Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

R vom Grad d, die die Gleichungen (3) erfüllt, d.h. Q ′ 1, . . . , Q ′ m sind singulärePunkte von C ′ . Die Q ′ i sind paarweise verschieden, weil sie modulo mpaarweise verschieden sind.Die abgeschlossene Faser C ′ ×Spec(k) von C ′ ist die Kurve C ′ . Die PunkteP i ′ = Q ′ i ×Spec(k) sind also Knoten. Die generische Faser C ′ K = C′ ×Spec(K)ist aber auch eine m-fache Knotenkurve. Ist nämlich o. E. P ′ = (0, 0) einKnoten von C ′ , so hat die C ′ definierende Gleichung f ∈ k[x, y] die Formf = f 2 + · · · + f r , f i homogen vom Grad i,und f 2 = l 1 l 2 ist das Produkt zweier teilerfremder Linearformen. Sei o. E.Q ′ = (0, 0) ∈ A 2 R der über P ′ liegende Punkt. Dann hat die C ′ definierendeGleichung φ ∈ R[x, y] die Formφ = φ 2 + · · · + φ r , deg φ i = i, f i = ¯φ i := φ i (mod m),weil Q ′ ein singulärer Punkt ist. Das gewöhnliche Henselsche Lemma sichertnun die Existenz von Linearformen λ 1 , λ 2 ∈ R[x, y] mitφ 2 = λ 1 λ 2 und ¯λi = l i , i = 1, 2.Die λ i sind teilerfremd, weil sie es modulo m sind, und mit der Bemerkungnach Lemma 6 bedeutet das, daß Q ′ ein Knoten von C ′ K ist.Daher sind die Punkte Q ′ i Knoten von C ′ und die beiden Fasern habendieselbe Anzahl m von Knoten als einzige Singularitäten.Es sei nun C der projektive Abschluß von C ′ in PR 2 . Dann ist C eine ebeneprojektive Kurve vom Grad d über R. Die abgeschlossene und generischeFaser von C haben denselben Grad (also auch dasselbe arithmetische Geschlecht)und dieselbe Singularitätszahl (Im Unendlichen ist C nicht-singulär,weil C ′ es ist.) und daher aufgrund der Formel (5) auch dasselbe geometrischeGeschlecht.4.2 Der allgemeine Fall: Beweis des HauptsatzesWir wollen uns jetzt nicht mehr auf ebene Kurven beschränken und schließlichdas eingangs gestellte Hochhebeproblem lösen. Sei also C 0 eine irreduzible,nicht-singuläre, projektive Kurve über k vom Geschlecht g. Wir zeigen:Satz 6. Es gibt eine irreduzible, glatte Kurve C 0 über R derart, daß dieFasern von C 0 irreduzible, nicht-singuläre Kurven vom Geschlecht g sind unddie abgeschlossene Faser (C 0 ) k isomorph zu C 0 ist.32