Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

1.2 Anwendung: Die algebraische Fundamentalgruppein positiver CharakteristikEine Lösung des obigen Problems findet seine Anwendung bei gewissen Problemstellungen,die man zunächst nur in Charakteristik 0 lösen kann unddann im Fall positiver Charakteristik auf den Fall der Charakteristik 0zurückführen möchte. Wir betrachten dazu ein Beispiel (s. [Po2]). Sei C einirreduzibles, reduziertes, noethersches, normales Schema über einem Körperk, K(C) der Funktionenkörper von C und Ω ein fest gewählter algebraischerAbschluß von K(C). Dann ist die Kategorie E(C) der irreduziblen, etalenÜberlagerungen von C äquivalent zu der Kategorie K(C) der endlichen, separablenKörpererweiterungen F/K(C), die in Ω enthalten sind und für dieaußerdem die Normalisierung ˜C −→ C von C in F unverzweigt ist. Dabeiwird einer Überlagerung C ′ ∈ E(C) ihr Funktionenkörper zugeordnet. DasKompositum L aller Körpererweiterungen aus K(C) ist eine GaloiserweiterungL/F (C). Die Gruppeπ 1 (C) := Gal(L/F (C))heißt die algebraische Fundamentalgruppe von C. Per Definition ist sie eineproendliche Gruppe. Im allgemeinen ist ihre Struktur nicht bekannt. Allerdingsgibt es im Fall char(k) = 0 Vergleichssätze (die auf den GAGA-Sätzenvon Serre beruhen), die – wie wir gleich sehen werden – die Bestimmung vonπ 1 (C) mit Hilfe topologischer Methoden erlauben.Wir verallgemeinern die Situation zunächst noch etwas: Ist T ein abgeschlossenes,reduziertes Unterschema von C, so entsprechen die irreduziblen,etalen Überlagerungen von C \T in funktorieller Weise den irreduziblen, normalenÜberlagerungen von C, die nur entlang T verzweigt sind. π 1 (C \ T )beschreibt also die Kategorie der außerhalb T unverzweigten, irreduziblen,normalen Überlagerungen von C.Sei nun k = C der Körper der komplexen Zahlen, C eine irreduzibles,reduziertes, normales, projektives Schema über C und T ein abgeschlossenesUnterschema von C. Dann trägt C(C) eine von C induzierte Topologie (diefeiner als die Zariskitopologie ist). In dieser Topologie ist C(C) \ T wegweisezusammenhängend. Mit π top1 (C(C) \ T ) sei die Gruppe der Homotopieklassenvon geschlossenen Wegen (mit festem Basispunkt) in C(C) \ T , also dietopologische Fundamentalgruppe von C(C) \ T bezeichnet. Dann erhält mandie algebraische Fundamentalgruppe von C \ T gerade als Komplettierungder topologischen Fundamentalgruppe bzgl. der Krulltopologie.Hat C nun die Dimension 1 (d.h. C ist eine Kurve) und besteht T ={P 1 , . . . , P n } aus n verschiedenen Punkten von C, so ist C(C) eine kompakteRiemannsche Fläche und C(C)\T eine n-fach punktierte, orientierbare, offene3