Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

3.3 Knotenkurven sind nicht-singuläre PunkteιSei C ↩→ Pk2 eine ebene, projektive Kurve über k vom Grad d und seienP 1 , . . . , P m Punkte der projektiven Ebene Pk 2 . Wir knüpfen an die Überlegungenvon Abschnitt 3.2 an und fassen (C, P 1 , . . . , P m ) als Punkt der projektivenVarietätΠ k := P N−1k× Pk 2 × · · · × Pk2der Dimension N −1+2m auf, indem wir wie dort (C, ι) als Punkt von P N−1kdeuten und den Punkt P ν als Punkt des ν-ten Faktors Pk2 (ν = 1, . . . , m). Esseien T i,j,k , i, j, k ≥ 0, i + j + k = d, projektive Koordinaten für den erstenFaktor und X ν , Y ν , Z ν , ν = 1, . . . , m, projektive Koordinaten für die übrigenm Faktoren.Wir definieren die Untervarietät W k := W k (d, m) von Π k durch die 3mhomogenen GleichungenF ν :=∑i+j+k=dT i,j,k X i νY jν Z k ν = 0G ν := ∂F ν∂X ν= 0 (2)H ν := ∂F ν∂Y ν= 0 ν = 1, . . . , m.Sind P 1 , . . . , P m singuläre Punkte von C, so liegt (C, P 1 , . . . , P m ) ∈ Π koffensichtlich in W k . Ist umgekehrt (C, P 1 , . . . , P m ) ein Punkt von W k undliegen alle Punkte P ν im affinen Teil D + (Z) von Pk 2,so sind P 1, . . . , P m singulärePunkte von C. Insbesondere gilt nach dem zweiten Spezialfall vonSatz 2dim W k = dim V d (2P 1 , . . . , 2P m ) + 2m = N − 1 − 3m + 2m = N − 1 − m.Satz 3. Ist C eine ebene, projektive Knotenkurve mit den Knoten P 1 , . . . , P m ,so ist (C, P 1 , . . . , P m ) ein nicht-singulärer Punkt von W k .Beweis. Sei also C eine solche Kurve und P 1 , . . . , P m ihre Knoten. In Π kgehen wir zu den affinen Koordinatent i,j,k =T i,j,kT i0 ,j 0 ,k 0,x ν = X νZ ν,y ν = Y νZ νso über, daß der Punkt (C, P 1 , . . . , P m ) in der dadurch entstandenen UntervarietätW k ′ vonΠ ′ k := A N−1k× A 2 k × · · · × A 2 k25