Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

Für r = 1 genügt es beliebige Repräsentanten a (1)1 , . . . , a (1)n der Elementea 1 , . . . , a n ∈ k in R zu wählen. Sei also r ≥ 2. Wir setzen a (r+1)i := a (r)i + ɛ imit noch zu bestimmenden ɛ i ∈ m r . Dann istf i (a (r+1)1 , . . . , a (r+1) ) ≡nf i (a (r)1 , . . . , a (r)n ) +n∑j=1∂f i∂x j(a 1 , . . . , a n ) · ɛ j (mod m r+1 ).Um die Bedingung (2) zu erfüllen haben wir ɛ 1 , . . . , ɛ n so zu bestimmen, daß⎛⎜⎝f 1 (a (r)1 , . . . , a (r)n ).f n (a (r)1 , . . . , a (r)n )⎞⎟⎠ +⎛( ) ∂fi⎜(a 1 , . . . , a n ) · ⎝∂x j⎞ɛ 1⎟. ⎠ ≡ 0 (mod m r+1 ).ɛ nDie Voraussetzung (ii) besagt nun, daß die Determinate der Matrix( ) ∂fi(a 1 , . . . , a n )∂x jeine Einheit in R ist. Daher gibt es eine dazu inverse Matrix B = (b ij ) mitEinträgen aus R und man kannɛ i := −n∑j=1b ij · f j (a (r)1 , . . . , a (r)n )setzen. Es ist dann ɛ i ∈ m r , weil die f j (a (r)1 , . . . , a (r)n ) nach Induktionsvoraussetzung(2) in m r liegen. Daher gilt auch (3) und wieder induktiv schließlichauch (1).Der Satz ist anwendbar auf die Varietät W k ′ , weil Satz 3 besagt, daß derRang der Matrix⎛ ⎞df νJ = ⎝ dg ν⎠dh νν=1,...,mim Punkt (C ′ , P 1, ′ . . . , P m) ′ gleich 3m ist. Es gibt also homogene (sogar lineare)Polynome p 1 , . . . , p N−1−m aus dem Koordinatenring von Π ′ k derart, daßf ν , g ν , h ν , p 1 , . . . , p N−1−m , ν = 1, . . . , m, die Voraussetzungen des Satzes imPunkt (C ′ , P 1, ′ . . . , P m) ′ erfüllen.Der Satz garantiert dann die Existenz eines Punktes (C ′ , Q ′ 1, . . . , Q ′ m) ∈W R ′ der nach (C′ , P 1, ′ . . . , P m) ′ spezialisiert. C ′ ist also eine affine Kurve über31