Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

liegt. Genauer ist die affine Variatät W k ′ definiert durch die Gleichungen∑f ν := t i,j,k x i νyν j = 0i+j+k=dg ν := ∂f ν∂x ν= 0 (3)h ν := ∂f ν∂y ν= 0 ν = 1, . . . , m.Wir haben also zu zeigen, daß die Matrix⎛ ⎞df νJ := ⎝ dg ν⎠dh νν=1,...,min dem zu (C, P 1 , . . . , P m ) gehörenden, affinen Punkt (C ′ , P ′ 1, . . . , P ′ m) denRangN − 1 + 2m − dim W ′ k = N − 1 + 2m − (N − 1 − m) = 3mhat. J ist eine (3m) × (N − 1 + 2m)-Matrix und setzt sich aus den folgendenBlöcken zusammen:⎛ ( ) ( ) ( ) ⎞∂f ν∂f ν∂f ν∂t i,j,k ν=1,...,m ∂x µ ν=1,...,m ∂y µ ν=1,...,m⎟i+j+k=dµ=1,...,mµ=1,...,m(J =⎜⎝ (∂g ν∂t i,j,k)ν=1,...,mi+j+k=d∂h ν∂t i,j,k)ν=1,...,mi+j+k=d(∂g ν∂x µ)ν=1,...,mµ=1,...,m(∂h ν∂x µ)ν=1,...,mµ=1,...,m(∂g ν∂y µ)ν=1,...,mµ=1,...,m(∂h ν∂y µ)ν=1,...,mµ=1,...,mDabei wurden die Variablen x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , . . . , x m , y m neu geordnet zu x 1 , x 2 ,. . . , x m , y 1 , . . . , y m . Dies entspricht einem Basiswechsel und hat keinen Einflußauf den Rang von J.Wir betrachten die Blockmatrizen einzeln im Punkt (C ′ , P 1, ′ . . . , P m). ′ Dieoberen Blöcke rechts und in der Mitte sind beide Null, da für alle µ ≠ νdie partiellen Ableitungen ∂fν∂x µsinguläre Punkte von C ′ sind, d.h.und ∂fν∂y µ⎟⎠verschwinden und außerdem die P ′ ν∂f ν∂x ν(P ′ ν) = g ν (P ′ ν) = 0,∂f ν∂y ν(P ′ ν) = h ν (P ′ ν) = 0, ν = 1, . . . , m.26