Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE
Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE
Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
Wir zeigen als nächstes, daß auch Θ ∗ endlich ist. In der Tat, C ist überdeckt<strong>von</strong> den beiden offenen, aff<strong>in</strong>en TeilmengenD + (X) und D + (Z).Auf D + (Z) ist Θ ∗ <strong>in</strong>duziert <strong>von</strong> θ : R[x] −→ R[x, y]/(φ), dessen Endlichkeitwir oben schon gesehen haben. Auf D + (X) ist Θ ∗ <strong>in</strong>duziert <strong>von</strong>θ ′ : R[z ′ ] −→ R[y ′ , z ′ ]/(Φ ′ ), wobei y ′ = Y , X z′ = Z und Xφ′ die Dehomogenisierung<strong>von</strong> Φ bzgl. X ist. Dieser R<strong>in</strong>ghomomorphismus ist aber aus demgleichen Grund endlich: Dehomogenisierung der Gleichung (7) bzgl. X lieferte<strong>in</strong>e Ganzheitsgleichung für das Bild <strong>von</strong> y ′ <strong>in</strong> R[y ′ , z ′ ]/(φ ′ ) über R[z ′ ], d.h.θ ′ ist endlich.Sei nun ˜C −→ C die Normalisierung <strong>von</strong> C und sei ˜P R 1 −→ P1 R die Normalisierung<strong>von</strong> PR 1 im Funktionenkörper K(C′ ) <strong>von</strong> C ′ (K(C ′ )/K(t) ist <strong>von</strong>dem endlichen Morphismus C ′ −→ A 1 R ↩→ P1 R <strong>in</strong>duziert). Weil Θ∗ endlich ist,ist auch die Verkettung ˜C −→ C −→ PR 1 endlich, und es folgt, daß die beidenNormalisierungen ˜C und ˜P R 1 isomorph (über P1 R ) s<strong>in</strong>d. Insgesamt erhalten wirdas kommutative Diagramm˜C −−−→ C ←−−− C ′⏐⏐ ⏐ ⏐↓θ↓ ↓Θ ∗∗(8)˜PR 1 −−−→ P1 R ←−−− A1 R .∼=Aus Abschnitt 2 wissen wir, daß die Normalisierung <strong>von</strong> P 1 über dem diskretenBewertungsr<strong>in</strong>g R flach ist. Also gilt dies auch für ˜C.Nach Konstruktion (vgl. Satz 4) ist C e<strong>in</strong>e ebene, projektive Knotenkurveüber R, deren Fasern dasselbe geometrische Geschlecht g haben und derenabgeschlossene Faser C k isomorph zu C ist. Wir behaupten, daß die Kurve ˜Cdie gesuchte Kurve C 0 ist und betrachten dazu das kommutative Diagramm˜C K −−−→ C K −−−→ Spec(K)⏐ ⏐⏐↓ ↓↓˜C −−−→ C −−−→ Spec(R)↑ ↑↑⏐ ⏐⏐˜C k −−−→ C k −−−→ Spec(k).(9)Dabei bezeichnet ˜C K := ˜C × Spec(K) die generische und ˜C k := ˜C × Spec(k)die abgeschlossene Faser <strong>von</strong> ˜C.35