Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

und die so bestimmte Ringerweiterung R[x, y]/(φ) / R[x]. Die Reduktion modulo(φ) der oben erhaltenen Gleichungφ(x, y) = y d + α 1 (x)f d−1 + · · · + α d−1 (x)y + α d (x)ist nun eine Ganzheitsgleichung für das Bild von y in R[x, y]/(φ) über R[x],d.h. R[x, y]/(φ) ist ganz über R[x]. Daher induziert θ einen endlichen Morphismusθ ∗ : C ′ = Spec (R[x, y]/(φ)) −→ Spec(R[x]) = A 1 Rvon affinen R-Kurven.Sei nun Φ ∈ R[X, Y, Z] die Homogenisierung von φ (Die projektiven Koordinatenseien so gewählt, daß x = X Z und y = Y Z ):Φ(X, Y, Z) = Y d + β 1 (X, Z)Y d−1 + · · · + β d−1 (X, Z)Y + β d (X, Z) (7)Wie im Beweis von Satz 4 seiC := Proj (R[X, Y, Z]/(Φ))der projektive Abschluß von C ′ in PR 2 . Wir gehen analog dem affinen Fall vorund definieren den graduierten RinghomomorphismusΘ : R[X, Z] −→ R[X, Y, Z] −→ R[X, Y, Z]/(Φ)als Verkettung der natürlichen Abbildungen. Dieser induziert zunächst ledeglicheinen Morphismus von der offenen TeilmengeU := {p ∈ Proj (R[X, Y, Z]/(Φ)) | p ⊉ Θ(R[X, Z] + )} ⊂ Cnach Proj(R[X, Z]) = PR 1, wobei wir mit R[X, Z] + das Ideal des graduiertenRinges R[X, Z] bezeichnen, das aus allen Elementen von positivem Gradbesteht. Wir zeigen, daß C = U ist. Sei also p ∈ C, d.h. p ist ein homogenesPrimideal in R[X, Y, Z]/(Φ) mit der Eigenschaft p ⊉ (R[X, Y, Z]/(Φ)) + . Esist zu zeigen, daß p ⊉ Θ(R[X, Z] + ) ist. Angenommen, das wäre nicht derFall. Dann enthielte p alle Polynome in X, Z vom Grad > 0. Aufgrund derRelation (7) wäre dann auch Y d und somit auch Y in p enthalten. Alsoenthielte p alle homogenen Polynome modulo (Φ) von positivem Grad imWiderspruch zu p ⊉ (R[X, Y, Z]/(Φ)) + .Wir erhalten also einen Morphismus von projektiven R-KurvenΘ ∗ : C −→ P 1 R.34