Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

Beispiel 3. Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristikp > 3. Über k betrachten wir die ebene, affine Kurve C f mitf = 3x 2 − 3y 2 + 2y 3 + y paus Beispiel 1 und finden die partiellen Ableitungenf x = 6x,f y = −6y(1 − y),f xx = 6, f xy = 0, f yy = −6 + 12y.C f hat genau zwei singuläre Punkte, nämlich (0, 0) und (0, 1). Beide sindKnoten, daf xx (0, 0)f yy (0, 0) = 6 · (−6) ≠ 0 = f xy (0, 0) 2f xx (0, 1)f yy (0, 1) = 6 · 6 ≠ 0 = f xy (0, 1) 2 .undC f ist also eine 2-fache Knotenkurve.3.2 Lineare Systeme von KurvenGegeben sei eine natürliche Zahl d. Wir interessieren uns für die Menge V daller ebenen, projektiven Kurven vom Grad d über einem algebraisch abgeschlossenenKörper k.Wir zählen zunächst, wieviele Monome vom Grad d es gibt. In zwei Variablensind dies gerade die Monome der Form M = X d−i Y i , i = 0, . . . , d,also d + 1 Stück. In drei Variablen haben sie die Gestalt M = X d−i F i (Y, Z),i∑= 0, . . . , d, wobei die F i Monome in Y, Z vom Grad i sind. Es gibt alsodi=0 (i + 1) = 1 (d + 1)(d + 2) =: N Stück.2Sei nun M 1 , . . . , M N eine fest gewählte Ordnung der Menge der Monomein den Variablen X, Y, Z. Wir betrachten Paare (C, ι) mit einer Kurve C undeiner abgeschlossenen Immersion ι : C ↩→ Pk 2 , so daßι(C) = Proj(k[X, Y, Z]/(F )) mit F ∈ k[X, Y, Z].Zwei solche Paare (C, ι) und (C ′ , ι ′ ) betrachten wir als gleich, wenn sie diegleiche eingebettete Kurve liefern, wenn also ι(C) = ι ′ (C ′ ) ist.Das homogene Polynom F hat die FormF (X, Y, Z) =N∑a i M i (X, Y, Z), a i ∈ k nicht alle 0.i=1Die eingebettete Kurve ι(C) ist also bestimmt durch die Auswahl vonElementen a 1 , . . . , a N aus k. Dabei liefern zwei Systeme (a 1 , . . . , a N ) und22