Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

(a ′ 1, . . . , a ′ N ) genau dann die gleiche eingebettete Kurve, wenn es ein λ ∈ k∗gibt, so daß (a 1 , . . . , a N ) = λ(a ′ 1, . . . , a ′ N ). Mit anderen Worten entsprichtjedem Paar (C, ι) in eineindeutiger Weise ein Punkt im projektiven Raumder Dimension N − 1 = 1d(d + 3). Auf diese Weise können wir V 2 d mit P N−1kidentifizieren.Definition 2. Eine Untervarietät V ⊂ P N−1kheiße linear, falls es LinearformenL 1 , . . . , L r in den Unbestimmten a 1 , . . . , a N gibt, so daß V von der FormV = V (L 1 , . . . , L r ) ist.Eine lineare Untervarietät von P N−1k, die dadurch entsteht, daß wir weitereBedingungen an die Paare (C, ι) stellen, heiße ein lineares System von(ebenen, projektiven) Kurven.Beispiel 4. Die Menge V d (P ) aller ebenen, projektive Kurven, auf denender Punkt P ∈ Pk2 liegt, bildet eine Hyperebene in PN−1k. Ist nämlich P =(x, y, z), so liegt P genau dann auf der zu (a 1 , . . . , a N ) gehörenden Kurve,wenn ∑ a i M i (x, y, z) = 0 ist.Seien nun allgemeiner Punkte P 1 , . . . , P n ∈ P 2kund nicht-negative ganzeZahlen r 1 , . . . , r n gegeben. Wir bezeichnen mit V d (r 1 P 1 , . . . , r n P n ) die Teilmengealler Kurven C aus V d , für die µ Pi (C) ≥ r i für alle i = 1, . . . , n gilt.Satz 2. Ist d ≥ ( ∑ r i ) − 1, so bildet V d (r 1 P 1 , . . . , r n P n ) ein lineares System∑von Kurven der Dimension N − 1 − n 1r 2 i(r i + 1).i=1Beweis. Sei zunächst n = 1 und r := r 1 . Wir können o. E. P = (0, 0, 1)annehmen, denn ein projektiver Koordinatenwechsel auf Pk2 induziert einenprojektiven Koordinatenwechsel auf P N−1k. Sei (C, ι) eine ebene, projektiveKurve definiert durch ein homogenes Polynom F , das wir schreiben alsF = ∑ F i (X, Y )Z d−i , deg F i = i.Nun ist µ P (C) ≥ r genau dann, wenn F 0 = F 1 = · · · = F r−1 = 0. Wir zählendie Monome X i Y j Z k mit i + j < r zu genau 1 + 2 + · · · + r = 1 r(r + 1).2Daraus folgt die Aussage für n = 1 und die Ungleichungdim V d (r 1 P 1 , . . . , r n P n ) ≥ N − 1 − ∑ 12 r i(r i + 1)im allgemeinen Fall.Wir zeigen nun durch Induktion nach m := ( ∑ r i )−1 die Unabhängigkeitder Bedingungen und damit den Satz. Für m = 0 ist n = r 1 = 1, und es liegtgerade der Hyperebenenfall aus Beispiel 4 vor.23