Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

Beweis. C 0 ist birational äquivalent zu einer ebene Knotenkurve C ⊂ P 2k . Chat also das gleiche geometrische Geschlecht wie C 0 . SeiC ′ = Spec (k[x, y]/(f(x, y))eine affine, offene Teilmenge von C, die alle Knoten von C enthalte.Wir behaupten zunächst, daß wir f nach einem linearen Koordinatenwechselvon der Formf(x, y) = y d + a 1 (x)y d−1 + · · · + a d−1 (x)y + a d (x)mit a i (x) ∈ k[x] und deg f = d annehmen können. Für a ∈ k betrachten wirdazu die lineare Transformationx ↦−→ x ′ := x − ayy ↦−→ y.Bezeichnet f d den homogenen Teil vom Grad d von f, so ist der Termhöchsten Grades in y von f d (x ′ + ay, y) gerade f d (a, 1)y d . Wir müssen dastransformierte Polynom f ′ (x ′ , y) := f(x ′ + ay, y) also noch durch den Faktorf d (a, 1) teilen und betrachten dazu f d (a, 1) als Polynom in a. Per Definitionkann dies nicht das Nullpolynom sein. Nun hat der Körper k unendlich vieleElemente, weil er nach Voraussetzung algebraisch abgeschlossen ist. Daherist f d (a, 1) auch nicht die Nullabbildung, d.h. für jedes hinreichend allgemeinea ∈ k gilt f d (a, 1) ≠ 0, und die Behauptung ist bewiesen. (Die Aussagefolgt auch aus dem Noetherschen Normalisierungssatz, ein Spezialfall dessenwir hier bewiesen haben, nämlich daß die Ringerweiterungk[x] ∼ = k[x ′ ] ↩→ k[x ′ , y]/(f ′ ) ∼ = k[x, y]/(f)ganz ist, s. u. und vgl. [Eis, Thm. 13.3].)Wie in Satz 4 heben wir jetzt C ′ zu einer ebenen, affinen Kurve C ′ gleichenGrades über R hoch. C ′ ist dann durch eine Hochhebung φ von f definiertund φ hat die Formφ(x, y) = αy d + α 1 (x)y d−1 + · · · + α d−1 (x)y + α d (x)mit α i (x) ∈ R[x], deg φ = d und α ∈ R\m = R × (andernfalls hätte f = ¯φ = φmod m nicht den Grad d). Wir können diese Gleichung also noch durch αteilen und nehmen daher ab jetzt α = 1 an.Wir betrachten jetzt den aus den natürlichen Abbildungen zusammengesetzten,injektiven Ringhomomorphismusθ : R[x] −→ R[x, y] −→ R[x, y]/(φ),33