Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

Beweis von Satz 4. Durch einen projektiven Koordinatenwechsel auf Pk 2 kannman erreichen, daß die Punkte P 1 , . . . , P m alle in dem affinen Teil D + (Z)liegen. Da die Aussage des Satzes nur vom Isomorphietyp von C abhängt,nehmen wir also o. E. P 1 , . . . , P m ∈ D + (Z) an.Dann ist (C, P 1 , . . . , P m ) ein Punkt auf der projektiven Varietät W k ,die durch das Gleichungssystem (2) definiert ist. (C ′ , P 1, ′ . . . , P m) ′ sei wiederder zugehörige Punkt auf der affinen Varietät W k ′ , die durch die Gleichungen(3) definiert ist. Diese Gleichungen haben aber Koeffizienten in Z,wir können sie daher als Gleichungen über R interpretieren. Auf diese Weisedefiniert (3) auch ein abgeschlossenes Unterschema W R ′ := W R ′ (d, m) vonΠ ′ R := AN−1R×A 2 R ×· · ·×A2 R . Die gesuchte Kurve C über R (bzw. genauer derenaffinen Teil C ′ ) erhält man nun durch Hochheben des k-wertigen Punktes(C ′ , P 1, ′ . . . , P m) ′ ∈ W k ′ zu einem R-wertigen Punkt (C′ , Q ′ 1, . . . , Q ′ m) ∈ W R ′ .Dies geschieht mit Hilfe der folgenden Verallgemeinerung des HenselschenLemmas für Systeme von Polynomen in mehreren Variablen ([Mum, S. 247]):Satz 5 (Henselsches Lemma für Varietäten). Sei R ein kompletter lokalerRing mit maximalem Ideal m und Restklassenkörper k. Seien f 1 , . . . ,f n ∈ R[x 1 , . . . , x n ] und a 1 , . . . , a n ∈ k. Es bezeichne ¯f i das Bild von f i ink[x 1 , . . . , x n ]. Es gelte(i)(ii)¯f1 (a 1 , . . . , a n ) = · · · = ¯f n (a 1 , . . . , a n ) = 0 und( ) ∂ ¯fidet (a 1 , . . . , a n ) ≠ 0.∂x jDann gibt es (eindeutig bestimmte) Elemente α 1 , . . . , α n ∈ R, so daß gilt:(1) α i ≡ a i (mod m) für alle i = 1, . . . , n(2) f 1 (α 1 , . . . , α n ) = · · · = f n (α 1 , . . . , α n ) = 0.Beweis. Wir approximieren die gesuchten Elemente α 1 , . . . , α n schrittweiseund zeigen dazu induktiv, daß es für alle r ≥ 1 Elemente a (r)1 , . . . , a (r)n ∈ Rgibt, so daß für alle i = 1, . . . , n die folgenden Bedingungen erfüllt sind:(1) a (r)i ≡ a i (mod m)(2) f i (a (r)1 , . . . , a (r)n ) ≡ 0 (mod m r )(3) a (r)i≡ a (r−1)i (mod m r )Die Elemente α i := limSatzes.r−→∞ a(r) ierfüllen dann die Bedingungen (1) und (2) des30