Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

Die generische Faser ˜C K ist gleich der Normalisierung der generischenFaser C K , weil Normalisieren mit Lokalisieren vertauscht.Die abgeschlossene Faser ˜C k ist irreduzibel. In der Tat, wir betrachten ˜C kwie im Diagramm (8) als Kurve über PR 1 . Dann liegen die generischen Punkte˜η i von ˜C k über dem generischen Punkt η von PR 1. Der lokale Ring O PR 1,η istgerade der Bewertungsring derGaußbewertung v t auf K(t) = K(PR 1 ). Die generischen Punkte der abgeschlossenenFaser ˜C k entsprechen den Fortsetzungen von v t auf K(˜C). Nunist aber[K(˜C) : K(t)] = [K(C) : K(t)] = [K(C k ) : k(t)],somit hat v t (wegen der fundamentalen Ungleichung für die endliche, separableKörpererweiterung K( ˜C)/K(t)) eine eindeutige Fortsetzung auf K(˜C).Das bedeutet, daß über η genau ein generischer Punkt ˜η von ˜C liegt, unddieser ist der generische Punkt der abgeschlossenen Faser ˜C k .Im Teildiagramm unten links von (9) induziert die Normalisierung ˜C −→C den birationalen Morphismus˜C k = ˜C × Spec(k) −→ C × Spec(k) = C kauf den abgeschlossenen Fasern.Wir zeigen jetzt, daß die Fasern von ˜C nicht-singuläre Kurven sind. Fürdie generische Faser ist das klar, da ˜C K eine normale Kurve über K ist.Insbesondere sind dann das arithmetische und das geometrische Geschlechtvon ˜C K gleich. Die beiden Fasern ˜C K und ˜C k haben nun beide das gleichegeometrische Geschlecht wie die Kurve C k∼ = C, weil das für die Kurve CK derFall ist und das geometrische Geschlecht eine birationale Invariante ist. Diearithmetischen Geschlechter der Fasern sind aber auch gleich, weil ˜C flachüber R ist. Daher haben wir mit Formel (4) insgesamtp a (˜C k ) = p a (˜C K ) = p g (˜C K ) = p g (˜C k ) = p a (˜C k ) − δ(˜C k ),also δ(˜C k ) = 0, d.h. ˜C k ist nicht-singulär.˜C −→ Spec R ist also ein flacher Morphismus von endlichem Typ dessenabgeschlossene Faser eine nicht-singuläre Kurve ist. Daher (vgl. [Mum, S.304]) ist ˜C −→ Spec R glatt (von relativer Dimension 1). Insbesondere istder birationale Morphismus˜C k −→ C k∼ = C −→ C0ein Isomorphismus von k-Kurven. Die Kurve C 0 := ˜C erfüllt somit alle Forderungenvon Satz 6.36