Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

Beispiel 7. Wir wollen jetzt auch die 2-fache Knotenkurve C f mitf = 3x 2 − 3y 2 + 2y 3 + y paus Beispiel 1 über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristikp > 3 hochheben. Dazu haben wir gleichzeitig Hochhebungen zu findenfür• die Koeffizienten von f(x, y) = 3x 2 − 3y 2 + 2y 3 + y p ,• die Koordinaten der Knoten (0, 0) und (0, 1),• die Koeffizienten der Gleichungen f x (0, 0) = f y (0, 0) = 0 und f x (0, 1) =f y (0, 1) = 0.Wir heben die Knoten zu (0, 0) bzw. (0, 1) ∈ A 2 R hoch. Wir müssen jetztandere Repräsentanten der Restklassen der Koeffizienten von f als in Beispiel6 wählen.Um die Bedingung φ y (0, 1) = 0 zu erfüllen möchte manφ(x, y) = −py + 3x 2 − 3y 2 + 2y 3 + y psetzen, d.h. den Koeffizienten 0 bei y zu −p hochheben. Aber dann ist (0, 0)kein singulärer Punkt mehr von C φ .Wir heben jetzt 1 bei y p zu 1 − p hoch und 0 bei y p−1 zu p. Dann istφ(x, y) = 3x 2 − 3y 2 + 2y 3 + py p−1 + (1 − p)y pund in der Tat erfüllt C φ = Spec(R[x, y]/(φ)) jetzt die geforderten Eigenschaften:1. φ ist eine Hochhebung von f, weil¯φ = φ (mod m) = 3x 2 − 3y 2 + 2y 3 + y p = f.2. (0, 0) und (0, 1) liegen auf C φ , weilφ(0, 0) = 0 und φ(0, 1) = −3 + 2 + p + 1 − p = 0.3. (0, 0) und (0, 1) sind singuläre Punkte von C φ , weilφ x = 6x,φ y = −6y + 6y 2 + p(p − 1)y p−2 + p(1 − p)y p−1und daherφ x (0, 0) = φ y (0, 0) = 0 und φ x (0, 1) = φ y (0, 1) = 0.37