Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

Wir zeigen als nächstes, daß auch Θ ∗ endlich ist. In der Tat, C ist überdecktvon den beiden offenen, affinen TeilmengenD + (X) und D + (Z).Auf D + (Z) ist Θ ∗ induziert von θ : R[x] −→ R[x, y]/(φ), dessen Endlichkeitwir oben schon gesehen haben. Auf D + (X) ist Θ ∗ induziert vonθ ′ : R[z ′ ] −→ R[y ′ , z ′ ]/(Φ ′ ), wobei y ′ = Y , X z′ = Z und Xφ′ die Dehomogenisierungvon Φ bzgl. X ist. Dieser Ringhomomorphismus ist aber aus demgleichen Grund endlich: Dehomogenisierung der Gleichung (7) bzgl. X lieferteine Ganzheitsgleichung für das Bild von y ′ in R[y ′ , z ′ ]/(φ ′ ) über R[z ′ ], d.h.θ ′ ist endlich.Sei nun ˜C −→ C die Normalisierung von C und sei ˜P R 1 −→ P1 R die Normalisierungvon PR 1 im Funktionenkörper K(C′ ) von C ′ (K(C ′ )/K(t) ist vondem endlichen Morphismus C ′ −→ A 1 R ↩→ P1 R induziert). Weil Θ∗ endlich ist,ist auch die Verkettung ˜C −→ C −→ PR 1 endlich, und es folgt, daß die beidenNormalisierungen ˜C und ˜P R 1 isomorph (über P1 R ) sind. Insgesamt erhalten wirdas kommutative Diagramm˜C −−−→ C ←−−− C ′⏐⏐ ⏐ ⏐↓θ↓ ↓Θ ∗∗(8)˜PR 1 −−−→ P1 R ←−−− A1 R .∼=Aus Abschnitt 2 wissen wir, daß die Normalisierung von P 1 über dem diskretenBewertungsring R flach ist. Also gilt dies auch für ˜C.Nach Konstruktion (vgl. Satz 4) ist C eine ebene, projektive Knotenkurveüber R, deren Fasern dasselbe geometrische Geschlecht g haben und derenabgeschlossene Faser C k isomorph zu C ist. Wir behaupten, daß die Kurve ˜Cdie gesuchte Kurve C 0 ist und betrachten dazu das kommutative Diagramm˜C K −−−→ C K −−−→ Spec(K)⏐ ⏐⏐↓ ↓↓˜C −−−→ C −−−→ Spec(R)↑ ↑↑⏐ ⏐⏐˜C k −−−→ C k −−−→ Spec(k).(9)Dabei bezeichnet ˜C K := ˜C × Spec(K) die generische und ˜C k := ˜C × Spec(k)die abgeschlossene Faser von ˜C.35