Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE
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Wir betrachten nun die (2m×2m)-Teilmatrix der vier Blöcke unten rechts<strong>von</strong> J <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er neuen Basis, die dadurch entsteht, daß wir die obige Spaltenvertauschungwieder rückgängig machen und außerdem auf die gleiche Weisedie Zeilen vertauschen. Man erhält e<strong>in</strong>e Matrix, die aus den m 2 Blöcken⎛⎜⎝∂ 2 f ν∂x 2 µ∂ 2 f ν∂y µx µ∂ 2 f ν∂x µy µ∂ 2 f ν∂y 2 µ⎞⎟⎠ν=1,...,mµ=1,...,mbesteht. Sie s<strong>in</strong>d für ν ≠ µ sämtlich Null, es bleiben also nur die Diagonalblöckestehen. Diese haben <strong>nach</strong> Lemma 5 e<strong>in</strong>e <strong>von</strong> Null verschiedeneDeterm<strong>in</strong>ante, weil die P ′ ν Knoten s<strong>in</strong>d. Der gesamte untere rechte (2m×2m)-Block <strong>von</strong> J ist daher <strong>in</strong>vertierbar.Es ist also der Rang der oberen l<strong>in</strong>ken Teilmatrix zu bestimmen. Sie hatdie Gestalt (αiν β j ν)ν=1,...,mi+j+k=dwenn die Knoten P ′ ν die Koord<strong>in</strong>aten (α ν , β ν ) haben. Ihr Kern ist also geradeder Vektorraum V d (P 1 , . . . , P m )∪{0}, dessen Dimension wir <strong>nach</strong> dem erstenSpezialfall <strong>von</strong> Satz 2 kennen. Wir erhalten <strong>in</strong>sgesamt:rang J(C ′ , P ′ 1, . . . , P ′ m) = N − 1 + 2m − dim Ker J(C ′ , P ′ 1, . . . , P ′ m)= N − 1 + 2m − (N − 1 − m)= 3m.27