> C <strong>in</strong> F unverzweigt ist. Dabeiwird e<strong>in</strong>er Überlagerung C ′ ∈ E(C) ihr Funktionenkörper zugeordnet. DasKompositum L aller Körpererweiterungen aus K(C) ist e<strong>in</strong>e GaloiserweiterungL/F (C). Die Gruppeπ 1 (C) := Gal(L/F (C))heißt die algebraische Fundamentalgruppe <strong>von</strong> C. Per Def<strong>in</strong>ition ist sie e<strong>in</strong>eproendliche Gruppe. Im allgeme<strong>in</strong>en ist ihre Struktur nicht bekannt. Allerd<strong>in</strong>gsgibt es im Fall char(k) = 0 Vergleichssätze (die auf den GAGA-Sätzen<strong>von</strong> Serre beruhen), die – wie wir gleich sehen werden – die Bestimmung <strong>von</strong>π 1 (C) mit Hilfe topologischer Methoden erlauben.Wir verallgeme<strong>in</strong>ern die Situation zunächst noch etwas: Ist T e<strong>in</strong> abgeschlossenes,reduziertes Unterschema <strong>von</strong> C, so entsprechen die irreduziblen,etalen Überlagerungen <strong>von</strong> C \T <strong>in</strong> funktorieller Weise den irreduziblen, normalenÜberlagerungen <strong>von</strong> C, die nur entlang T verzweigt s<strong>in</strong>d. π 1 (C \ T )beschreibt also die Kategorie der außerhalb T unverzweigten, irreduziblen,normalen Überlagerungen <strong>von</strong> C.Sei nun k = C der Körper der komplexen Zahlen, C e<strong>in</strong>e irreduzibles,reduziertes, normales, projektives Schema über C und T e<strong>in</strong> abgeschlossenesUnterschema <strong>von</strong> C. Dann trägt C(C) e<strong>in</strong>e <strong>von</strong> C <strong>in</strong>duzierte Topologie (diefe<strong>in</strong>er als die Zariskitopologie ist). In dieser Topologie ist C(C) \ T wegweisezusammenhängend. Mit π top1 (C(C) \ T ) sei die Gruppe der Homotopieklassen<strong>von</strong> geschlossenen Wegen (mit festem Basispunkt) <strong>in</strong> C(C) \ T , also dietopologische Fundamentalgruppe <strong>von</strong> C(C) \ T bezeichnet. Dann erhält mandie algebraische Fundamentalgruppe <strong>von</strong> C \ T gerade als Komplettierungder topologischen Fundamentalgruppe bzgl. der Krulltopologie.Hat C nun die Dimension 1 (d.h. C ist e<strong>in</strong>e Kurve) und besteht T ={P 1 , . . . , P n } aus n verschiedenen Punkten <strong>von</strong> C, so ist C(C) e<strong>in</strong>e kompakteRiemannsche Fläche und C(C)\T e<strong>in</strong>e n-fach punktierte, orientierbare, offene3